高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战7019

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的． （1）已知集合{}
1A x x =<，{
}
2
0B x x x =-≤，则A
B =
（A ）{}
11x x -≤≤（B ）{}01x x ≤≤（C ）{}01x x <≤（D ）{}
01x x ≤< 答案：D
解析：集合A ＝{}
11x x <－＜，集合B ＝{}1x x ≤≤0，所以，A B ={}01x x ≤<。

（2）已知复数3i
1i
z +=
-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 答案：D
解析：(3)(1)
122
i i z i ++=
=+，共轭复数为12i -，在第四象限。

（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为
（A ）6（B ）8（C ）10（D ）12 答案：C
解析：第一步：x ＝9，k ＝2；第二步：x ＝21，k ＝4；第三步：x ＝45，k ＝6； 第四步：x ＝93，k ＝8；第五步：x ＝189，k ＝10；退出循环，故k ＝10。

（4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+
⎪
⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6
π
，则ω的值为 （A ）3（B ）6（C ）12（D ）24 答案：B
解析：依题意，得：周期T ＝
3
π，
23ππ
ω=，所以，ω＝6。

（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =
（A ）52（B ）78 （C ）104（D ）208 答案：C
解析：由271224a a a ++=，得7a ＝8，所以，11313713()
132
a a S a +=
=＝104，选C 。

（6）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：2
4y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，
n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=
（A ）10n +（B ）20n +（C ）210n +（D ）220n + 答案：A
解析：由抛物线的焦点为（1,0），准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知11||1PF x =+， 22||1P F x =+，…，故1
2n PF P F P F +++=10n +
（7）在梯形ABCD 中，AD BC ，已知4AD =，6BC =，若CD mBA nBC =+(),m n ∈R ，
则
m
n
= （A ）3-（B ）13-（C ）
1
3
（D ）3 答案：A
解析：如图，作AE ∥DC ，交BC 于E ，则ADEC 为平行四边形，EA CD =＝mBA nBC +，
又EA EB BA =+＝13BA BC -，所以，1
13m n =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，故m n =－3。

（8）设实数x ，y 满足约束条件10,
10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩
， 则()22
2x y ++的取值范围是
（A ）1,172⎡⎤
⎢⎥⎣⎦（B ）[]1,17（C ）17⎡⎣（D ）2
172⎣ 答案：A
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图，三角形ABC ，()2
2
2x y ++表示三角形ABC 内或边
上一点到点（0，－2）之间的距离的平方，点B 到（0，－2）之间的距离的平方为17，点（0，－2）到直线x －y －1=0距离的平方为
1
2
，故选A 。

（9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面
上，则该球的体积为
（A ）20π（B 205πC ）5π（D 55π
答案：D
22215+V ＝
3
453
π
⨯⎝⎭
55π （10）已知下列四个命题：
1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()1
1
f x x x =+
+，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．
其中真命题的个数是
（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4
答案：B
解析：p1错误，因为无数条直线不一定是相交直线，可能是平行直线；p2正确；p3错误，因为由
1
11
x x +
=+，得x ＝0，故错误；p4正确，注意前提条件是在△ABC 中。

（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为
（A ）88246+B ）88226+（C ）226+D ）
1262
2
4
答案：A
解析：该几何体为如图中的三棱锥C －A1C1E ，EC ＝EA1＝25，A1C ＝161616＋＋＝43， 三角形EA1C 的底边A1C 上的高为：22， 表面积为：S ＝
12⨯2⨯4＋12⨯2⨯4＋12⨯42⨯4＋1
2
⨯22⨯43＝88246++
（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角
形”．
1 2 3 4 5 …
3 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 （A ）2015
20172⨯（B ）2014
20172
⨯（C ）2015
20162
⨯（D ）2014
20162
⨯
答案：B
解析：如下图：
当第一行3个数时，最后一行仅一个数为8＝23－2⨯（3＋1） 当第一行4个数时，最后一行仅一个数为20＝24－2⨯（4＋1） 当第一行5个数时，最后一行仅一个数为48＝25－2⨯（5＋1） 当第一行6个数时，最后一行仅一个数为112＝26－2⨯（6＋1） 归纳推理，得：
当第一行个数时，最后一行仅一个数为2－2⨯（＋1） 故选B 。

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号
依次为1，2，3，…，60．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是． 答案：43
解析：因为
60
106
=，所以，抽到编号为3、13、23、33、43、53，第5组为43。

（14）已知双曲线C ：22
221x y a b
-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且
0BA BF =，则双曲线C 的离心率为．
解析：设F （c ，0），又A （－a ，0），由0BA BF =，得：（－a ，－b ）（c ，－b ）＝0，
所以，有：2b ac =，即22
c a ac -=，化为2
10c c a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭
，可得离心率e。

（15）(
)
4
2
2x x --的展开式中，3
x 的系数为．（用数字填写答案） 答案：40-
解析：3234444(2)(2)C x x C x --+--中3
x 的系数为：324134344(1)4(1)(2)C C C C -⨯+--＝－40。

（16）已知函数()2
11,
1,
42,
1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，
则函数()()22x
g x f x =-的零点个数为个．
答案：2
解析：由()()22x
g x f x =-＝0，得：1||
()2
x f x -=，
画出211,1,
42,
1x x y x x x ⎧-+<⎪=⎨
-+≥⎪⎩，
与1||
2
x y -=的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数：2。

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，
AC =，5CD =,2BD AD =.
（Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．
解析：(Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．
在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以cos CD CDB BD
∠=
5
2x =．………………………………………………………2分 在△ACD 中，因为AD x =，5CD =
，AC =
由余弦定理得222222
5cos 225
AD CD AC x ADC AD CD x +-+-∠==⨯⨯⨯⨯． ………4分
因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，
即
22255
252x x x
+-=-⨯⨯．………………………………………………………5分 解得5x =．
所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分
解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，
所以BC
所以cos 2BC
CBD BD x
∠==．……………………………………………2分
在△ABC 中，因为3AB x =
，BC =
AC =
由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==
⨯⨯…………4分
所以2x
=2．………………………………………………5分
解得5x =．
所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==
，BC =
=．………………8分
所以cos 2BC CBD BD ∠==，从而1sin 2
CBD ∠=．…………………………10分 所以1
sin 2
ABC S AB BC CBA ∆=
⨯⨯⨯∠
111522=
⨯⨯……………………………………………12分 解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==
，BC =
=．………………8分
因为AC =△ABC 为等腰三角形．
因为cos BC CBD BD ∠=
=30CBD ∠=．……………………………10分 所以△ABC 底边AB
上的高12h BC =． 所以1
2
ABC S AB h ∆=
⨯⨯
115224
=⨯⨯=．……………………………………………12分 解法三：因为AD 的长为5， 所以51cos =
=22
CD CDB BD x ∠=，解得3CDB π
∠=．……………………………8分
所以12sin 23ADC S AD CD ∆π=
⨯⨯⨯=
1sin 23BCD S BD CD ∆π=⨯⨯⨯=．……………………………………10分
所以ABC ADC BCD S S S ∆∆∆=+=……………………………………………12分 （18）（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图
所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为
4:2:1．
（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间
[]75,85内的频率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的
这种产品中随机抽取3件，记这3件产 品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．
解析：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，
则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．
所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，
所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．
由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，
将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分 因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分
且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，112
3(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，330
3(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．
所以X 的分布列为：
X
0 1 2 3 P
.064
0.288
0.432
0.216
所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分 （19）（本小题满分12分）
………………………10分
如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1A O ⊥底面
ABCD ，21==AA AB
（Ⅰ）证明：平面1
ACO （Ⅱ）若60BAD ∠=解析：解：（19BD ⊂平面ABCD ，
所以1A O BD ⊥．因为ABCD 是菱形，
所以CO BD ⊥．因为1
AO CO O =，
所以BD ⊥平面1A CO ．因为BD ⊂平面11BB D D ，
所以平面11BB D D ⊥平面1A CO ．…………………………………………………4分
（Ⅱ）解法一：因为1A O ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方
向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC ==
11OA ==．………………6分
则()1,0,0B ，()C ，()
0,A ，()10,0,1A ，
所以()
11BB AA ==1,设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB =，11,OB =所以0,0.
x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩
令1=y ，
得(0,1,=n ．…………………………………………………………9分
同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分
所以cos ,4<>=
=n m ．…………………………………………………11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，
所以二面角1B OB C --
的余弦值为4
．……………………………………12分
解法二：由（Ⅰ）知平面
连接11A C 与11B D 交于点连接1CO ，1OO ，
因为11AA CC =，1//AA 所以11CAAC 因为O ，1O 分别是AC ，11所以11OA O C 为平行四边形．且111O C OA ==． 因为平面1
ACO 平面11BB D D 1OO =，
过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．
过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．
所以CKH ∠是二面角1B OB C --的平面角的补角．……………………………6分 在1Rt OCO ∆中，11
2
2
O C OC CH OO ⨯=
=
=
．………………………………7分
在1OCB ∆中，因为1A O ⊥11A B ，所以1OB == 因为11A B CD =，11//A B CD ， 所以11B C A D ==
=． 因为222
11B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分
所以1
1
CB OC
CK
OB
===
⨯
…………………………………………9分
所以KH．…………………………………………………10分
所以cos
4
KH
CKH
CK
∠==．……………………………………………………11分
所以二面角
1
B OB C
--
的余弦值为
4
-．……………………………………12分
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为()
1
20
F-，
，点
(B在椭圆C上，直线()0
y kx k
=≠与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解析：（Ⅰ）解法一：设椭圆C的方程为
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>，
因为椭圆的左焦点为()
1
20
F-，，所以224
a b
-=．……………………………1分
设椭圆的右焦点为()
2
20
F，
，已知点(2B在椭圆C上，
由椭圆的定义知
12
2
BF BF a
+=，
所以2a==………………………………………………………2分
所以a=2
b=．………………………………………………………3分所以椭圆C的方程为
22
1
84
x y
+=．………………………………………………4分解法二：设椭圆C的方程为
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>，
因为椭圆的左焦点为()
1
20
F-，，所以224
a b
-=．①…………………1分
因为点(2B在椭圆C上，所以22
42
1
a b
+=．②…………………2分
由①②解得，a=2
b=．…………………………………………………3分所以椭圆C的方程为
22
1
84
x y
+=．………………………………………………4分
（Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A
的坐标为()
-．…………5分
因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22
184
x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．
联立方程组22,
18
4y kx x y =⎧⎪
⎨+=⎪
⎩消去y 得22
812x k =+．
所以0x =
，则0y =
．
所以直线AE
的方程为y x =
+．……………………………6分
因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，
令0x =
得y =
，即点M ⎛⎫ ⎝．……………………7分
同理可得点N ⎛⎫ ⎝
．…………………………………………………8分
所以
MN =
=
…………………9分
设MN
的中点为P ，则点P 的坐标为0,P k ⎛- ⎝⎭．…………………………10分
则以MN 为直径的圆的方程为2
2
x y ⎛++= ⎝⎭
2
， 即22
4x y y k
++
=．…………………………………………………………11分 令0y =，得2
4x =，即2x =或2x =-．
故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法二：因为椭圆
C 的左端点为A ，则点A 的坐标为()
-．……………5分
因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22
184
x y +=交于两点E ，F ，
设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --． 所以直线AE
的方程为y x =
+．………………………………6分
因为直线AE 与y 轴交于点M ，
令0x =
得y =
M ⎛ ⎝．……………………………7分
同理可得点N ⎛
⎫
⎝．……………………………………………………8分
所以020168y MN x =
=-．
因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184
x y +=． 所以0
8
MN y =
．……………………………………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P
的坐标为00,P ⎛ ⎝⎭．………………………10分 则以MN
为直径的圆的方程为2
2
00x y y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝
⎭2016y ．
即220
+
x y y y +=4．………………………………………………………11分 令0y =，得2
4x =，即2x =或2x =-．
故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A
的坐标为()
-．……………5分
因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22
184
x y +=交于两点E ，F ，
设点()
,2sin E θθ（0θ<<π
），则点()
,2sin F θθ--． 所以直线AE
的方程为y x =
+．………………………6分
因为直线AE 与y 轴交于点M ，
令0x =得2sin cos 1y θθ=
+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫
⎪+⎝⎭．………………………………7分
同理可得点2sin 0,
cos 1N θθ⎛⎫
⎪-⎝
⎭
．………………………………………………………8分
所以2sin 2sin 4
cos 1cos 1sin MN θθθθθ
=
-=+-．………………………………………9分
设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ
⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
．………………………10分 则以MN 为直径的圆的方程为2
2
2cos sin x y θθ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭2
4sin θ， 即22
4cos 4sin x y y θ
θ
++
=．………………………………………………………11分 令0y =，得2
4x =，即2x =或2x =-．
故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 （21）（本小题满分12分）
已知函数+3()e
x m
f x x =-,()()ln 12
g x x =++．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()
00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-. 解析：（Ⅰ）解：因为+3()e
x m
f x x =-，
所以+2()e
3x m
f x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()
00f ，处的切线斜率为1，
所以()0e 1m
f '==，解得0m =.…………………………………………………2分
（Ⅱ）证法一：因为+3()e
x m
f x x =-,()()ln 12
g x x =++，
所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x m
x -+->．
当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x m
x x x +-+-≥-+-．
要证()+e
ln 120x m
x -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分
以下给出三种思路证明1
e
ln(1)20x x +-+->．
思路1：设()()1e ln 12x h x x +=-+-，则()11e 1
x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-
+，则()()
12
1e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11
e 1
x h x x +'=-
+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为1
21e 202h ⎛
⎫'-=-< ⎪⎝⎭
，()0e 10h '=->，
所以函数()11e 1x h x x +'=-
+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
. ………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+1
01
e
1
x x =
+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，
所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()01
00=e ln 12x h x h x x +≥-+-()001
1201
x x =
++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分 思路2：先证明1
e 2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分
设()1
e
2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．
因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，
所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=． 所以1
e
2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分
所以要证明1
e
ln(1)20x x +-+->，
只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分
下面证明()ln 10x x -+≥．
设()()ln 1p x x x =-+，则()1111
x
p x x x '=-
=
++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，
所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．
所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以1
e
ln(1)20x x +-+->．
综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x
、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明1
e
ln(1)20x x +-+->．
令1t x =+，转化为证明e ln 2t
t ->()0t >．……………………………………5分 因为曲线e t
y =与曲线ln y t =关于直线y t =对称，
设直线0x x =()00x >与曲线e t
y =、ln y t =分别交于点A 、B ，点A 、B 到直线y t =的
距离分别为1d 、2d ， 则)122AB d d =+． 其中012
x d =
，00
22
d =
()00x >．
①设()000e x h x x =-()00x >，则()00e 1x h x '=-． 因为00x >，所以()00e 10x h x '=->．
所以()0h x 在()0,+∞上单调递增，则()()001h x h >=． 所以00
122
x d =
> ②设()000ln p x x x =-()00x >，则()0000
1
11x p x x x -'=-
=
． 因为当001x <<时，()00p x '<；当01x >时，()00p x '>，
所以当001x <<时，函数()000ln p x x x =-单调递减；
当01x >时，函数()000ln p x x x =-单调递增． 所以()()011p x p ≥=．
所以2d =
．
所以
)122AB d d ≥+>+=⎭
． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分 证法二：因为+3()e
x m
f x x =-,()()ln 12
g x x =++，
所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x m
x -+->．…………………………4分
以下给出两种思路证明()+e
ln 120x m
x -+->．
思路1：设()()+e ln 12x m h x x =-+-，则()+1
e 1
x m
h x x '=-
+. 设()+1e
1x m
p x x =-
+，则()()
+2
1e 01x m p x x '=+>+． 所以函数()p x =()+1
e 1
x m
h x x '=-
+在()+∞-1，上单调递增．………………6分 因为1m ≥， 所以(
)(
)
1e
+1e 1e
e e e e 10m
m
m
m
m m h ----+-+'-+=-=-<，()0e 10m h '=->.
所以函数()+1
e
1
x m
h x x '=-
+在()+∞-1，上有唯一零点0x ，且()
01e ,0m x -∈-+. …………………8分 因为()00h x '=，所以0+01
e
1
x m
x =
+，即()00ln 1x x m +=--．………………9分 当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>.
所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x ．……………………………………10分 所以()()()0
+00e ln 12x m
h x h x x ≥=-+-001
21
x m x =
++-+
()001
1301
x m x =
+++->+． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分 思路2：先证明e 1()x
x x ≥+∈R ，且ln(1)(1)x x x +≤>-．…………………5分 设()e 1x
F x x =--，则()e 1x F x '=-．
因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．
所以()(0)0F x F ≥=，即e 1()x
x x ≥+∈R ．…………………………………7分 所以ln(1)x x +≤（当且仅当0x =时取等号）．…………………………………8分 再证明()+e
ln 120x m
x -+->．
由e 1()x
x x ≥+∈R ，得1
e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………9分
因为1x >-，1m ≥，且1
e 2x x +≥+与ln(1)x x +≤不同时取等号，
所以 ()()+11e
ln 12e e ln 12x m
m x x x -+-+-=⋅-+-
11e (2)2(e 1)(2)0m m x x x -->+--=-+≥．
综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE
CA 交BA 的延长线于点E ．
（Ⅰ）求证：2
DE AE BE =；
（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，
求线段AC 的长．
解析：（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，
所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）．………………1分
因为DE
CA ，
所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2分 所以EDA B ∠=∠．
因为AED DEB ∠=∠（公共角），
所以△AED ∽△DEB ．
所以
DE AE BE
DE
=
．
即2DE AE BE =．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，
所以2EF EA EB =（切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分
所以
BA
AC
BE ED
=．
所以64
38
BA ED AC BE ⋅⨯===． …………………………………………………10分
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32
x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最
短，并求出点D 的直角坐标.
解析：（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，
可得2
2sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为2
2
2
x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分
所以曲线C 的普通方程为2
2
20x y y +-=（或()2
2
11x y +-=）． …………4分
（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32
x y t ⎧=⎪⎨
=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），
消去t 得直线l
的普通方程为5y =+． ……………………………………5分 因为曲线C ：()2
211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，
设点()00,D x y ，且点D 到直线l
：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l
：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-
，即(00
1
1y x -⨯=-．………………7分 因为()2
2
0011x y +-=，
解得02x =-
或02
x =． 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫
⎪⎪⎝⎭
，．……………………………………9分 由于点D
到直线5y =+的距离最短，
所以点D
的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭
，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l
的参数方程为32
x y t ⎧=+⎪⎨
=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），
消去t 得直线l
50y +-=．……………………………………5分
因为曲线C ()2
2
11x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，
因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()
cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分
所以点D 到直线l
的距离为d =
2sin 3ϕπ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．………………………………8分
因为[)0,2ϕ∈π，所以当6
ϕπ
=
时，min 1d =．…………………………………9分
此时D 322⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为322⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
，．……………………………10分 （24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数()f x x x =- （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1
2
f x ≥
的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围． 解析：（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥
等价于1
12
x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为1
12x x --+≥，无解；
②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得1
04x -≤<；
③当0x ≥时，不等式化为1
12
x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分
综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分
以下给出两种思路求()f x 的最大值.
思路1：因为()f x x x =+--()01a ≤≤，
当x ≤()f x x x =-
=0．
当x <<时，()f x x x =
2x =+21
1
a
a
a
1a a ．
当x ≥()f x x x =
=．
所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=
……………………………………………………7分
思路2：因为()f x x x =-
x x ≤+
=
=
当且仅当x ≥ 所以()max f x ⎡⎤⎣
⎦=
……………………………………………………7分
因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，
所以max b >．………………………………………………………8分
以下给出三种思路求(
)g a =. 思路1：令(
)g a = 所以(
)2
1g
a =+
2
2
12≤+
+=．
=1
2
a =时等号成立． 所以(
)max
g a ⎡⎤⎣⎦
所以b
的取值范围为
)
+∞．…………………………………………………10分
思路2：令(
)g a =
因为01a ≤≤，所以可设2
cos a θ=02θπ⎛⎫≤≤
⎪⎝⎭
， 则()g a
=
cos sin 4θθθπ⎛
⎫=+=+≤ ⎪⎝
⎭
当且仅当4
θπ
=
时等号成立． 所以b
的取值范围为)
+∞．…………………………………………………10分 思路3：令(
)g a = 因为01a ≤≤，设
,1,x a y a 则2
2
1x
y 01,01x y ．
问题转化为在2
2
1x y 0
1,01
x y 的条件下，
求z
x y 的最大值．
利用数形结合的方法容易求得z ， 此时2
2
x
y
．
所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A
B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
22
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-
（B ）3
4-
（C ）3（D ）2
（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π
12个单位长度，则评议后图象的对称轴为
（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π
12 (k ∈Z)
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，
若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3
5，则sin 2α=
（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7
25
（10）从区间[]
0,1随机抽取2n 个数
1x ,
2
x ，…，
n
x ，
1
y ，
2
y ，…，
n
y ，构成n 个数对()11,x y ，
()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n
（11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，
sin 211
3
MF F ∠=
,则E 的离心率为 （A
B ）3
2
（C
D ）2
（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()
y f x =图像的交点为
1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=
45，cos C=5
13
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0 1 2 3 4 ≥5
保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
1 2 3 4 ≥5
概率
0.30 0.15 0.20 0.20 0.10
0. 05
（I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5
4，
EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值. 20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. （21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x
x 2f (x)x 2
-=
+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2
x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积. （23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x∣+∣x+∣，M为不等式f(x)＜2的解集.
（I）求M；
（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。