《函数的概念与性质》复习参考题【高中数学人教版】

《第三章 函数的概念与性质》复习参考题
复习巩固
1．求下列函数的定义域：
（1）52+-=x x y ； （2）5
||4
--=x x y ． 2．已知函数()x
x
x f +-=
11，求： （1）f （a ）＋1（a ≠－1）； （2）f （a ＋1）（a ≠－2）．
3．设()2
211x x x f -+=，求证：
（1）f （－x ）＝f （x ）； （2）⎪⎭
⎫
⎝⎛x f 1＝－f （x ）（x ≠0）．
4．已知函数f （x ）＝4x 2－kx －8在［5，20］上具有单调性，求实数k 的取值范围．
5．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛222，，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断
奇偶性、单调性．
6．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足函数：
⎪⎩⎪⎨⎧
>-=．
，，≤≤，
4000008040002
14002x x x x R （1）将利润P （单位：元）表示为月产量x 的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入＝总成本＋利润） 综合运用
7．已知函数()()()⎩
⎨⎧<-+=，，，
≥，0404x x x x x x x f 求f （1），f （－3），f （a ＋1）的值．
8．证明：
（1）若f （x ）＝ax ＋b ，则()()222121x f x f x x f +=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+；
（2）若g （x ）＝x 2＋ax ＋b ，则()()222121x g x g x x g +⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤
． 9．（1）已知奇函数f （x ）在［a ，b ］上单调递减，那么它在［－b ，－a ］上单调递增还是
单调递减？
（2）已知偶函数g （x ）在［a ，b ］上单调递减，那么它在［－b ，－a ］上单调递增还
是单调递减？
10．某地区上年度电价为0.8元/（kW ·h ），年用电量为a kW ·h ，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW ·h ）至0.75元/（kW ·h ）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW ·h ）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k ）．该地区的电力成本价为0.3元/（kW ·h ）．
（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益y （单位：元）关于实际电价x （单位：元/
（kW ·h ））的函数解析式；（收益＝实际电量×（实际电价－成本价）） （2）设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长
20％？
拓广探索
11．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？
12．试讨论函数y ＝x －
x
1
的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象． 13．如图，△OAB 是边长为2 的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （t ＞0）左侧的图形的
面积为f （t ）．试求函数y ＝f （t ）的解析式，并画出函数y ＝f （t ）的图象．
14．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单
位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如下表所示的关系．
x … 30 40 45 50 … y
…
60
30
15
…
（1）根据表中提供的数据描出实数对（x ，y ）的对应点，根据画出的点猜想y 与x 之间
的函数关系，并写出一个函数解析式；
（2）设经营此商品的日销售利润为P （单位：元），根据上述关系，写出P 关于x 的函
数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？
答案
1．（1）［2，＋∞）． （2）［4，5）（∪5，＋∞）． 2．（1）
2
1a
+． （2）2a a -+．
3．（1）()()()
()22
2
2
1111x x f x f x x
x +-+----＝
＝＝，即f （－x ）＝f （x ）． （2）()2
22
21111111x x f f x x x x ⎛⎫+ ⎪
+⎛⎫⎝⎭
- ⎪-⎝⎭⎛⎫
- ⎪⎝⎭
＝＝＝，即()1f f x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
＝． 4．这个二次函数的对称轴为x ＝8
k
，函数f （x ）＝4x 2－kx －8在［5，20］上具有单调性，则
8k ≥20，或8
k
≤5，解得k ≥160，或k ≤40，即实数k 的取值范围为（－∞，40］∪［160，＋∞）．
5．f （x ）＝1
2
x -．图象如图所示，函数既不是奇函数又不是偶函数，函数在（0，＋∞）上
为减函数．
6．（1）f （x ）＝2
1300200000400260000100400x x x x x ⎧-+-⎪⎨⎪-⎩，
≤≤，，＞
．
（2）当0≤x ≤400时，f （x ）＝1
2
-（x －300）2＋25 000．所以，当x ＝300时，f （x ）有
最大值25 000；当x ＞400时，f （x ）＝60 000－100x 是减函数，f （x ）＜25 000．所以，当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25 000元．
7．f （1）＝1×（1＋4）＝5；f （－3）＝－3×（－3－4）＝21；f （a ＋1）＝()()()()151131a a a a a a ⎧++-⎪⎨+--⎪⎩，＞
，，＜．
8．（1）()()()()121
2
1
2122222f x f x x x a
a f x x
b x x b ++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭
＝，＝，所以()()12122
2f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝． （2）()()()()122222
12
12121212121122
22222g x g x x x x x x x g x x x x a b x x a b ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
＝，＝，因为
()()()22222
1212121211120424
x x x x x x x x ++-+--＝≤，即()()2222
12121211242x x x x x x +++≤，所以()()12122
2g x g x x x g ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
≤． 9．（1）函数f （x ）在［－b ，－a ］上单调递减． （2）函数g （x ）在［－b ，－a ］上单调递减．
10．（1）y ＝0.4k a x ⎛⎫
+ ⎪-⎝⎭（x －0.3），0.55≤x ≤0.75． （2）依题意有0.20.4a a x ⎛⎫
+ ⎪-⎝⎭
×（x －0.3）≥［a （0.8－0.3）］×（1＋20％）且0.55≤x ≤0.75．整
理得2 1.10.300.550.75
x x x ⎧-+⎨⎩≥≤≤，解得0.60≤x ≤0.75，即当电价最低定为0.60元/（kW ·h ）时，
仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％． 11．厂商希望的是甲曲线，客户希望的是乙曲线． 12．设y ＝f （x ），定义域D ＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．
对于任意的x ∈D ，f （－x ）＝1x x ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
＝f （x ），所以函数为奇函数．
设x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝（x 1－x 2）1211x x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
．当x 1，x 2∈（0，＋∞）时，x 1x 2＞0．又
因为x 1＜x 2，易得f （x 1）＜f （x 2）．根据单调性定义可得，y ＝f （x ）在（0，＋∞）上单调递增；当x 1，x 2∈（－∞，0）时，x 1x 2＞0．又因为x 1＜x 2，易得f （x 1）＜f （x 2）．根据单调性定义可得，y ＝f （x ）在（－∞，0）上单调递增．因此，y ＝f （x ）在（0，＋∞），（－∞，0）上都单调递增．图略． 13．解析式为
()()2
230123
2312232t t y f t t t t ⎧⎪⎪⎪⎪--+⎨⎪
⎪⎪⎪⎩
，＜≤，＝＝，
＜≤，，＞． 图象如图所示．
14．（1）由图可以看到这些点近似地在一条直线上，设这条直线为y ＝kx ＋b ，代入两组数据（45，15），（50，0），解得3150k b -⎧⎨⎩
＝，
＝，所以y ＝－3x ＋150（x ∈N ）．
经检验（30，60），（40，30）也在此直线上．所以所求函数解析式为y＝－3x＋150（x∈N）．（2）P＝y（x－30）＝－3（x－40）2＋300，当x＝40时，P有最大值300，故销售价为40元时，才能获得最大利润．。