人教新课标版数学高二人教A选修4-5素材 第三讲《柯西不等式与排序不等式》小结

数学·选修4－5(人教A版)
柯西不等式与排序不等式
本讲小结
1．基本内容．
(1)二维形式的柯西不等式．
二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，包括代数形式、向量形式和三角形式，它们之间是相互等价的．在学习时要从数与形两个方面来理解和记忆，对等号成立的条件要在推导过程中来理解，对于向量形式中|α·β|≤|α||β|取等号的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ，我们可以从向量的数量积的角度理解和记忆．
(2)一般形式的柯西不等式．
由二维形式柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来证明和推广，这样易于记忆不等式的结构与特征，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活运用．
(3)排序不等式．
排序不等式又称排序原理，它是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和．对排序不等式的证明中，用到了“探究—猜想—检验—证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．
在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，所以在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．
2．学习时要注意问题．
(1)柯西不等式．
柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此二维形式的柯西不等式可以理解为有四个顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的．但怎样构造要认真体会，同时还要注意柯西不等式“＝”取到的条件．
(2)一般形式的柯西不等式应用．
我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值问题，但往往不能直接应用，需要对式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因此适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键．。