长安区五中八年级数学下册 第20章 数据的整理与初步处理 20.3 数据的离散程度同步练习 华东师大

20.3 数据的离散程度
一.选择题
1.已知一组数据2，l，x，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是( )．
A．2 B．2．5 C．3 D．5
2．8名学生在一次数学测试中的成绩为80，82，79，69，74，78，x，81，这组成绩的平均数是77，则x的值为( )．
A．76 B．75 C．74 D．73
3．有8个数的平均数是11，还有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是( )． A．11.6 B．232 C．23.2 D．11.5
4.济南某中学足球队的18名队员的年龄如表所示：
年龄（单位：岁）12 13 14 15
人数 3 5 6 4
这18名队员年龄的众数和中位数分别是（）
A．13岁，14岁 B．14岁，14岁 C．14岁，13岁 D．14岁，15岁5. 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为（）
A．1000只 B．10000只 C．5000只 D．50000只
6. 某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入
决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是
99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同 D．无法确定谁的成绩更稳定
二.填空题
7．已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为________．
8．数据1、2、4、4、3、5、l、4、4、3、2、3、4、5，它们的众数是____、中位数是____、平均数是_______．
9. 给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是______；方差是
______ (精确到0.1)．
10．在数据－1，0，4，5，8中插入一个数据x，使得该数据组的中位数为3，则x＝________．11．一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表（有1个数据被遮盖）
组员甲乙丙丁戊平均成绩
成绩91 89 ★90 92 90
那么这五名同学成绩的方差是分2．
12.甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温方差大小关系为S甲2S乙2（填＞或＜）．
三.解答题
13.质量检测部门对甲、乙、丙三家公司销售产品的使用寿命进行了跟踪调查，统计结果如下（单位：年）；
甲公司：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15；
乙公司：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15；
丙公司：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16．
请回答下列问题：
（1）填空
公司数值统计量平均数
（单位：年）
众数
（单位：年）
中位数
（单位：年）
甲公司 5
乙公司9.6 8.5
丙公司9.4 4
（2）如果你是顾客，你将选购哪家公司销售的产品，为什么？
（3）如果你是丙公司的推销员，你将如何结合上述数据及统计量，对本公司的产品进行推销？（至少说两条）
14. 甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，将射击结果作统计分析，
如下表所示：
命中环数 5 6 7 8 9 10 平均
数
众数方差
甲命中环数的次
数
1 4
2 1 1 1 7 6 2.2
乙命中环数的次
数
1 2 4 2 1
(1)请你填上表中乙学生的相关数据；
(2)根据你所学的统计知识，利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平．
15. 为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据
整理成如下统计图．
（1）小明一共调查了多少户家庭？
（2）求所调查家庭5月份用水量的众数、平均数；
（3）若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．
参考答案 一.选择题 1.【答案】B ；
【解析】由众数的意义可知x ＝2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应
为
23
2.52
+=． 2．【答案】D ； 【解析】由题意80827969747881
778
x +++++++=，解得73x =.
3．【答案】A ； 【解析】
1181212
11.620
⨯+⨯=
4.【答案】B ；
【解析】解：∵济南某中学足球队的18名队员中，14岁的最多，有6人，
∴这18名队员年龄的众数是14岁；
∵18÷2=9，第9名和第10名的成绩是中间两个数， ∵这组数据的中间两个数分别是14岁、14岁， ∴这18名队员年龄的中位数是： （14+14）÷2 =28÷2 =14（岁）
综上，可得这18名队员年龄的众数是14岁，中位数是14岁． 故选：B ．
5.【答案】B ； 【解析】解：100÷
5
500
=10000只．故选B ． 6.【答案】B ；
【解析】解：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均
数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． ∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21， ∴乙的成绩比甲的成绩稳定；故选B ．
二.填空题 7．【答案】1、3、5或2、3、4 8．【答案】4；3.5；3.21；
【解析】 数据中4出现了5次，出现的次数最多，所以众数是4；把数据重新排列，最
中间的两个数是3和4，所以这组数据的中位数是 3.5；这组数据的平均数是
1
(2122334552) 3.2114
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 9.【答案】23 2.6；
【解析】先把这组数据按照从小到大的顺序排列，不难发现处于中间的数是23，然后求
出平均数是24，再利用公式2
222121
[()()()]n s x x x x x x n
=-+-++-便可
求出方差约为2.6．
10．【答案】2； 11．【答案】2；
【解析】解：根据题意得：
90×5﹣（91+89+90+92）=88，
方差=[（91﹣90）2
+（89﹣90）2
+（88﹣90）2
+（90﹣90）2
+（92﹣90）2
]=2． 故答案为：2．
12.【答案】＞；
【解析】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；
则乙地的日平均气温的方差小，
故S 2甲＞S 2
乙． 故答案为：＞．
三.解答题 13.【解析】
解：（1）甲厂：平均数为（4+5+5+5+5+7+9+12+13+15）=8，中位数是6；
乙厂：众数为8； 丙厂：中位数为8；
公司 数值 平均数
（单位：年） 众数
（单位：年） 中位数
（单位：年）
甲公司 8 5 6 乙公司 9.6 8 8.5 丙公司
9.4
4
8
（2）乙公司．因为从平均数、众数和中位数三项指标上看，都比其他的两个公司要好， 他们的产品质量更高．
（3）①丙公司的平均数和中位数都比甲公司高；②以从产品寿命的最高年限考虑，购买丙公司的产品的使用寿命比较高的机会比乙公司产品大一些． 14.【解析】
解：乙命中10环的次数为0；
乙所命中环数的众数为7，其平均数为
5162748291
710x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=乙；
故其方差为2
2221[(57)2(67)(97)] 1.210
s =⨯-+-++-=乙．
甲、乙两人射击水平的评价：①从成绩的平均数与众数看，甲与乙的成绩相差不多；②
从成绩的稳定性看，22
s s >乙甲，乙的成绩波动小，比较稳定；③从良好率(成绩在8环
或8环以上)看，甲、乙两人成绩相同；④从优秀率看(成绩在9环及9环以上)看，甲的成绩比乙的成绩好．
15.【解析】
解：（1）1+1+3+6+4+2+2+1=20，
答：小明一共调查了20户家庭；
（2）每月用水4吨的户数最多，有6户，故众数为4吨；
平均数：（1×1+1×2+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8×1）÷20=4.5（吨）；
（3）400×4.5=1800（吨），
答：估计这个小区5月份的用水量为1800吨．
第十一章检测题
(时间：120分钟满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是( D )
A．1，2，3 B．1， 2 ，3 C．3，4，8 D．4，5，6
2．正十边形的一个内角的度数是( D )
A．108°B．120°C．135°D．144°
3．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( A )
A．40°B．60°C．80°D．90°
4．如图，D，B，C，E四点共线，∠ABD＋∠ACE＝230°，则∠A的度数为( A )
A．50°B．60°C．70°D．80°
（第4题图）（第6题图）（第7题图）5．一个正多边形的外角等于45°，则这个正多边形的内角和是( B )
A．1 440°B．1 080°C．900°D．720°
6．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22 cm，AB比AC长3 cm，则△ACD 的周长为( A )
A．19 cm B．22 cm C．25 cm D．31 cm
7．小明同学把自己的一副三角板(两个直角三角形)按如图所示的位置将相等的边叠放在一起，则α的度数为( C )
A．135°B．120°C．105°D．75°
8．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n＋2，n＋8，3n，则满足条件的n 的值有( D )
A．4个B．5个C．6个D．7个
9．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A 的度数是( B )
A．45°B．50°C．55°D．80°
（第9题图）（第10题图）
10．如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是( B )
A．36°B．72°C．50°D．46°
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．工人师傅盖房子时，常将房梁设计成如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用三角形的稳定性．
（第11题图）
（第14题图） （第16题图）
12．若三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，则第三边长为4． 13．若一个n 边形的外角和与它的内角和之和为1 800°，则边数n ＝10． 14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB，交边BC 于点D ，过点D 作DE⊥AB，垂足为点E.若∠CAD＝20°，则∠EDB 的度数是40°．
15．已知a ，b ，c 是三角形的三条边，则化简|a －b ＋c|－|c －a －b|＝2c －2b ．
16．如图，在△ABC 中，∠A ＝84°，点O 是∠ABC，∠ACB 平分线的交点，点P 是∠BOC，∠OCB 平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ACB 的度数是56°．
三、解答题(共72分)
17．(6分)求图中∠α的度数．
(1)
解：∠α＝360°－65°－70°－(180°－40°)＝85°.
(2)
解：∠α＝180°－(360°－90°－90°－40°)＝40°.
18．(6分)若三角形的三边长分别是2，x ，10，且x 是不等式x ＋14 ＜1－1－x
5 的正偶
数解，试求第三边的长x.
解：原不等式可化为5(x ＋1)＜20－4(1－x)，解得x ＜11，又根据三角形的三边关系，得10－2＜x ＜10＋2，解得8＜x ＜12，∵x 是正偶数，∴x ＝10，∴第三边的长为10.
19．(6分)如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，若∠BAC∶∠B∶∠C＝6∶3∶1，求∠DAE 的度数．
解：∵∠BAC∶∠B∶∠C＝6∶3∶1，∴设∠BAC＝6α，则∠B＝3α，∠C ＝α，∵∠BAC ＋∠B＋∠C＝180°，∴6α＋3α＋α＝180°，解得α＝18°，∴∠BAC ＝108°，∠B ＝54°，∠C ＝18°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝180°－90°－54°＝36°，∵
AE 是△ABC 的角平分线，∴∠BAE ＝12 ∠BAC＝1
2 ×108°＝54°，∴∠DAE ＝∠BAE－∠BAD
＝54°－36°＝18°.
20. (8分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝34°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E.
(1)求∠CBE 的度数；
(2)过点D 作DF∥BE，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．
解：(1)∵∠ACB＝90°，∠A ＝34°，∴∠CBD ＝∠ACB＋∠A＝124°，∵BE 是∠CBD 的平分线，∴∠CBE＝1
2 ∠CBD＝62°.(2)∵∠ECB＝90°，∠CBE ＝62°，∴∠CEB ＝90°－∠CBE
＝28°，∵DF ∥BE ，∴∠F ＝∠CEB＝28°.
21．(8分)如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝66°，求∠DAC 的度数．
解：∵∠4＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠4＝2∠1，∵∠3＝∠4，∴∠3＝2∠1，∵∠BAC ＝66°，∴180°－∠2－∠3＝180°－∠1－2∠1＝66°，解得∠1＝38°，∴∠DAC ＝∠BAC －∠1＝66°－38°＝28°.
22．(8分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D. (1)求证：∠ACD＝∠B；
(2)若AF 平分∠CAB，且分别交CD ，BC 于点E ，F ，求证：∠CEF＝∠CFE.
证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠ACD ＋∠DCB＝90°，又∵CD⊥AB 于点D ，∴∠DCB ＋∠B ＝90°，∴∠ACD ＝∠B.(2)∵∠CEF＝∠CAF＋∠ACD，∠CFE ＝∠B＋∠FAB，又∵AF 平分∠CAB，∴∠CAF ＝∠FAB，由(1)知∠ACD＝∠B，∴∠CEF ＝∠CFE.
23．(9分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；
(2)是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在，请举例说明． 解：设三角形的另一个内角为γ.(1)∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，∴当α＝100°时，β＝50°，则γ＝30°，∴这个“特征三角形”的最小内角的度数是30°.(2)不存在．∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，∴当α＝120°时，β＝60°，则γ＝0°，此时不能构成三角形，∴不存在“特征角”为120°的三角形．
24．(9分)如图，在△ABC 中(AC ＞AB)，AC ＝2BC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60 cm 和40 cm 两部分，求边AC 和AB 的长．(提示：设CD ＝x cm )
解：∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，设BD ＝CD ＝x cm ，AB ＝y cm ，∵AC ＝2BC ，∴AC ＝4x cm ，分为两种情况：①若AC ＋CD ＝60 cm ，AB ＋BD ＝40 cm
时，则⎩
⎪⎨⎪⎧4x ＋x ＝60，x ＋y ＝40， 解
得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝12，y ＝28， 即AC ＝4×12＝48(cm )，AB ＝28 cm ，BC ＝2×12＝24(cm )，此时符合AC ＞AB 和三角形三边关系；②若AC ＋CD ＝40 cm ，AB ＋BD ＝60 cm 时，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋x ＝40，x ＋y ＝60， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝52，
即AC ＝4×8＝32(cm )，AB ＝52 cm ，不符合AC ＞AB ，舍去．综上所述，AC 的长为48 cm ，AB
的长为28 cm .
25．(12分) “转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化成具体的问题．
(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数；
(2)若对图①中星形截去一个角，如图②，请你求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数；
(3)若再对图②中的角进一步截去，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想图③中的∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N的度数吗？(只需写出结论，不需要写出解题过程)
解：(1)如图①，∵∠1＝∠2＋∠D＝∠B＋∠E＋∠D，∠1＋∠A＋∠C＝180°，∴∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.(2)如图②，∵∠1＝∠2＋∠F＝∠B＋∠E＋∠F，∠1＋∠A ＋∠C＋∠D＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
(3)根据题(2)可得出规律：图①中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了(180×5)度，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝180°×5＋180°＝1 080°.
15．2.2 分式的加减(2)
1．使学生在掌握分式的加减法法则的基础上，用法则进行分式的混合运算．
2．通过对分式混合运算的学习，提高学生的计算能力和分式的应用能力．
3．在分式运算过程中培养学生具有一定代数化归的能力，培养学生乐于探究、合作交流的习惯，进一步培养学生“用数学的意识”．
重点：分式的加减法混合运算．
难点：正确熟练地进行分式的运算．
一、自学指导
自学1：自学课本P141－142页，掌握分式混合运算的方法，完成填空．(5分钟)
在计算a÷b·1b 时，小明和小丽谁的算法正确？请说明理由． 小明：a÷b·1b ＝a÷1＝a ； 小丽：a÷b·1b ＝a·1b ·1b ＝a b 2. 总结归纳：分式的混合运算与有理数的运算顺序相同，先乘方，然后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟)
1．课本P142页练习题1，2.
2．计算：(1)(3x x －2－x x ＋2)÷x x 2－4
； (2)12x －1x ＋y ·(x ＋y 2x
－x －y)． 解：(1)原式＝(3x x －2－x x ＋2)·x 2－4x ＝3x x －2·x 2－4x －x x ＋2·x 2－4x
＝3(x ＋2)－(x －2)＝3x ＋6－x ＋2＝2x ＋8；
(2)原式＝12x －1x ＋y ·[x ＋y 2x －(x ＋y)]＝12x －1x ＋y ·x ＋y 2x ＋1x ＋y ·(x ＋y)＝12x －12x ＋1＝1.
点拨精讲：适当运用运算律可使计算简便．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 若a ＋3b ＝0，求代数式(1－b a ＋2b )÷a 2＋2ab ＋b 2
a 2－4b
2的值． 解：(1－b a ＋2b )÷a 2＋2ab ＋b 2a 2－4b 2＝a ＋b a ＋2b ·（a ＋2b ）（a －2b ）（a ＋b ）2＝a －2b a ＋b
，∵a ＋3b ＝0，∴a ＝－3b ，∴原式＝－3b －2b －3b ＋b ＝－5b －2b ＝52
. 点拨精讲：这里要用到转化与整体思想．
探究2 有一道题“先化简，再求值：(x －2x ＋2＋4x x 2－4)÷1x 2－4，其中x ＝－5”．小强做题时把“x＝－5”错抄成“x ＝5”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
解：∵(x －2x ＋2＋4x x 2－4)÷1x 2－4＝(x －2x ＋2＋4x x 2－4)·x 2－41＝x －2x ＋2·x 2－41＋4x x 2－4·x 2
－41
＝(x －2)2＋4x ＝x 2＋4，而∵(－x)2＝x 2，即(－5)2＝(5)2，∴小强的计算结果是正确的．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．化简(a a －2－a a ＋2)·4－a 2a
的结果是－4． 2．计算：(y 2x －y x 2)÷y 2x 2＝xy －1y
． 3．计算：(1)(1－1x －2)÷3－x 2x －4
； (2)2x －6x 2－4x ＋4·（x ＋3）（x －2）12－4x ÷x ＋32
. 4．先化简，再求值：x －3x －2÷(x＋2－5x －2
)，其中x ＝－5. (3分钟)1.分式混合运算应先算括号里面的，再算乘方，然后乘除，最后
加减．
2．能运用运算律的可以运用运算律使计算简便．
3．分式运算的最后结果一定要是最简分式或整式．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)。