江西省赣州市博雅文化学校届高三数学二轮专题新题演练.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
【原创】江西省赣州市博雅文化学校2016届高三数学二轮专题新题演练
常用逻辑用语
一、选择题。

1．下列命题正确的个数有（ ）
（1）命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件
（2）命题“R x ∈∃，使得210x x ++<”的否定是:“对x R ∀∈， 均有210x x ++>” （3）经过两个不同的点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线都可以用方程
121()()y y x x --=12()(x x y -1)y -来表示
（4）在数列{}n a 中， 11=a ，n S 是其前n 项和，且满足22
1
1+=+n n S S ，则{}n a 是等比数列
（5）若函数2
2
3
-)(a bx ax x x f ++=在1=x 处有极值10，则114==b a ，
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】B 【解析】（1）错，命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的充分不必要条件；（2）错，命题“R x ∈∃，使得210x x ++<”的否定是:“对x R ∀∈， 均有012≥++x x ”；（3）正确；（4）错，由2211+=
+n n S S 得2211+=-n n S S ，两式相减得)2(21
1≥=+n a a n n ，又2322121212=⇒+=+=a a a a S ，不满足122
1
a a =，故{}n a 不是等比数列；
（5）正确，若函数2
2
3
-)(a bx ax x x f ++=在1=x 处有极值10，则0)1('
=f ，10)1(=f ，所以
101,0232=+-+=-+a b a b a ，解得114==b a ，。

2．下列命题中，正确的是 （ ）．
A ．存在00x >，使得00
sin x x <
B ．“lna lnb >”是“1010a b >”的充要条件
C ．若1sin 2
α≠
，则6π
α≠
D ．若函数3
2
2
()3f x x ax bx a =+++在1x =-有极值0，则2,9a b ==或3,1==b a 【答案】C
【解析】A 中，令()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在(0,)+∞为增函数，所以()(0)0f x f >=，即sin x x >，所以不存在00x >，使得00sin x x >，不正确；B 中当0b a <<时，ln ln a b >不成立，不正确；D 中，2
()36f x x ax b '=++，则有
2
360130
a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得29a b =⎧⎨=⎩或13a b =⎧⎨=⎩，而当3,1==b a 时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥，此时函数无极值，故D 不正确； C 正确，故选C ．
【易错】判断选项A 中命题时会直观误认为函数y x =与函数sin y x =有交点，进而认为是正确的；判断选项B 时，由“1010a b >”推导“lna lnb >”时会忽视,a b 的符号；判断D 中命题时，会忽视所求得的,a b 值进行极值验证．
3．下列命题：①△ABC 的三边分别为c b a ,,则该三角形是等边三角形的充要条件为
bc ac ab c b a ++=++222；②数列{}n a 的前n 项和为n S ，则Bn An S n +=2
是数列{}n a 为
等差数列的必要不充分条件；③在△ABC 中，A ＝B 是sin A ＝sin B 的充分必要条件；④已
知222111,,,,,c b a c b a 都是不等于零的实数，关于x 的不等式0112
1>++c x b x a 和
02222>++c x b x a 的解集分别为P ，Q ，则
2
1
2121c c b b a a ==是Q P =的充分必要条件，其中正确的命题是（ ）
A ．①④
B ．①②③
C ．②③④
D ．①③ 【答案】D
【解析】对于①：显然必要性成立，反之若bc ac ab c b a ++=++2
22，则
()
()bc ac ab c b a ++=++22222，整理得()()()02
2
2
=-+-+-c a c b b a ，当且仅当
c b a ==时成立故充分性成立，故①是真命题；对于②：由Bn An S n +=2得
B A a +=1；当2≥n 时，B A An s s a n n n +-=-=-21，显然1=n 时适合该式，因此
数列{}n a 是等差数列，故满足充分性，故②是假命题；对于③：在三角形中
b a B A =⇔=，又由正弦定理得
C
c
B b A a s in s in s in =
=，则B A b a s in s in =⇔=，所以B A B A s in s in =⇔=，故③是真命题；对于④：实际上不等式052>++x x 与022>++x x 的解集都是R ，但是2
5
1111≠=，
故不满足必要性，故④是假命题．故选D ．
4．已知复数,则“”是“是纯虚数”的（ ）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】当3
π
θ=
时，(tan
3)11
3
i z i i
i
π
--=
=-=为纯虚数，
反之，(t a
n 3)
1
33t a n i z i i
π
θ-
-=
=-++为纯虚数，则3tan 0θ-+=，∴
t a n 3θ=
，
∴3
k π
θπ=
+或43
k π
θπ=
+， ∴“3
π
θ=
”是“z 是纯虚数”的充分不必要条件.
5．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
≥+()F x kx b 和≤+()G x kx b 恒成立，则称此直线=+y kx b 为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已
知函数=∈=<=2
1()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x
．有下列命题：
①=-()()()F x f x g x 在∈-31
(,0)2
x 内单调递增;
②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”, 且b 的最小值为-4; ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”, 且k 的取值范围是-(4,0]; ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”=-2y ex e ． 其中真命题的个数有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
【解析】 (1)=-()()()F x f x g x =21x x -
，()21
2F x x x
'∴=+，则()0,F x '>解得∈-31(,0)2x ，所以=-()()()F x f x g x 在∈-31
(,0)2
x 内单调递增;故①正确．
(2)()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”,设“隔离直线”为=+y kx b ，当“隔离直线”与
21
(),()(0),f x x g x x x
==
<同时相切时，截距最小，令切点坐标为()()1122,,,x y x y ，则切线方程为2
11222122,y x x x y x x x =-=-+或所以1
2221
2122
x x x x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，故1212,2x x =-=-，所
以2
14b x =-=-，此时截距最小，故②正确；此时斜率为124x =-，k 的取值范围是
[4,0]-．故③错误．
④令F （x ）=h （x ）-m （x ）=x 2
-2elnx （x ＞0），再令F′（x ）═22e
x x
-=0，x ＞0，得x=e ，从而函数h （x ）和m （x ）的图象在x=e 处有公共点．
因此存在h （x ）和m （x ）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则 隔离直线方程为y-e=k （x-e ），即y=kx-k e +e ． 由h （x ）≥kx -k e +e 可得 x 2-kx+k e -e≥0当x ∈R 恒成立，
则△=k 2
-4k e +4e=2
()2k e -≤0，只有k=2e 时，等号成立，此时直线方程为：
y=2e x-e ．同理证明，由φ（x ）≤kx -k e +e ，可得只有k=2e 时，等号成立，此时直线方程为：y=2e x-e ．
综上可得，函数f （x ）和g （x ）存在唯一的隔离直线y=2e x-e ，故④正确．
6．以下四个命题中：
①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40．
②线性回归直线方程a x b y
ˆˆˆ+=恒过样本中心),(y x ③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2
(2,) (0)N σσ>．若ξ在(,1)-∞内取值的概率为0.1，则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4； 其中真命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】C
【解析】①不正确，因为
800
2040
=，所以分段的间隔k 应为20； ②正确，根据公式ˆˆa
bx y =-可知点),(y x 必在直线a x b y ˆˆˆ+=上； ③正确，因为ζ服从正态分布2
(2,) (0)N σσ>，所以()20.5P ζ<=，
()10.1P ζ<=， ()()()12210.4P P P ζζζ∴<<=<-<=，由对称性可知()()23120.4P P ζζ<<=<<=．综上可得真命题的个数为2，故C 正确．
7．定义在R 上的函数)(x f y =满足5
5()()22f x f x +=-，5()()02
x f x '->，则对任意的21x x <， 都有)()(21x f x f >是521<+x x 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】由题意定义在R 上的函数)(x f y =满足55()()()(5)22
f x f x f x f x +=-∴=-，即函
数)(x f y =的图象关于直线5
x 2
=．对称又因5
()()0
2
x f x '-
>，故函数)(x f y =在5,2+∞（）上是增函数．再由对称性可得，函数)(x f y =在5
,2
∞（-）
上是减函数． 由对任意的21x x <，都有)()(21x f x f >，故1x 和2x 在区间5
,2
∞（-）
上，可知521<+x x ． 反之，若521<+x x ，则有2155
22
x x ->-，故11x 离对称轴较远， 2x 离对称轴较近，由
函数的图象的对称性和单调性，可得)()(21x f x f >f （x 1）＞f （x 2）．综上可得，“对任意的
21x x <， 都有)()(21x f x f >”是“521<+x x ”的充要条件，
8．给出命题p ：直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0互相平行的充要条件是3a =-；命题q ：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β．下列结论中正确的是（ ）
A 、“p∧q”为真命题
B 、“p∨q”为假命题
C 、“p∨﹁q”为假命题
D 、“p∧﹁q”为真命题 【答案】D
【解析】命题p ：直线310ax y ++=与直线
()2110
x a y +++=互相平行的充要条件是
()16
32a a a a +=⎧⎪⇒=-⎨
≠⎪⎩，所以为真命题；命题q ：若平面α内不共线的三点到平面β的距
离相等，平面α与平面β相交也可以，所以为假命题，即p 为真命题，q 为假命题，所以“p
∧﹁q”为真命题，故选择D 9．下列说法中，不正确．．．
的是 A ．“x y =”是“x y =” 的必要不充分条件
B ．命题“若,x y 都是奇数，则xy 是奇数”的否命题是“若,x y 不都是奇数，则xy 不是奇数”
C ．命题2:,0p x R x ∀∈>或20x =，则0:p x R ⌝∃∈使200x >或2
00x =
D ．命题:p 若回归方程为1y x =-，则y 与x 正相关；命题q ：若(2,4)x N ，则
(2)0.5P X >=，则()()p q ⌝∨⌝为真命题 【答案】C
【解析】,,A B D 都正确，在C 中，:p x ⌝∃∈R 存在0x R ∈,使22
0000x x ≤≠且．
10．已知,a b 是两个非零向量，给定命题:p ||||||a b a b +=+;命题:q t R ∃∈，使得 a tb =;则p 是q 的 （ ）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】||||||a b a b +=+b a b a ⋅=⋅⇔22即cos ,1a b <>=，,a b 同方向．因此一定
,R t ∈∃使a tb =，所以p 是q 的充分条件．,R t ∈∃使a tb =有两种可能性，当0>t 时，
,a b 同方向；当0<t 时，,a b 方向相反．综上知，p 是q 的充分不必要条件．故选A ．
二、填空题。

11．给出下列四个命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为 ②若为锐角，
，则
③函数
的一条对称轴是
④已知 ，，则
其中正确的命题是 ． 【答案】③④
【解析】对于①，根据扇形面积公式22
11121222
S r α=
=⨯⨯=，①不对；对于②，
()()()11tan tan 23tan 2111
1tan tan 123
αββαβαββ++++===-+⋅-⨯，24k π
αβπ∴+=+，因为βα,为
锐角，3
1
tan ,21)tan(==+ββα，所以24παβ+=，②不对；对于③，
2362
k x k x πππ
π-=∴=+
，当1k =时，23x π=，③正确；因为21sin cos 2sin sin 4545ππαααα⎛⎫⎛
⎫+=+=-∴+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又
()πα，0
∈2
66
c o s t
a
n
45
4
1
2
ππ
αα⎛⎫⎛⎫∴+=-∴+
= ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
，④正确．
12．在平面直角坐标系中，动点P （x ，y ）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论： ①曲线W 关于原点对称；
②曲线W 关于直线y ＝x 对称；
③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于2
1
； ④曲线W 上的点到原点距离的最小值为22-
其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】②③④
【解析】由题意2
2
(1)(1)x y x y +=-+-，化简得1xy x y ++=，用(,)x y --代方程中的(,)x y 所得方程与原方程不相同，因此①错；把原方程中,x y 互换，方程不变，因此曲线关于直线y x =对称，②正确；当0,0x y ≥≥时，方程为1xy x y ++=，即2
11
y x =-+，记(1,0),(0,1)A B ，曲线2
11
y x =
-+ (0,0)x y ≥≥在OAB ∆内部，而1
2
OA B S ∆=
，因此③正确；当0xy ≥时，曲线方程为2
11
y x =
-+，当0xy ≤时，方程为1(0)x y =≤或1(0)y x =≤，由于曲线关于直线y x =对称，由2
11y x y x =⎧⎪
⎨=-⎪+⎩
，解得2121x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩或2121x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，曲线W 上点到原点的最短距离为2
2
(21)(21)22-+-=-，④正确，故填②③④.
13．给出如下四个命题：
①若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题； ②命题“若
且
，则
”的否命题为“若
且
，则
”；
③在ABC ∆中，“”是“
”的充要条件；
④已知条件，条件
，若
是
的充分不必要
条件，则
的取值范围是
；
其中正确的命题的是 ．
【答案】④
【解析】若“p 或q ”为真命题，则p 、q 至少有一真，所以命题①错误；命题“若
且
，则
”的否命题为“若
或
，则
”，故命题②错误；三角
形ABC 中，角A 时，，故命题③错误；若是的充分不必要条件即p
是q 的充分不必要条件．由因p: ，所以由一元二次方程根的分布可得，
解得，
．故正确的命题是④．
三、解答题。

14．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对(0,)x ∀∈+∞，都有(2)2()f x f x =；当(]
1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论：其中所有正确结论的序号是： ． ①对m Z ∀∈，有(2)0m
f =； ②函数()f x 的值域为[)0,+∞； ③存在n Z ∈，使得(21)9n f +=；
④函数()f x 在区间(),a b 单调递减的充分条件是“存在k Z ∈，使得1
(,)(2,2
)k
k a b +⊆”．
【答案】①②④．
【解析】对于①，令2x =，则(2)220f =-=，当m Z ∈时，
1221(2)2(2)2(2)2(2)0m m m m f f f f ---===
==，即①正确；对于②，因为当(]
1,2x ∈时，()2f x x =-，所以(]1,2x ∀∈，()(2)0f x f ≥=，又因为(0,)x ∀∈+∞，都有(2)2()
f x f x =，所以(0,)x ∀∈+∞，()(2)0f x f ≥=，即②正确；对于③，因为1(21)221n n n f ++=--，假设存在n 使得(21)9n f +=，即存在12,x x ，使得122210x x
-=，
又因为2x 变化如下：2,4,8,16,32，显然不存在满足条件的值，即③不正确；对于④，根据②知，当1
(2,2
)k
k x +⊆时，1()2k f x x +=-为减函数，所以函数()f x 在区间(,)a b 上单调
递减的充分条件是存在k Z ∈，使得1
(,)(2,2)k
k a b +⊆，即④正确．故应填①②④．。