2021-2022年高中数学评估验收卷二检测含解析新人教A版选修

2021年高中数学评估验收卷二检测含解析新人教A 版选修
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－2
2
t ，y ＝2＋2
2t (t 为参数)上的是(
)
A ．(－1，2)
B ．(2，－1)
C ．(3，－2)
D ．(－3，2)
解析：直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0.
答案：D
2．方程⎩⎨
⎧x cos θ＝a ，
y ＝b cos θ
(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．双曲线的一部分
解析：由x cos θ＝a ，所以cos θ＝a x
，
代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，
又由y ＝b cos θ，知y ∈[－|b |，|b |]， 所以曲线应为双曲线的一部分． 答案：D
3．圆的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ
(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2，23)是圆
上一点，则对应的参数θ的值是( )
A.π3
B.23π
C.4
3
π D.53
π 解析：因为点Q (－2，23)在圆上，
所以⎩⎨⎧－2＝4cos θ，23＝4sin θ
且0≤θ<2π，所以θ＝23π.
答案：B
4．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆⎩⎨⎧x ＝r cos φ，
y ＝r sin φ
(φ是参数)的位置
关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．视r 的大小而定
解析：易知圆的圆心在原点，半径是r ，则圆心(0，0)到直线的距离为d ＝|0＋0－r |
cos 2
θ＋sin 2
θ＝r ，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．
答案：B
5．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋t ，
y ＝b ＋t
(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点
P 1与点P (a ，b )之间的距离是( )
A ．|t 1|
B ．2|t 1|
C.2|t 1|
D.
2
2
|t 1| 解析：点P 1与点P 之间的距离为
（a ＋t 1－a ）2
＋（b ＋t 1－b ）2
＝t 2
1＋t 2
1＝2|t 1|. 答案：C
6．已知圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），
y ＝r （sin φ－φcos φ）
(φ为参数)上有一点的坐标为
(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )
A ．π
B ．3π
C ．4π
D ．9π
解析：把已知点(3，0)代入参数方程得
⎩⎨
⎧3＝r （cos φ＋φsin φ）， ①
0＝r （sin φ－φcos φ）， ②
由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r ＝3，所以基圆的面积为9π. 答案：D
7．已知圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝－1＋cos α，
y ＝1＋sin α
(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y
＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )
A.13
B.15 C ．－13 D ．－15 解析：圆C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，
所以圆心C (－1，1)．直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线的距离最大，因为k CA ＝－5，所以－k ＝15，所以k ＝－15.
答案：D
8．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，
y ＝4sin θ
(θ为参数)的离心率是( )
A.74
B.
73 C.72
D.
75
解析：椭圆⎩
⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ的标准方程为x 29＋y 2
16＝1，
所以e ＝
7
4
. 答案：A
9．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐
标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，
y ＝t －3
(t 为参数)，圆C 的极
坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )
A. 14 B ．214 C. 2 D ．22
解析：由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|
2＝2，
直线l 被圆C 截得的弦长为222－（2）2＝2 2. 答案：D
10．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2
，
y ＝4t
(t 为参数)上，则|PF |等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：消参得抛物线的普通方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1，
由抛物线的定义，得|PF |＝3－(－1)＝4. 答案：C
11．已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 2
3
＝1上的一个动点，则
S ＝x ＋y 的取值范围为( )
A ．[5，5]
B ．[－5，5]
C ．[－5，－5]
D ．[－5，5]
解析：因椭圆x 22＋y 2
3＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，
y ＝3sin φ
(φ为参数)，故可设动点P
的坐标为(2cos φ，3sin φ)，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5(25
cos φ
＋
35
sin φ)＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝6
3，所以S 的取值范围是[－5， 5 ]，
故选D.
答案：D
12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t
(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2
＝2x ，l 与C 交于P 1，
P 2两点，则点A (0，2)到P 1，P 2两点距离之和是( )
A ．4＋ 3
B ．2(2＋3)
C ．4(2＋3)
D ．8＋3
解析：将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3
2
t ′，y ＝2＋12
t ′(t ′为参数)，代入y 2
＝2x ，得t ′
2
＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2＋3)，
t 1′t 2′＝16>0.
由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0，2)的下方，
则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3)． 答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．曲线C ：⎩⎨
⎧x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为________．
解析：曲线C 的普通方程为x 24＋y 2
9＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝ a 2
－b 2
＝5，所以
椭圆C 上的点到焦点的距离的最小值为3－ 5.
答案：3－5
14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，
y ＝t (t 为参数)
和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ
(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，
y ＝t ，
得y ＝x ，
又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.
由⎩
⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2
＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1， 即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)
15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，
y ＝（t －1）2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的
直角坐标为________．
解析：曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，
y ＝（t －1）
2
可化为y ＝(x －2)2， 射线θ＝π
4
可化为y ＝x (x ≥0)，
联立这两个方程得x 2－5x ＋4＝0，点A ，B 的横坐标就是此方程的根，线段AB 的中
点的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52，52.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，52
16．在直角坐标系Oxy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设
点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，
y ＝4＋sin θ
(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最
小值为________．
解析：因为C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1，
所以两圆圆心之间的距离为d ＝32＋42＝5. 因为A 在曲线C 1上，B 在曲线C 2上， 所以|AB |min ＝5－2＝3. 答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆O 的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ≤
2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π
3
，求点M 的坐标．
解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ
(0≤θ<2π)，
平方得x 2＋y 2＝4，
所以圆心O 为(0，0)，半径r ＝2.
(2)当θ＝5π
3时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－3，
所以点M 的坐标为(1，－3)．
18．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝3＋1
2t ，y ＝2＋3
2t
(t 为参数)，曲线
C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ
(θ为参数)．
(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
解：(1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ
得x 2＋y 2＝16，
所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋1
2t ，y ＝2＋3
2t
代入x 2
＋y 2
＝16，
整理，得t 2
＋33t －9＝0. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则
t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.
|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝37.
19．(本小题满分12分)已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t
(t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．
解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)．
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为
d ＝
5
5
|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝25
5
|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝4
3
.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为225
5
.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为
25
5
. 20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
⎩
⎨
⎧x ＝sin α＋cos α，
y ＝1＋sin 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π4＝2，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22
a ·cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ＋3π4(a >0)．
(1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)； (2)若直线l 与C 2相切，求a 的值．
解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2，2]， 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，
联立⎩⎨⎧y ＝x 2
，x ＋y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝4
(舍去)．
故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4.
(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，
即 (x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)．
由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|2
＝2a ，故a ＝1. 21．(本小题满分12分)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α
(t 为参数)经过椭圆C ：⎩
⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的左焦点F . (1)求m 的值；
(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA |·|FB |的最大值，最小值． 解：(1)椭圆的参数方程化为普通方程为x 24＋y 23
＝1， 则F 的坐标为(－1，0)，
又直线l 过点(m ，0)，故m ＝－1.
(2)把x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α代入椭圆C 的普通方程，化简得(3cos 2α＋4sin 2α)t 2－6t cos α－9＝0，
设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2，
则|FA |·|FB |＝|t 1·t 2|＝
93cos 2α＋4sin 2α＝93＋sin 2α， 故当sin α＝0时，|FA |·|FB |取最大值3，当sin α＝1时，|FA |·|FB |取最小值94
. 22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α
(α为参数)，在以原点为极点、x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
l 的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；
(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.
解：(1)由⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α
消去参数α，得x 29＋y 2＝1， 即C 的普通方程为x 29＋y 2
＝1. 由ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩
⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4
. (2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4
(t 为参数)，
即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，
y ＝2＋22
t (t 为参数)， 代入x 2
9＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0，
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275
>0，所以t 1<0，t 2<0， 所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825
.。