高三数学质量监测试题(四)文(扫描版)(2021年整理)

吉林省长春市2017届高三数学质量监测试题（四)文(扫描版）
长春市普通高中2017届高三质量监测（四）
数学（文科)参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. A
2. D 3。

B 4。

A 5. D
6。

C
7. D 8。

A 9. C 10. B 11. A 12. B
简答与提示：
1. 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.
【试题解析】A 由可知,原式. 故选A 。

2. 【命题意图】本题考查集合交运算。

【试题解析】D 由，, 故。

故选D.
3. 【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质。

【试题解析】B 根据分段函数的的图像可知，该函数的值域为。

故选B.
4. 【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念。

【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中,拟合度较好,故选A.
5. 【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图。

【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D.
6. 【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质.
【试题解析】C 由，则. 故选C 。

7. 【命题意图】本题考查三视图。

【试题解析】D 最大面积为. 故选D.
8. 【命题意图】本题考查函数图像辨析问题。

2
1i =-110i i =
--+={|24}A
x x x =<->或{|4}B xx =<{|2}
A Bx x =<-()f x (1
,)-+
∞()c o s 2s i n 2o s (2)
4fx x x π
=-
+(o s (2())o s (2)i n 2842x x x
πππ
+++
【试题解析】A 由对数函数图像可知. 故选A.
9. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关性质.
【试题解析】C 由题意知，，，因此。

故选 C. 10. 【命题意图】本题主要考查球内的几何体的相关性质。

【试题解析】B 由题可知为△的直径，令球的半径为，则
，
可得
，则球的表面积为。

故选B 。

11. 【命题意图】本题考查双曲线的定义.
【试题解析】A 不妨设,则，则，,且，即为最小边，即，则△为直角三角形，且，即渐近线方程为,故选A.
12. 【命题意图】本题是考查函数的图像及性质。

【试题解析】B 由函数的图像与周期性可知，所有交点的横坐
标之和为，故所有实根之和为。

故选B 。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14.
15. 16。

8月4日
简答与提示：
13. 【命题意图】本题考查等比数列问题.
【试题解析】由等比数列基本量运算可知,因此。

14. 【命题意图】本题考查线性规划的相关知识。

【试题解析】由题意可先画出可行域，再由目标函数的几何意义， 判断最优解为，故的最小值为.
15. 【命题意图】本题考查向量的运算和几何意义.
0d <20160a >201620170a
a +<403140320,0S S ><AB ABC R 2
22
()(2)3R R =+3
2
R =2
49S
R ππ==12||||P
F P F >1212||||2
||||6P F P F a P F P F a -=⎧⎨+=⎩
1||4P
F a =2||2P F a =12||2F F c =2||PF 1230P F F ∠=
12PF F 223c a =2y x
=±7
-7
-82
-14
-
22q =68a =(1,0)z
2
-
【试题解析】由题意
，则，
即,故。

16. 【命题意图】本题考查学生的逻辑推理能力。

【试题解析】根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”， 可排除5月5日、5月6日、9月4日、9月6日、9月9日； 乙听了甲的话后，说“本来我不知道,但现在我知道了”, 可排除2月7日、8月7日；甲接着说“哦,现在我也知道了”， 现在可以得知张老师生日为8月4日. 三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查解三角形的相关知识。

【试题解析】（Ⅰ）由题意,在△中，
，
（4
分）
则.
(6分）
(Ⅱ）在△中，
，
（8分）
则
, 。

综上四边形
的面积为.
（12
分）
18. （本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处理能
2222||||||||2=+=++aa b a ba b 1
2
⋅=-
a b |
|||c o s θ⋅=⋅ab a b 1
cos 4
θ=-
BAC 2221
c o s 22A B A CB C B A C A B A C +-∠==
⋅⋅3
BAC π∠=
BAC 22211
s i n c o s 214B C A C A B A C D A C B B C A C +-∠=∠==
⋅⋅1132
s i n 27A C D
S A C C D A C D =⋅⋅∠=△1
s i n 2A B C
S A B A C B A C =⋅⋅∠△A
B C D 132
7+
力。

【试题解析】(1）由题意，所求概率为
（4分）
(2）记分别为选择个月、个月、个月、个月、个月贷款，
（6分）
由题意知小王和小李的所有选择有：
， ，共25种， （8分)
其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有
共13种，
（10
分）
所以所求概率为。

（12分）
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接，设与的交点为，连接,
因为为中点,为中点，所以，所以平面, 又因为在平面内，所以平面平面.
（
6分)
（Ⅱ）连接，，,设交于点
，由四边形为正方形 所以
,又因为点到平面， 所以⊥平面，所以，
(8分)
又因为，所以平面，所以， 所以菱形为正方形，由于到平面的距离为， （10分） 所以三棱锥的体积。

（12分）
2040200.8
100P ++==,,,,abcde
612182436,,,,,,,,,,,,,,a a a b a c a d a e b a b b b c b d b e c a c b c c c d c e ,,,,,,,,,d a d b d c d d d e e a e b e c e d e e ,,,,,,,,a a a b a c a d a e b a b b b c ,,,c ac bc c ,da ,
ea 13
25
BD AC BD F EF E
1B D F
BD 1//E F B B E F ⊥A
B C D EF ACE A
C E ⊥A B C
D 1AB 1C D 1CD 1C D 1CD G
11CDDC
CG =
C
AED 1CD A D E 1C
D A D ⊥1A D D D ⊥A D ⊥11CDDC
A D C D ⊥A
B C D E A
B C D 1
2C
A D E -111
3212V E F A D C D =⨯⨯⨯⨯=
20. (本小题满分12分）
【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力。

【试题解析】（Ⅰ）设于交点为，，，由题可知,
，
（4分）
从而有，整理得，即为椭圆方程.
（6分） （Ⅱ），设,有
,
（8分）
从而所求四边形面积
，
(10分）
当且仅当
取得最大值.
(12分）
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究
函数的单调性等,考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】(Ⅰ) 函数的定义域为．
, 令，得;
（舍去）．
（2分）
当
所以，函数的极小值为，无极大值．
（4分）
AQ BP
C
(,)x y 1(2,)P
y -1(,2)Q x 111
1
22,,242224y x y y y x x x +===++--42
2
y x x y -+=-22
1
4x y +=(2,0)R 00(,)Mx
y 0y 001121222x S y =⨯⨯+⨯+00x y )(x f (0,)
+∞21
()4
f x x '=-+21()4 =0f x x '=-+11
2
x =
21
2
x =-
x
()f x 1()4
2
f =
(Ⅱ） ，
令,得，， （6
分）
当时，，函数的在定义域单调递增; (7分）
当时，在区间,，上,单调递减， 在区间，上，单调递增; (8分)
当时,在区间,，上，单调递减， 在区间，上，单调递增． （9分）
(Ⅲ）由(Ⅱ）知当时,函数在区间单调递减; 所以，当时,,
（10分）
问题等价于：对任意的， 恒有成立，即，
因为,，
所以，实数的取值范围是
． (12分）
22. （本小题满分10分） 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.
【试题解析】 (I ） 由题意知。

（5分）
（II ）由点在曲线上，则 2221(21)(1)()2 a x a x fx a x x x --+'=-+=()0f x '=11
2x =21
x a =-2a =-()0f x '≥)(x f (0,)+∞20a -<<1(0,)21(,)a -+∞()0f x '<)(x f 11(,)2a -()0f x '>)(x f 2a <-1(0,)a -1(,)2+∞()0f x
'<)(x f 11(,)2a -()0f x '>)(x f (3,2)a
∈--)(x f [1,3][1,3]x ∈m a x
()(1)12fx f a ==+m i n 1()(3)(2)l n 363fx f a a ==-++(3,2)a
∈--1(l n 3)2l n 312(2)l n 363m a a a a +->+----a am 432->0a <432-<∴a m m 13(,]3-∞-2
21:1,4x C y +=222:(2)4Cx y -+=,A B 1C
， ，，
因此. (10分）
23. (本小题满分10分）
【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式以及不等式证明的相关知识,本小题重点考查考生的化归与转化思想。

【试题解析】（Ⅰ) 因为，所以,
又因为不等式的解集为或，解得。

（5分）
(Ⅱ）
（10分）
2120413sin ρθ=+2220413sin ()2ρπθ=++2021113sin 4θρ+=2022113c o s 4θρ+=2200221213s i n 13c o s 115444θθρρ+++=+=0a >21,1()|1|||=1,121,x a x f x x x a a x a x a x a -+-<-⎧⎪=++-+-<⎨⎪-+⎩≤≥()5f x ≥{|2x x -≤3}x ≥2a =111()()1112a b b c c a a b b c c a a b b c c a m ++++++++
++++=+++1112b cca a bca a bb c a
ba b b cb c caca m ++++++++++++++++++++=3922b ca bcab ca bca a bb cb ccacaa b m m ++++++++++++++++++≥=。