高二数学下学期年度过关考试(7月)试题 文 新目标A版

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2019高二年度过关考试
文科数学试题
时量120分钟 满分100分
(考试范围:集合、函数（不考导数）三角函数及解三角形、立体几何、数列、平面向量及复
数)
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}|321 3 A x x =-≤-≤,集合B 是函数()lg 1y x =-的定义域;则A B ⋂= A. ()1,2 B. (]1,2 C. [)1,2 D. []
1,2 2．已知复数3412i
z i
-=
-，则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．“
为假”是“
为假”的( )条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要 4．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中
①//BM ED ②CN 与BM 成60角
③CN 与BM 为异面直线 ④DM BN ⊥
以上四个命题中，正确的序号是 A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④ 5．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日所织之和为七尺，则第十日所织
尺数为 A. B.
C.
D.
6．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为
A. 4
B. 8
C.
43 D. 83 7．设0.1359
2,ln ,log 210
a b c ===，则,,a b c 的大小关系是
A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >>
8．在ABC ∆中， 1,6
AB AC B π
===
，则ABC ∆的面积等于
9．已知数列{}n a 满足1362,4a a a ==， n a n ⎧
⎫⎨⎬
⎩⎭
是等差数列，则数列(){}1n
n
a -的前10项
的和10S =
A. 220
B. 110
C. 99
D. 55
10．已知中，
，
，
，为线段
上任意一点，则
的
范围是
A. B. C. D.
11．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的
图象，若在上为增函数，则的最大值为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
12．定义在区间（1，+∞）内的函数f （x ）满足下列两个条件： ①对任意的x∈（1，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立； ②当x∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x.
已知函数y=f （x ）的图象与直线mx-y-m=0恰有两个交点，则实数m 的取值范围是 A. [1，2） B. （1，2]
C. 4
[23，） D. 42]3
（，
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13．已知3,4a b ==，且a 与b 的夹角120θ=，则a b +=__________．
14．已知，且在第二象限角，则 =____________.
15．已知命题:P x R ∀∈， ()
22log 0x x a ++>恒成立，命题[]
0:2,2Q x ∃∈-，使得
022x a ≤，若命题P Q ∧为真命题，则实数a 的取值范围为__________．
16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当11x -≤≤时， ()2x
f x =，
函数()g x x =，实数,a b 满足3b a >>.若[]12,,x a b x ⎡⎤∀∈∃∈⎣⎦
,使得
()()12f x g x =成立,则b a -的最大值为____________.
三、解答题：共52分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~19题每题8分，
第20、21每题9分，第22题10分。

17．（满分8分）已知函数())2sin cos 3
f x x -x x π
=-.
（I ）求f (x )的最小正周期及对称中心；
（II ）当,]44
x ππ
∈
-（时，求f (x )的值域．
18．（满分8分）设的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角； （2）若，
，求的面积．
19．（满分8分）已知向量222m =
-（，， sin cos n x x =（，）， 0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
. （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若向量m n ，的夹角为3
π
，求cos2x 的值.
20．（满分9分）已知数列是等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
21．（满分9分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，BC＝CC1＝4，D是A1C1中点．
(1)求证：A1B∥平面B1CD；
(2)当三棱锥C－B1C1D体积最大时，求点B到平面B1CD的距离．
22．（满分10分）数列满足条件：，其中.证明：对于任意的正整数，有如下结果成立.
（Ⅰ）数列为等比数列；
（Ⅱ）记数列，则数列为单调递减数列；
（Ⅲ）.
衡阳市八中2019届高三第一次月考试题（答案）
数学（文科）
命题人：谷中田 分值：100分 时量：120分钟
(考试范围:集合、函数（不考导数）三角函数及解三角形、立体几何、数列、平面向量及复数) 一、
选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

B A A D B C A B B D A C
1．设集合{}|321 3 A x x =-≤-≤,集合B 是函数()lg 1y x =-的定义域;则A B ⋂= A. ()1,2 B. (]1,2 C. [)1,2 D. []
1,2
【答案】B 【解析】由A 中不等式变形得：−2⩽2x ⩽4，即−1⩽x ⩽2，
∴A =[−1,2]，由B 中y =lg (x −1)，得到x −1>0，即x >1， ∴B =(1,+∞)，则A ∩B =(1，2]， 2．已知复数3412i
z i
-=
-，则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】34112
1255
i z i z i -==+-在复平面内对应的点Z 坐标为112,55⎛⎫
⎪⎝⎭
在第一象
限，故选A. 3．“
为假”是“
为假”的( )条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】分析：根据充分、必要条件的定义进行判断即可． 详解：当“为假”时，则
都为假，故“
为假”；反之，当“
为假”时，
则中至少有一个为假，此时“
为假”不一定成立．
所以“
为假”是“
为假”的充分不必要条件．故选A ．
4．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中 ①//BM ED ②CN 与BM 成60角 ③CN 与BM 为异面直线 ④DM BN ⊥
以上四个命题中，正确的序号是 （ ）
A. ①②③
B. ②④
C. ③④
D. ②③④ 【答案】D
【解析】
由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如上图所示：
由正方体的几何特征可得：①BM ED 与不平行，不正确； ②AN ∥BM ，所以，CN 与BM 所成的角就是∠ANC=60°角，正确；③CN 与BM 不平行、不相交，故异面直线CN 与BM 为异面直线，正确；
④易证DM BCN ⊥面，故DM BN ⊥，正确；故选D ．
5．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日所织之和为七尺，则第十日所织尺数为（ ） A. B.
C.
D.
【答案】B 【解析】分析: 由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十日所织尺数．
详解: 设第一天织a 1尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺，
由已知得，即
解得a 1=1，d=1，∴第十日所织尺数为a 10=a 1+9d=1+9×1=10．故选：B ． 6．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为
A. 4
B. 8
C.
43 D. 83
【答案】C 【解析】由题可知，几何体是三棱锥，底面是边长为2的等腰直角三角形，且顶
点到底面的距离为2， 114
222323
V ∴=
⨯⨯⨯⨯=. 7．设0.1359
2,ln ,log 210
a b c ===，则,,a b c 的大小关系是
A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >>
【答案】A 【解析】试题分析：，，即，
，．
8．在ABC ∆中， 1,6
AB AC B π
===
，则ABC ∆的面积等于
【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理可得：
2222cos ,1AC AB BC AB BC B BC =+-⋅∴=或，当
时，
，当时，．故选B.
9．已知数列{}n a 满足1362,4a a a ==， n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，则数列(){}
1n n a -的前10项的和10S =
A. 220
B. 110
C. 99
D. 55 【答案】B 【解析】设等差数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的公差为d ，则66315,3663a a a a d d =+=+，将已知值
和等量关系代入，计算得2d =，所以
()2
112,2n n a a n d n a n n
=+-==，所以
()10123410
=21210110S a a a a a -+-++
+=+++
=，选B.
10．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：建立平面直角坐标系，然后根据条件即可求出A， C点的坐标，表示，利用二次函数的图象与性质求值域即可.
详解：以为坐标原点，为轴、为轴建系，则,
，设,
所以，故选：D.
11．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的
图象，若=在上为增函数，则的最大值为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】A【解析】分析：根据图象的变换，先求出的表达式，结合函数的单调性进行转化即可.详解：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数，则，
若在上为增函数，则满足，即，所以，
所以实数的最大值为，故选A.
12．定义在区间（1，+∞）内的函数f （x ）满足下列两个条件： ①对任意的x∈（1，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立； ②当x∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x.
已知函数y=f （x ）的图象与直线mx-y-m=0恰有两个交点，则实数m 的取值范围是 A. [1，2） B. （1，2]
C. 4
[23，） D. 42]3
（，
【答案】C
【解析】
直线1y m x =-（）过定点10M （，），画出f x （）在
1+∞（，）上的部分图象如图，得22,44A B （，）（，）又4
23
MA MB k k =＝，．由题意得1f x m x =-（）（）的函数图象是过定点10（，）
的直线，如图所示红色的直线与线段AB 相交即可（可以与B 点重合但不能与A 点重合）分
析图象知，当4
23
k ≤＜时有两个不同的交点．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13．已知3,4a b ==，且a 与b 的夹角120θ=，则a b +=__________．
【解析】
(
)
2
2229121613a b
a a
b b +=+⋅+=-+=， 13,a b ∴+=14．已知，且在第二象限角，则 =____________.【答案】
【解析】由题意可得：，
结合角的范围有：，则.
15．已知命题:P x R ∀∈， ()
22log 0x x a ++>恒成立，命题[]
0:2,2Q x ∃∈-，使得
022x a ≤，若命题P Q ∧为真命题，则实数a 的取值范围为__________．
【答案】5,24⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】当P 为真命题时， 21x x a ++>恒成立，所以()1410a --<， 5
4
a >
，当Q 为
假命题时， Q ⌝为真命题，即[]
2,2,22a x
x ∀∈->，所以2a >，又命题P Q ∧为真命题，
所以命题,P Q 都为真命题，则5
{ 42
a a >
≤ ，即524a <≤。

故实数a 的取值范围是5,24⎛⎤
⎥⎝⎦。

16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当11x -≤≤时， ()2x
f x =，
函数(
)g x x =，实数,a b 满足3b a >>.若[
]12,,x a b x ⎡⎤∀∈∃∈⎣⎦
,使得
()()12f x g x =成立,则b a -的最大值为____________.1，
【解析】因为(
)g x x =
在2x ⎡⎤∈⎣⎦时，最大值
为，所以只有当[]1,x a b ∀∈时， (
)f x ⎡∈⎣， ()()12f x g x =才能成立，当 11x -≤≤时， (
)f x ⎡∈⎣解得1122
x -≤≤，因为函数是周期函数，所以则b a -的最大值为1，
点睛：函数是周期函数，可以在一个周期内研究问题的原型，选择一个周期11x -≤≤时，
(
)f x ⎡∈⎣解得1122
x -≤≤，这是一个周期内，满足条件的最大自变量取值范围，因此在整个定义域上，若[
]12,,x a b x ⎡⎤∀∈∃∈⎣⎦
,使得()()12f x g x =成立,则b a -的最
大值为1
三、解答题：共52分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~19题每题8分，第20、21每题9分，第22题10分。

17．（满分8
分）已知函数())2sin cos 3
f x x -x x π
=-.
（I ）求f (x )的最小正周期及对称中心；
（II ）当,]44
x ππ
∈
-（时，求f (x )的值域． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
试题解析：
（Ⅰ）31π()2sin 2sin 2sin 22sin(2)223
f x x x x x x x =
+-=+=+.
所以()f x 的最小正周期2ππ2
T ==.π,0)6π-k 对称中心（2
（Ⅱ）因为ππ44x -
≤≤，所以ππ5π2636x -≤+≤
.所以()-1f x ⎛⎤ ⎥⎝⎦
1的值域是，2. 18．（满分8分）设的内角，，的对边分别为，，，已知
．
（1）求角； （2）若
，
，求的面积．
【答案】（1）；（2）1
详解：（1）∵，∴由正弦定理得
，
可得，
∴
，由
，可得
，∴
， 由为三角形内角，可得．
（2）因为
，所以由正弦定理可得
，
因为，，可得，所以，
所以．
19．（满分8分）已知向量2m =
（，， sin cos n x x =（，）， 0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
. （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若向量m n ，的夹角为
3
π
，求cos2x 的值.
【答案】（1）tan 1x =（2） 【解析】试题分析：（1）若a b ⊥，则a b ⋅=0，结合三角函数的关系式即可求tanx 的值； （2）若m 与n 的夹角为3
π
，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值，进而得到sin 4x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值．
试题解析：（1）由m n ⊥可得0m n ⋅=, 0x x -=， 化简可得sin cos x x =，则tan 1x =，
（2）由题意可得1m =， 1n =， 2sin 22
m n x x ⋅=-， 而由m n ，的夹角为
3
π
可得1cos 32m n m n π⋅==，
因此有
)1sin cos 22x x -=，则1
sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
. 所以 cos2x=-2 20．（满分9分）已知数列是等比数列，且
．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列
的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】分析：（1）根据数列为等比数列，可求其公比
，再写出其通项
，
可得数列
得通项；（2）由（1）可得，结合分组求和法及错位相减
法可求其前项和.
详解：（1）设等比数列的公比为，则，
从而，
故；
（2）， 记
，
；
故．
21．（满分9分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，BC＝CC1＝4，D是A1C1中点．
(1)求证：A1B∥平面B1CD；
(2)当三棱锥C－B1C1D体积最大时，求点B到平面B1CD的距离．
【答案】(1)详见解析.
试题解析：
(1)证明：连接BC1交B1C于O，连接DO.在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形，则BO＝OC1，又D是A1C1中点，∴DO∥A1B，而DO⊂平面B1CD，A1B⊄平面B1CD，∴A1B∥平面B1CD.
(2)设点C到平面A1B1C1的距离是h，则V C－B1C1D＝S△B1C1D h＝h，而h≤CC1＝4，故当三棱锥C－B1C1D体积最大时，h＝CC1＝4，即CC1⊥平面A1B1C1.(6分)
由(1)知BO＝OC1，所以B到平面B1CD的距离与C1到平面B1CD的距离相等．
∵CC1⊥平面A1B1C1，B1D⊂平面A1B1C1，
∴CC1⊥B1D.
∵△ABC是等边三角形，D是A1C1中点，
∴A1C1⊥B1D，又CC1∩A1C1＝C1，CC1⊂平面AA1C1C，A1C1⊂平面AA1C1C，
∴B1D⊥平面AA1C1C，∴B1D⊥CD，由计算得：B1D＝2，CD＝2，所以S△B1CD＝2.
设C1到平面B1CD的距离为h′，由V C－B1C1D＝V C1－B1CD，得×4＝S△B1CD h′⇒h′＝，所以
B到平面B1CD的距离是.
22．（满分10分）数列满足条件：，其中.证明：对于任意的正整数，有如下结果成立.
（Ⅰ）数列为等比数列；
（Ⅱ）记数列，则数列为单调递减数列；
（Ⅲ）.
【答案】【解析】分析: (1)先利用已知证明，再证明数列为等比数
列.（2）证明即证数列为单调递减数列.(3)先证明，
再证明.
详解: (1)由题得
所以数列为等比数列.
（2）
又因为.
故可知
故，
故.
（3）首先证明：.
证明如下：
所以
右式。