高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标 2.4.3

2.4.3 向量平行的坐标表示
问题导学
1．向量共线的坐标表示
活动与探究1
已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
迁移与应用
已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )． A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2
利用向量共线的条件求值问题的处理思路：
对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．
2．关于三点共线问题
活动与探究2
如果向量AB →＝i －2j ，BC →
＝i ＋m j ，其中i ，j 分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A ，B ，C 三点共线．
迁移与应用
p ，q ，r 是互异实数，三个点P (p ，p 3)，Q (q ，q 3)，R (r ，r 3)，求证：若P ，Q ，R 三点共线，则p ＋q ＋r ＝0．
三点共线的判断与证明方法
(1)证明三点共线的常见方法有：①证明两条较短的线段长度之和等于第三条线段的长度；②利用斜率相等；③利用直线方程，即由两点确定的直线过第三点；④利用向量共线的条件．
(2)用向量法证明三点共线的思路是：先利用三点构造出两个向量，再说明存在唯一的实数λ使得两向量共线．
3．利用向量共线的条件求交点的坐标
活动与探究3
如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．
迁移与应用
在△AOB 中，已知点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12
OB →
，AD 与BC 交于点M ，
求点M 的坐标．
利用向量共线确定交点坐标的基本思路：
(1)根据a ＝λb 表示出含未知点的向量，根据向量相等，列方程组求解． (2)设出所求点的坐标，由向量共线的坐标表示列方程组求解． 当堂检测
1．已知向量a ＝(4,2)，向量b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 等于( )． A ．9 B ．6 C ．5 D ．3
2．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5,2)，若点C 的横坐标为6，则点C 的纵坐标为( )．
A ．－13
B ．9
C ．－9
D ．13
3．已知向量a ＝(4,2)，则下列选项中与a 共线的一个向量为( )． A ．(1,2) B ．(1,4)
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－43
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，13 4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系为__________．
5．(1)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a －4b 平行？ (2)已知a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，求点B 的坐标．
答案：
课前预习导学 【预习导引】
x 1y 2－x 2y 1＝0
x 1y 1＝x 2y 2
预习交流1 提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向； 向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．
预习交流2 提示：不等价，因为y 1，y 2为零时，x 1y 1，x 2
y 2
无意义． 预习交流3 (1)D (2)12
5
课堂合作探究 【问题导学】
活动与探究1 解法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )，
∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0.
解得k ＝－1
3
.
此时k a ＋b
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
3
－3，－23＋2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－103，43＝－13(10，－4)
＝－1
3
(a －3b )，
∴当k ＝－1
3
时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．
解法二：由解法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)， 因为(k a ＋b )∥(a －3b )，
当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．
由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ. 解得k ＝－13，λ＝－1
3.
当k ＝－1
3
时，k a ＋b 与a －3b 平行，
这时k a ＋b ＝－1
3a ＋b .
∵λ＝－1
3＜0，
∴－1
3
a ＋
b 与a －3b 反向．
迁移与应用 D 解析：因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )， 所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)． 由a ＋b 与4b －2a 平行，
得3(4x －2)－6(x ＋1)＝0，解得x ＝2.
活动与探究2 解：由题意得AB →＝(1，－2)，BC →
＝(1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →.
∴1×m －(－2)×1＝0， ∴m ＝－2.
迁移与应用 证明：∵P ，Q ，R 三点共线， ∴PQ →与PR →
共线．
∴存在实数λ使得PQ →＝λPR →
. 即⎩
⎪⎨⎪⎧ q －p ＝λr －p ，q 3－p 3＝λr 3－p
3
①② ②÷①得q 2＋qp ＋p 2＝r 2＋rp ＋p 2
. ∴(q －r )(p ＋q ＋r )＝0. ∵p ，q ，r 是互异实数， ∴p ＋q ＋r ＝0.
活动与探究3 解法一：设 OP →＝λOB →
＝(4λ，4λ)． AP →＝(4λ－4,4λ)，AC →
＝(－2,6)． 因为A ，P ，C 三点共线，
所以6×(4λ－4)－(－2)×4λ＝0，解得λ＝3
4
.
所以OP →
＝(3,3)，即P 点坐标为(3,3)．
解法二：设P (x ，y )，OP →＝(x ，y )，OB →
＝(4,4)． 因为O ，P ，B 三点共线，所以4x －4y ＝0.①
又因为AP →＝(x －4，y )，AC →
＝(－2,6)，且A ，P ，C 三点共线， 所以6×(x －4)－(－2)y ＝0，即3x ＋y ＝12.②
由式①和②得x ＝3，y ＝3，所以P 点坐标为(3,3)． 迁移与应用 解：∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)， ∴OA →＝(0,5)，OB →
＝(4,3)．
∵OC →＝(x c ，y c )＝14OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，54. 同理可得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，32. 设点M 的坐标为(x ，y )，
则AM →＝(x ，y －5)，而AD →＝⎝
⎛
⎭⎪⎫2，－72.
∵A ，M ，D 三点共线， ∴AM →与AD →
共线．
∴－7
2
x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①
而CM →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝
⎛⎭⎪⎫4－0，3－54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74.
∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →
共线． ∴74x －4⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 由①和②得x ＝12
7
，y ＝2.
∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫127，2. 【当堂检测】
1．B 2．C 3．D 4．λ＝μ
5．解：(1)k a ＋2b ＝k (1,2)＋2(－3,2)＝(k －6，2k ＋4)， 2a －4b ＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，
要使k a ＋2b 与2a －4b 平行，则(k －6)×(－4)－(2k ＋4)×14＝0，得k ＝－1. (2)由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)， 设B (x ，y )，则AB →
＝(x －1，y －2)＝b . 则⎩⎪⎨⎪⎧
－2λ＝x －1，3λ＝y －2，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.
又点B 在坐标轴上，
则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
解得λ＝12或－2
3
，
所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，0.。