【课题】有余数除法案例研究报告

结合情境建立模型理解意义
一、问题的提出：
有余数除法是人教版义务教育教材二年级下册第五单元的教学内容。

这部分内容在实验教材是安排在三年级上册的内容，修订后的教材在例题的安排有一点调整，因教学年段的调整，教材在例题的编排上也进行了调整。

实验教材例1是整除，例2是有余数除法竖式，例3是探索余数和除数的关系。

而新教材首先将有余数的除法与刚学习的表内除法的两种关系对比呈现，并借助大量的操作帮助学生理解余数及有余数的除法的含义，在理解余数和除数的关系同时体会有余数的除法与表内除法的关系。

其次，将除法竖式的教材安排在理解了有余数的除法的含义、明白了余数与除法的关系之后，突出了引入除法竖式的必要性和作用。

困难：
学生很容易抽象出有余数除法的算式，但是说不清楚其中的道理。

困惑：
1.是只教学例1，还是例1和例2合一课时？
2.各种版本的教材创设的情境不同，用一个情境还是两个情境好？
问题：
1.让学生把分物体还有剩余写成算式时，学生会出现什么情况？
2.例1、例2合一个课时，教学内容多，主题图如何处理较好？教材中例1后面的习题
如何处理？
3.如何让学生经历数学化的过程？
4.课堂上如何体现学生的自主学习？
二、收集已有的素材
㈠教材对比：创设现实情境
北师大版
学习内容教材编排
二下第一单元
有余数的除法
从13根小棒搭正方形的直观活动情境中引出有余数的除法。

学生观察思考，理解余数的概念以及有余数
的除法的含义。

通过搭一搭，分别用14-20根小棒搭正方
形，观察表格发现余数都比除数小。

练习分别用25,31
根小棒搭正方形。

图形表示有剩余
创设现实情境
提出问题
抽象出有余数的除法算式
数形结合引发猜想
动手操作验证猜想
人教版
学习内容教材编排
二下第六单元
有余数的除法
从学生分别用11根小棒摆出正方形、三角形、
五边形的活动情境中引出有余数的除法。

利用分草莓引发
学生观察、对比、思考，认识余数以及有余数的除法。

再
用8-12根小棒摆正方形，揭示余数小于除数。

文字叙述平均分的结果
操作实物强化平均
数形结合探究规律
归纳总结得出规律
抽象成算式
苏教版
学习内容教材编排
二下第一单元
有余数的除法
从分铅笔即把10根铅笔分别每人分2,3,4,5
根的活动情境中引出余数及有余数的除法的含义、读
法、写法。

再通过12-16根小棒摆正方形的观察比较，
揭示余数和除数的关系，余数都比除数小。

创设情境提出问题
动手操作感知余数
表格记录理解余数
用文字叙述平均分的结果
抽象算式
苏
教
版
二
下
第
一
单
元
创设情境提出问题
基于个种版本的教材都需让学生在直观的操作活动中构建有余数除法的算式，理解余数的含义和余数比除数小的道理。

因此在教学设计中我们应以学生的活动为主，利用直观的操作帮助学生形成有余数除法算式的表象和余数比除数小的道理，再由表象中抽象出算式。

这就要求我们在教学设计中要渗透数形结合的思想，要用形帮助学生余数这一概念和余数比除数小的道理。

这就是这接课要呈现的一个亮点。

㈡教材、学情的分析 ⒈教材分析：
“有余数的除法”这部分内容是从表内除法向表外除法过渡的桥梁，是学习多位数除法的基础。

从教材上看，内容抽象，概念性强。

在教材内容的安排上，注重结合具体的操作，加强有余数的除法意义的认识；它是在学生理解除法的意义和表内除法竖式的写法的基础上
青岛版
学习内容
教材编排
二下第一单元
有余数的除法
从野营的活动情境中引出有余数的除法。

引导学
生提出有效的数学信息，通过平均分9个面包认识余数及
有余数的除法的含义、读法、写法。

再观察比较分食品，
把12-18碗（个）平均分给4个小朋友，又把18瓶酸奶平均分给不同的小朋友，揭示余数比除数小。

文字表征 感知余数
算式表征 理解余数
在分其他物品的情境中，探究余数的规律。

青
岛版二下第一单元
进行的，同时它也是学生今后学习一位数除多位数除法的重要基础，具有承上启下的作用。

在实验教材中，本单元是在三年级上册的内容，因教学年段的调整，教材在例题的编排上也进行了调整。

实验教材例1是整除，例2是有余数除法竖式，例3是探索余数和除数的关系。

而新教材首先将有余数的除法与刚学习的表内除法的两种关系对比呈现，并借助大量的操作帮助学生理解余数及有余数的除法的含义，在理解余数和除数的关系同时体会有余数的除法与表内除法的关系。

其次，将除法竖式的教材安排在理解了有余数的除法的含义、明白了余数与除法的关系之后，突出了引入除法竖式的必要性和作用。

⒉学情分析：
二年级学生的心理、智力尚处于发展阶段，抽象、概括、推理能力较差，获取知识的手段主要借助动手操作和直观图形，学生的思维发展正处于具体思维运算阶段向形式运算阶段的过渡，离不开具体事物的支撑。

因此在教学中要让学生实现由具体的操作活动过渡到抽象的数学算式的过程，亲身经历知识的形成过程。

根据学生的这一特点，本节课应该让学生凭借直观的图形和在操作将“余数”这一概念与形象的图形有机地结合起来，将抽象思维与形象思维结合起来。

帮助学生思考、探究，突破难点，建立“余数”的概念。

1.学生的知识基础。

学生在本册教材的前面两个单元分别学习了表内除法（一）和表内除法（二），而这部分知识是表内除法的延伸和拓展。

⒊学生的原始想法及分析。

前测题目
“有余数的除法”教学前测问卷（1）
班级：姓名：
（1）12÷3＝（），表示（）。

（2）有14颗糖，平均分给3个同学，每人分（）颗，还剩（）颗。

（3）把下面这些，每2个放一盘，试着分一分，圈一圈。

请列出算式：
（4）△÷ 8 = 6……□，□里可以填( )
“有余数的除法”教学前测问卷（2）
班级：姓名：
（1）12÷3＝（）
结合生活说一句话
（2）有25颗糖，平均分给3个同学，每人分（）颗，还剩（）颗。

（3）把下面这些，每2个放一盘，试着分一分，圈一圈。

请列出算式：
（4）△÷ 8 = 6……□，□里可以填( )
题号人
数
教学前测习题正确率典型错例简要分析
1 27
12÷3＝（），
表示（）。

7 人占
25.93%
表示（3个4 ）
表示（12除以3等于
4）
意义脱离具体情境，
学生无法理解“表
示”的内涵。

28
12÷3＝（）
结合生活说一句话
（结合实际编题）
7人占
25%
11人空白
其它乱写
学生不理解此题的
用意，该题对学生难
度较大。

2 27
有14颗糖，平均分
给3个同学，每人分
（）颗，还剩（）
颗。

20人占
74.07%
有14颗糖，平
均分给3个同学，每
人分（5）颗，还剩
（1）颗，
数据较小，学习完成
较好，个别学生乱
做。

28
有25颗糖，平均分
给3个同学，每人分
（）颗，还剩（）
17人占
60.71%
有25颗糖，平
均分给3个同学，每
人分（7）颗，还剩
部分学生不明
白平均分要尽最大
限度分完。

从上表可以得出如下结论:
⒈在具体情境中，大部分学生能初步理解“有余数的除法”的含义。

⒉大部分学生能抽象出有余数的除法的式子，已有1/3的学生在算式中能规范表示所得的结果。

基于以上的结果，我们认为在教学中应该把教学的重点放在有余数除法算式各部分的含义和理解余数比除数小的道理，而不是仅仅停留在抽象算式的过程中。

三、教学设计：
“有 余 数 的 除 法”教 学 设 计 学习目标
1．通过摆一摆、画一画的活动，使学生认识余数，理解余数的含义，会用除法算式表示 余数。

2．通过探究，使学生感受余数比除数小的道理，培养学生的探究能力。

3．借助直观渗透数形结合的思想，让学生感受数学和生活的密切联系。

教学准备
图片、课件、小棒 教学过程
一、谈话导入，初步感知有余数的除法的含义
颗。

（4）颗。

7人
3
55 把下面这些 ，每2个放一盘，
试着分一分，圈一
圈。

18
人占32.73%
9÷2＝？ 17人占30.91%
63.64%学生能
根据具体情境抽象
出除法式子，但1/3的学生不知道如何正确表示商。

4 55
△÷ 8 = 6……□ ， □里可以填( )。

35人占
63.64%
□里可以填
(48)
大部分学生不
明白“□”指的是余数，余数与除数的关系更不清楚。

谈话：孩子们，你们喜欢分享吗？是的，有好东西要大家一起分享才会更快乐！那要怎样分最公平？（平均分）好的，那今天老师就和大家一起在快乐分享中继续学习有关除法的知识。

1、复习表内除法的含义，唤起旧知。

谈话：孩子们，你们平时喜欢吃草莓吗？老师上个星期去参观草莓园，采摘了一些草莓，你们看。

（出示6个草莓磁扣）老师现在想请你们帮帮忙。

（出示题目磁扣）师：在帮忙之前，先听好老师的要求。

（出示课件）
①请同学们先读一读题目，在小组里说一说，你都知道什么
②摆一摆，说一说你是怎样做的？
生：6个草莓，每2个一盘，可以摆3盘。

③你们能把摆的过程用一个算式表示出来吗？
师随学生汇报并板书：6÷2＝3（盘）
④6÷2＝3（盘）这个算式表示什么意思？
生：表示把6个草莓，每2个一盘，可以摆3盘。

师结：说得很完整，看来同学们对前面学过的除法知识已经掌握不错。

2.理解有余数除法的意义
⑴在动手操作中体验平均分时会出现有剩余的情况。

师：如果老师采摘的草莓是这些呢？（出示7个草莓贴图）也按照原来的摆法，你有什么发现？
师：请同学们用手中的学具再摆一摆。

（生操作师巡视）
师：你发现什么？
生：剩下的一个没地方摆了。

师：再拿一个盘子来摆好吗？为什么？
⑵讨论交流，确定表示平均分时有剩余的方法。

师：孩子们，能把你们摆的过程也用一个算式来表示吗？
预设：方法一：7÷2=3 方法二：7÷2=3剩1
方法三：7÷2=3多1 方法四：7÷2=3余1 或7÷2=3 (1)
师：这是咱班同学的想法，你同意哪一种表示方法？为什么
师：（方法一）这种表示方法好吗？你是怎样想的？
生：剩下的一颗草莓没有表示出来。

师：不表示出来行吗？（不行）
师：（剩下的方法）剩下的这些方法能清楚地表示刚才分的过程吗？
师：看来大家都一致认为剩下的一颗草莓要表示出来，后面这些方法都对，那你们认为哪一种书写更简洁？
师：孩子们真了不起！你们的想法跟数学家们想到一块去了，在数学上规定这样表示（板书：7÷2=3（盘）……1（个））
师：这个算式读作：7除以2等于3余1我们把它叫做余数。

（板书：余数）
师追问：这个算式中7、2、3、1分别表示什么？（表示7个草莓，每2个摆一盘，摆了3盘，还剩下1个草莓。

省略号表示剩余，1是剩下的草莓数。

）
⑶归纳总结，完善学生的认知结构
师：今天同学们帮老师分了两次的草莓，老师谢谢你们！在这两次分草莓的过程中，你们有发现什么相同的地方和不同的地方吗？（出示课件：表格1）
师：同学们观察得很仔细，余数表示什么？
师总结:当平均分一些物品有剩余且不够再分的时候,剩余的数叫余数,像这样带有余数的除法就是我们今天学习的新知识：有余数的除法（板书）
（二）探索发现余数和除数的关系
1.分组合作，记录实验结果
谈话：孩子们，你们喜欢做手工吗？（出示主题图）看，同学们在手工坊里玩得多开心啊！下面，老师也想请同学们一起来动动手。

师：老师给每个小组都准备了不同数量的小棒和一张记录纸，请同学们用手中的小棒一个一个地摆出像老师这样的独立的正方形，（出示课件：正方形）并把摆的结果及所列算式写
在下面的记录单上。

（出示课件：表格2）
师：老师在课前用4根小棒摆了一个这样的正方形，我是这样记录的。

（出示课件：记录表）
2.学生活动，师巡查，了解学生情况。

3.组织交流
教师组织全班交流，并随着交流在课件上出示结果
①分别8、9、10、11根小棒的小组学生汇报摆的结果，师随学生讲课件出示结果。

②师：如果老师在11根小棒的基础上再添加1根小棒，现在是几根？大家猜猜用算式可以怎样表示？余数会是几呢？
（设计意图：在“无疑处设疑”，学生在前面几组小棒具体的操作过程中，已经积累了一定的表象经验，这时让学生慢慢脱离实物，为建立抽象的算式提供了支撑。

）（预设：生1:12根小棒刚好可以摆成3个正方形，算式是
12÷4=3 没有余数。

）
师：刚才11根小棒的时候，不是剩下3根吗？我再添上1根不是还剩4根，怎么没余数了？你是怎么想的？
（预设：生：那4根刚好又可以再摆一个正方形。

）
师：真是有想法的孩子！如果现在是13根小棒呢？那么它能摆几个，还剩几根？
师：我知道，我说：它能摆2个，还剩5根。

（让学生去改正老师的错误想法）
师：分到这会了，你有没有什么想法，想跟大家交流的呀？
（预设：当所剩的根数还能在摆成一个图形的话，一定要接着往下摆，直到不能再摆了为止。

）
师：也就是说给物体平均分的时候一定要分到不能再分为止，那大家观察一下这些算式及算式中的余数，你发现了什么？（课件出示：问题1）
问题1：余数可能是1、2、3、，可能是4或是5吗?为什么？你是怎么想的？
师：我们来验证一下你们的想法。

师：当我把小棒的根数增加到14根的时候，大家说说它能摆几个正方形，还剩几根小棒？余数是几？ 15根、16根呢？
师：请同学们拿出手中的小棒来验证一下。

（一二组验证14根，三组15根，四组16根）生汇报验证结果。

师：说明我们的想法是正确的，余数这么神奇，那它到底跟谁有关系呢？有什么关系？你是怎么想的？
生：跟除数有关系，余数都比除数小。

（师先板书：余数除数）
师：如果有20根小棒，那余数可能是几？有100根呢？余数又可能会是几？不可能是几？
师总结：同学们真了不起，大家通过观察和比较，发现了除法算式中余数要比除数小的规律，最后又举了一些例子进行验证。

看来东手做一做、写一写，举例说一说，这些都是我们研究数学、发现规律的好方法。

希望同学们在以后学数学的过程中都能加以运用。

三、巩固练习
1.用一堆小棒摆，如果有剩余，可能会剩几根？
如果用这些小棒摆呢？又会剩几根？
2．填一填。

A÷6＝5……○
【板书设计】有余数的除法
四、实践后的诊断㈠教学后侧
余数＜除数---
余
数
从学生的后测可以得到，大部分学生都能结合具体的情境准确的说出有余数除法的含义和各部分所表示的含义，明白了如果余数比除数大，就还可以摆一个正方形的道理。

说明教学目标已经达成，也就是说这节课的教学是有效的。

但从学生的访谈中也可以发现一些问题，如有的教学环节时间太赶，学生的思考和操作太匆忙，有的内容学生理解不够到位，如在具体的情境图中哪个数才是除数，学生理解不到位。

㈡课堂教学时间分配的合理性（总课时43分钟）
1．新课导入环节
用时1分钟，占总课时的2.3％，引入新课开门见山，用时合理，无需调整。

2．新授环节
（1）教师讲解用时25分钟，占总课时的58.1％。

所占比重较大，其中例1的教学用了
10分钟，突出了教学的重点。

（2）学生自主学习、小组合作共用时12分钟，占总课时的27.9％，所占比例偏低。

3．课堂练习环节
用时3分钟，占总课时的7％。

课堂练习时间偏少，学生的学习效果无法在课堂上及时反馈。

4．课堂总结环节
用时2分钟，用时比较合适，无需调整。

建议：
⒈教师提炼教学语言，让教学语言更简洁、有效。

另外，教学环节应注意把握好，比如细化各环节的时间等措施使其更紧凑、流畅。

⒉教师应提供给学生充足的自主学习、小组合作的时间，教师还要下达活动准确时间指令，提高学生自主学习、小组合作时间所占比例。

⒊建议增加练习，以便学生能巩固所学的内容。

㈢教师的教学行为及分析。

（全班共55人）
本节课中，全班共有28人次参与提问发言活动，占全班总人数的50.9％。

其中回答一次的有16人，占全班总人数的29.1％，回答两次的有6人，占全班总人数的10.9％。

从以上数据可以看出教师能面向全体学生顾及不同层次的学生的学习状态。

建议：小组合作时，教师参与到小组中去，了解、倾听学生的基本思路和基本方法，做到心中有数，以便有效调控教学节奏。

㈣关键事件及分析：
(1)除法意义的教学所用笔墨少，学生理解不够透彻？
对策：结合具体情境，建立模型，理解意义
文字算式
创设生活情境动手摆
问题情境——“语义表征”——“动作表征”，——“符号表征” （2）忽略“半具体半抽象”的这一过程 对策：
1、除法意义教学增加追问：“再多1个草莓，2个，3 个？怎么摆”
2、在摆小棒环节，增加猜，脑海里想、动脑筋思考 等环节。

二次建构：
一、情境引入 提出问题
二、动手操作 抽象算式
三、动手操作 理解关系
四、归纳总结 学以致用
课堂观察结果反馈：
本节课完成预定教学目标，学生会用算式表示有余数的除法并理解余数的意义，知道余数比除数小的道理。

听课教师对课堂上学生的积极表现关注评价高，听课教师认为本课时的容量大，学生操作活动多，对教师的课堂调控能力要求较高。

不足：课堂活动都是实物操作，如何让学生经历从实物操作到半抽象再到抽象算式的过程 ，体现不明显。

学生对该选择哪个数作除数还没有清晰的思维。

⒈如何让学生经历半具体半抽象过程。

预设：学生用小棒摆五边形时，教师让学生用8、9、10根小棒摆后，让学生不用摆，在脑中想11、12根小棒摆五边形，余数会是几？
课堂观察：在这个环节老师没有留时间给学生思考。

改进：让学生分别用8、9、10根小棒摆五边形并写出算式后，接着要求学生不摆，而是用画，画出11、12、13根小棒摆出的五边形图，并写出算式。

这样让学生脱离实物，利用前面摆小棒在脑中形成的表象，画出要摆的图形，可达到脑中摆五边形的过程，让学生经历半具体半抽象的过程。

⒉教学中回避了除数是“平均分成几份”还是“每（）个一份”这种易混淆的关系。

对策：让学生说出算式的含义，在理解算式的含义中辨析除数是平均分的份数还是每一份的数量。

改进：⑴当学生写出6÷2＝3（盘），7÷2＝3（盘）……1（个）时，让学生看算式和图说出这两个算式中各数在图上表示哪部分？
⑵当用小棒摆完四边形写出算式后，让学生说各数表示什么？
⑶练习的最后一题改为看图写算式：☆☆☆☆☆☆☆☆☆
算式__________________________
让学生从不同的角度理解图意，可得到不同的算式：9÷2＝（）组……1（个）；9÷4＝2（组）……1（个），使学生更清晰地理解不同的数作除数所表达的含义是不同的，但这两者之间不是没有联系的，而是可以互相转化的。