2019届一轮复习北师大版第3章导数及其应用第1节学案

第1节导数的概念及运算
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观理解导数的几何意
义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1
x，y＝x
2，y＝x3，y
＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数.
知识梳理
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
2.函数y＝f(x)的导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)
＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x
4.导数的运算法则
若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f （x ）
g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.
[常用结论与微点提醒]
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
2.求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
f （x ）
g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）
[g （x ）]2
，(cos x )′＝sin x .
3.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.
4.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同.( )
(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )
(3)(2x)′＝x·2x－1.( )
(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( )
解析(1)f′(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0))′是常数f(x0)的导数即(f(x0))′＝0；
(3)(2x)′＝2x ln 2；
(4)(e2x)′＝2e2x.
答案(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.函数y＝x cos x－sin x的导数为( )
A.x sin x
B.－x sin x
C.x cos x
D.－x cos x
解析y′＝(x cos x)′－(sin x)′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x.
答案B
3.(教材习题改编)曲线y＝sin x
x在x＝
π
2处的切线方程为( )
A.y＝0
B.y＝2π
C.y＝－
4
π2
x＋
4
π
D.y＝
4
π2
x
解析∵y′＝x cos x－sin x
x2，∴y′|x＝
π
2
＝－
4
π2
，
当x＝π
2时，y＝
2
π
，
∴切线方程为y－2
π
＝－
4
π2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x－
π
2
，即y＝－
4
π2
x＋
4
π
.
答案C
4.设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________.
解析f′(x)＝－
2
3－2x
－2sin 2x，所以f′(0)＝－
2
3.
答案－2 3
5.(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图像在点(1，f(1))处的切线
为l ，则l 在y 轴上的截距为________.
解析 f (1)＝a ，切点为(1，a ).f ′(x )＝a －1
x ，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. 答案 1
考点一 导数的运算
【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x
4)； (3)y ＝cos x e x ； (4)y ＝ln 2x －1
2x ＋1
.
解 (1)进行积的导数计算很烦琐，故先展开再求导.因为y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， 所以y ′＝3x 2＋12x ＋11.
(2)因为y ＝sin x 2⎝
⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－1
2sin x ， 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .
(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
cos x e x ′＝（cos x ）′e x
－cos x （e x
）′（e x ）2
＝－sin x ＋cos x e x
.
(4)y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln
2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1
⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －12x ＋1′＝ 2x ＋12x －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x －1）′（2x ＋1）－（2x －1）（2x ＋1）′（2x ＋1）2＝4
4x 2－1
.
规律方法 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不
必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错. 2.(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导. (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元. 【训练1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；
(3)y ＝x －sin x 2cos x
2；(4)y ＝ln 1＋2x . 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1
x ＝e x ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫ln x ＋1x .
(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－1
2cos x .
(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝1
2ln(1＋2x )，
∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝1
1＋2x .
考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度1 求切线的方程
【例2－1】 (1)(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1
x ＋1
，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( ) A.1 B.－1 C.2
D.－2
(2)(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.
解析 (1)由f (x ＋1)＝2x ＋1
x ＋1，知f (x )＝2x －1x ＝2－1x .
∴f ′(x )＝1
x 2，且f ′(1)＝1.
由导数的几何意义，所求切线的斜率k ＝1.
(2)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x . 又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x .
因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 0＋1＝2.
则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 (1)A (2)2x －y ＝0 命题角度2 求参数的值
【例2－2】 (1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A.1
B.2
C.－1
D.－2
(2)(2018·长郡中学调研)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1
＝0垂直，则a ＝____________.
解析 (1)设切点为(x 0
，y 0
)，y ′＝1
x ＋a
，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0＋1，
1x 0
＋a ＝1，y 0
＝ln （x 0
＋a ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0
＝－1，y 0
＝0，a ＝2.
(2)y ′＝（2－cos x ）′sin x －（2－cos x ）（sin x ）′
sin 2x
＝1－2cos x sin 2x ，
则曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，2处的切线的斜率为k 1＝1.
因为直线x ＋ay ＋1＝0的斜率k 2＝－1
a ， 又该切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直， 所以k 1k 2＝－1，解得a ＝1. 答案 (1)B (2)1
命题角度3 求切点坐标
【例2－3】 (1)(2017·郑州月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1
2，则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1
D.1
2
(2)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1
x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.
解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1
2，
∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0
＝12，
解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，
∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.
设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1
x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1
x 20
，
由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1. 又∵点P 在曲线y ＝1
x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1)
规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在
曲线上.
【训练2】(1)(2017·全国Ⅰ卷)曲线y＝x2＋1
x在点(1，2)处的切线方程为________.
(2)(2018·铜川模拟)函数f(x)＝ln x＋ax的图像存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2]
B.(－∞，2)
C.(2，＋∞)
D.(0，＋∞)
解析(1)设y＝f(x)，则f′(x)＝2x－1
x2，
所以f′(1)＝2－1＝1，
所以在(1，2)处的切线方程为y－2＝1×(x－1)，
即y＝x＋1.
(2)函数f(x)＝ln x＋ax的图像存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解.
∴f′(x)＝1
x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－
1
x.
因为x＞0，所以2－1
x＜2，所以a的取值范围是(－∞，2).
答案(1)y＝x＋1 (2)B
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2018·陕西名校联考)若函数f(x)的导函数的图像关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)＝3cos x
B.f(x)＝x3＋x2
C.f(x)＝1＋sin 2x
D.f(x)＝e x＋x
解析A选项中，f′(x)＝－3sin x，其图像不关于y轴对称，排除A选项；B选项
中，f ′(x )＝3x 2＋2x ，其图像的对称轴为x ＝－1
3，排除B 选项；C 选项中， f ′(x )＝2cos 2x ，其图像关于y 轴对称；D 选项中，f ′(x )＝e x ＋1，其图像不关于y 轴对称. 答案 C
2.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1
D.e
解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 B
3.(2018·广西五市联考)已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x ＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.e －1e
B.2e －1e
C.e －12e
D.2e －12e
解析 ∵y ′＝a e x ＋1，∴切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行，∴a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1
e . 答案 B
4.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7
2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 的值为( ) A.－1
B.－3
C.－4
D.－2
解析 ∵f ′(x )＝1x ，
∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，
∴直线l 的方程为y ＝x －1，
g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，
又因为y0＝1
2x
2
＋mx0＋
7
2(m<0).
解得m＝－2.
答案D
5. (2018·四川名校一模)已知函数f(x)的图像如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)
B.0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)
C.0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
D.0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
解析f′(2)，f′(3)表示曲线y＝f(x)在点A，B处切线的斜率，
又f(3)－f(2)＝f（3）－f（2）
3－2
表示直线AB的斜率.
所以0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2).
答案C
二、填空题
6.(2018·鹰潭一模)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________.
解析∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2，9).
答案(－2，9)
7.曲线f(x)＝
e x
x－1
在x＝0处的切线方程为________.
解析f′(x)＝e x（x－1）－e x
（x－1）2
＝
e x（x－2）
（x－1）2
，所以曲线在x＝0处的切线的斜率为k
＝f′(0)＝－2，又f(0)＝－1，则所求的切线方程为y＋1＝－2x，即2x＋y＋1＝0.
答案 2x ＋y ＋1＝0
8.曲线y ＝log 2x 在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________.
解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2，
∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1).
∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.
答案 12ln 2
三、解答题
9.求下列函数的导数.
(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；
(3)y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x －5). 解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′
＝2x sin x ＋x 2cos x .
(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ′＝1x －1x 2. (3)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，
则y ′＝(sin u )′·u ′＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·2， ∴y ′＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)令u ＝2x －5，则y ＝ln u ，
则y ′＝(ln u )′·u ′＝
12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5
. 10.已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0).若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线.
解 根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－a x .
曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，
曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a ，
所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.
曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1).
所以y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0.
曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)，
所以y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，
所以，两条切线不是同一条直线.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则a
的值为( )
A.－1或－2564
B.－1或214
C.－74或－2564
D.－74或7
解析 由y ＝x 3得y ′＝3x 2，设曲线y ＝x 3上任意一点(x 0，x 30)处的切线方程为y －x 30
＝3x 20(x －x 0)，将(1，0)代入得x 0＝0或x 0＝32.
①当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由⎩⎨⎧y ＝0，
y ＝ax 2＋154x －9
得ax 2＋154x －9＝0， Δ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1542＋4·a ·9＝0得a ＝－2564. ②当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝274x －274，y ＝ax 2＋154x －9
得ax 2－3x －94＝0， Δ＝32＋4·a ·94
＝0得a ＝－1. 综上①②知，a ＝－1或a ＝－2564.
答案 A
12.(一题多解)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.
解析 法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x ，y ′|x ＝1＝2.
∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，
∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行).
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，
y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1
消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.
法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.
设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1).
∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).
由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，
ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，a ＝8.
答案 8
13.(2018·新乡调研)已知函数f (x )＝e x －x 2＋2ax .
(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.
解 (1)∵f ′(x )＝e x －2x ＋2，∴f ′(1)＝e ，
又f (1)＝e ＋1，
∴所求切线方程为y －(e ＋1)＝e(x －1)，
即e x －y ＋1＝0.
(2)f ′(x )＝e x －2x ＋2a ，
∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，
∴a ≥x －e x 2在R 上恒成立，令g (x )＝x －e x 2，
则g ′(x )＝1－e x 2，令g ′(x )＝0，则x ＝ln 2，
在(－∞，ln 2)上，g ′(x )>0；
在(ln 2，＋∞)上，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1，
∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).。