广东省云浮市冈州中学高二数学文联考试卷含解析

广东省云浮市冈州中学高二数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知＞0，＞0，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
（）
A. 0，
B.1，
C.2.
D.4
参考答案：
D
2. 在等比数列中则公比为（）
A.2
B.3
C.4
D.8
参考答案：
A
3. 设是定义在上的奇函数，当时，，则
A. B. C. １ D. 3
参考答案：
A
4. 用最小二乘法得到一组数据（x i，y i）（i=1，2，3，4，5）的线性回归方程为=2x+3，若
x i=25，则y i等于（）
D
5. 已知集合A={x|x2=2}，B={1，，2}，则A∩B=( )
A．{} B．{2} C．{﹣，1，，2} D．{﹣2，1，，2}
参考答案：A
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：A={x|x2=2}={﹣，}，B={1，，2}，
则A∩B={}，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
6. 若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为
A B C D
参考答案：
解析：C
易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a和题目中方程的a的意义。

7. （1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（）
A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3
参考答案：
A
【考点】二项式定理．
【分析】列举（1﹣x）4与可以出现x2的情况，通过二项式定理得到展开式x2的系数．【解答】解：将看作两部分与相乘，则出现x2的情况有：
①m=1，n=2；②m=2，n=0；
系数分别为：①=﹣12；②=6；
x2的系数是﹣12+6=﹣6
故选A
8. 如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A′?平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列说法，不正确的是（）
A．平面A′FG⊥平面ABC
B．BC∥平面A′DE
C．三棱锥A′﹣DEF的体积最大值为
D．直线DF与直线A′E有可能异面
参考答案：
D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】在A中，推导出DE⊥GA′，DE⊥GF，从而面A′FG⊥面ABC；在B中，由BC∥DE，得BC∥平
面A′DE；在C中，当面A′DE⊥面ABC 时，三棱锥A′﹣DEF 的体积取最大值a3；在D中，在旋转过程中DF 与直线A′E 始终异面．
【解答】解：在A中，由已知可得四边形ABCD 是菱形，
则DE⊥GA′，DE⊥GF，
∴DE⊥平面A′FG，∴面A′FG⊥面ABC，在A正确；
在B中，∵BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，故B正确；
在C中，当面A′DE⊥面ABC 时，三棱锥A′﹣DEF 的体积达到最大，
最大值为××a2×a=a3，故C正确；
在D中，在旋转过程中DF 与直线A′E 始终异面，故D不正确．
故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
9. 如果执行下面的框图，输入N＝5，则输出的数等于()
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
10. 用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（）
A．没有一个内角是钝角B．有两个内角是钝角
C．有三个内角是钝角D．至少有两个内角是钝角
参考答案：
D
【考点】命题的否定．
【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可
【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选D．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。

参考答案：
略
12. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于，它的一个顶点
恰好是抛物线
的焦点，则椭圆C 的标准方程为________．
参考答案：
13. 若“x 2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．
参考答案：
14. 设
、
分别是椭圆的左、右焦点，
是椭圆上任一点，点
的坐标为
，则
的最大值为 ．
参考答案：
15
15. 已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且
，则φ值为 ．
参考答案：
﹣
【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由从点A 到点B 正好经过了半个周期，求出ω，把A 、B 的坐标代入函数解析式求出sinφ的值，再根据五点法作图，求得φ 的值．
【解答】解：根据函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象，且
，
可得从点A 到点B 正好经过了半个周期，即
=π﹣
，∴ω=2．
再把点A 、B 的坐标代入可得 2sin （2?+φ ）=﹣2sinφ=1，2sin （2?π+φ ）=2sinφ=﹣1，
∴sinφ=﹣，∴φ=2kπ﹣，或φ=2kπ﹣
，k∈Z．
再结合五点法作图，可得φ=﹣
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．
16. 已知{a n }为等差数列，a 2+a 8=，则S 9等于 ．
参考答案：
6
【考点】等差数列的前n 项和；等差数列．
【分析】由等差数列的求和公式可得：S 9==，代入可得．
【解答】解：由等差数列的求和公式可得：
S 9=
===6
故答案为：6
17. 已知函数
在点处的切线为l ，则直线l 、曲线f (x )以及y 轴所围成的
区域的面积为__________．
参考答案：
∵f（x）=1﹣2sin2x=cos（2x），f（）=0，
∴切点坐标为了（，0）．
又f′（x）=﹣2sin2x．∴f′（）=﹣2，
切线的斜率k=﹣2，∵切线方程为：y=﹣2（x﹣），
即y=﹣2x+，
所以直线l、曲线f（x）以及y轴所围成的区域的面积为：
.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分14分）
已知圆，直线.
（1）证明：对任意实数m，直线l恒过定点且与圆C交于两个不同点；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程.
参考答案：
（1）直线可化为，
由解得，所以直线恒过点，而点在圆C内，
所以对任意实数，直线恒过点且与圆C交于两个不同点. ...............7分
（2）由（1）得，直线恒过圆C内的定点，设过点的弦长为，过圆心C向直线作垂线，垂足为弦的中点H，则，弦长a最短，则CH最大，而，当且仅当H与P重合时取等号，此时弦所在的直线与CP垂直，又过点，
所以，当直线被圆C截得的弦长最小时，弦所在的直线方程为. ..........14分19. 已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在x=1处切线的方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）对于两个图形S1，S2，我们将图形S1上的任意一点与图形S2上的任意一点间的距离中的最小值，叫作图形S1与图形S2的距离．若两个函数图象的距离小于1，称这两个函数互为“可及函
数”．试证明两函数g（x）=+x+ax﹣2、f（x）=ax+lnx互为“可及函数”．
参考答案：
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：新定义；导数的概念及应用；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程；
（Ⅱ）求得导数，对a讨论，①当a≥0时，②当a＜0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（Ⅲ）设，求得导数，求出单调区间，可得最小值，证明它小于1，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）由已知，f′（1）=1+1=2．
即y=f（x）在x=1处切线的斜率为2．
又f（1）=1+ln1=1，
故y=f（x）在x=1处切线方程为y=2x﹣1；
（Ⅱ）．
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，由f'（x）=0，得．
在区间上，f'（x）＞0，在区间上f'（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅲ）证明：设，
，
令F′（x）＞0得x＞2，F′（x）≤0得0＜x≤2，
则F（x）在（0，2]上递减，在（2，+∞）上递增，
所以，
因0≤F min（x）＜1，
故函数，f（x）=ax+lnx的图象间的距离d≤F min（x）＜1，
所以函数和f（x）=ax+lnx是互为“可及函数”．
点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，培养创新意识．
20. 2014年6月12号，第二十届世界杯在巴西拉开帷幕，比赛前，某网站组织球迷对巴西、西班牙、意大利、德国四支夺冠热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜．
（1）若三人中每个人可以选择任一球队，且选择各个球队是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队被选择的概率；（2）若三人中只有一名女球迷，假设女球迷选择巴西队的概率为，男球迷选择巴西队的概率为，记ξ为三人中选择巴西队的人数，求ξ的分布列和期望．
参考答案：
略
21. 在数列{a n}中，a1=2，a17=66，通项公式是关于n的一次函数．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求a2015．
参考答案：
【考点】数列与函数的综合．
【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
【分析】（1）设a n=kn+b（k≠0），由题意可得，解得k，b，即可得出a n．
（2）把n=2015代入a n即可得出．
【解答】解：（1）设a n=kn+b（k≠0），∵a1=2，a17=66，∴，
解得k=4，b=﹣2，
∴a n=4n﹣2．
（2）a2015=4×2015﹣2=8058．
【点评】本题考查了数列的函数性质、通项公式、待定系数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22. (本小题满分12分)
已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（－2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围．
参考答案：
（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
故设双曲线C的方程为．
又双曲线C的一个焦点为，∴，．
∴双曲线C的方程为:.
（2）由得．令
∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根．因此，解得又AB中点为，∴直线l的方程为：．令x=0，得．
∵，∴，∴。