积分变换第5讲2

L f1 (t ) f2 (t )
fn (t ) F1 ( s) F2 ( s)
Fn ( s).
(2) 利用卷积定理可以来求一些函数的拉 氏变换逆变换.
例4 若 f(t)=cos0t u(t), 求F [f(t)]. 解：法一,用卷积定理:
1 F [ f (t ) F [cos 0 t ] F [u( t )] 2

交换
次序


f 1 ( )[
f 2 ( ) f 3 ( t )d ]d .
(1)
令
g( t )



f 2 ( ) f 3 ( t )d f 2 ( t ) f 3 ( t ).
则

f 2 ( ) f 3 ( t )d
1 f (t ) L [ 2 2 ] t sin t s ( s 1) 1 1 ]? 练习： L [ 2 s( s 1)
1
t sin t .
f1 ( t ) f 2 ( t ) 0
练习：请计算 f 2 ( t ) f1 ( t ).
例2 求函数 f1 ( t ) t , f 2 ( t ) sin t 的拉氏卷积. 解：根据卷积的定义，得
f1 ( t ) f 2 ( t )
t 0 t
sin( t )d
思考题：问 f ( t ) ( t ) ? 例1
0, 设 f 1 ( t ) 1, t 0, t 0; 0, f 2 (t ) t e , t 0, t 0.
求 f1(t)*f2(t). 1 O o
f1()
1
f2(t)

O
t

解：代入定义，计算积分即可.
设 f1 (t )和 f 2 (t )满足拉氏变换存在定理中的条件， 定理2 记L[ f1 (t )] F1 ( s ), L[ f 2 (t )] F2 ( s )，则
L[ f1 ( t ) f 2 ( t )] F1 ( s ) F2 ( s ).
或者
L [ F1 ( s ) F2 ( s )] f1 ( t ) f 2 ( t ).



f1 ( ) f 2 ( t ) d 中
令 u t, 则 tu, d ud, 由此
f1 ( t ) f 2 ( t )


f1 ( t u) f 2 ( u)d u



f 2 ( u) f1 ( t u)d u f 2 ( t ) f1 ( t ).
0 t 0
cos(t ) | cos(t )d t sin t .
于是
t sin t t sin t .
例3 求函数 f1 ( t ) t , f 2 ( t ) cos t 的拉氏卷积.
t cos t 1 cos t . 提示：
1 1 令 F1 ( s ) 2 , F2 ( s ) 2 , 解： s s 1 则
F ( s) F1 ( s) F2 ( s)
又因为 f1 (t ) L1 F1 ( s) t, f2 (t ) L1 F2 ( s) sin t ,
根据卷积定理和例2的结果，有
( 0 ) ( ) ( 0 )
由此,最终可得
i F [ f ( t )] 2 [ ( 0 ) ( 0 )] 2 0 2
法二,用位移公式:
e i0 t e i0 t F [ f ( t )] F [ u( t ) ] 2 1 1 ( 0 ) 2 i ( 0 )
1 1 [ ( 0 ) ( 0 ) ] [ ( )] 2 i 1 1 1 [ ( 0 ) ( 0 ) 2 i i ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )]
2.3 分配律
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] f1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ).
2.4 卷积满足如下不等式
| f1 ( t ) f 2 ( t ) || f1 ( t ) | | f 2 ( t ) | .
u


f 2 ( u) f 3 ( t u)d u
g ( t ).
从而再根据(1), 得
[ f1 ( t )* f 2 ( t )]* f 3 ( t )



f1 ( ) g ( t )d
f1 ( t )* g( t ) f1 ( t )*[ f 2 ( t )* f 3 ( t )].
证明：根据定义，有
F [ f1 ( t ) f 2 ( t )]


[ f1 ( t ) f 2 ( t )]e ( ) f 2 ( t )d ]e i t d t





f1 ( )e i f 2 ( t )e i ( t ) d d t
1 ( 0 ) i ( 0 ) i 2 [ ( 0 ) ( 0 )]. 2 0 2
例6
1 F ( s) ( s 1) 2 的逆变换.
s 1
解： 令F1 ( s ) F2 ( s ) 1 ,
而由卷积定理,又有 1 1 1 ( 0 ) F {F [ ( 0 )] F [ ]} i i 1 i 0 t 1 F {e F [ ]} i 1 1 1 F {F [ ]} i ( 0 ) i ( 0 ) 同理可得



f1 ( ) f 2 ( t )d .
(1)
若当自变量为负时，函数值为0，则上式可
表示为：
f1 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( ) f 2 ( t )d . ( 2)
0
t
-------拉氏变换下的卷积的定义. 注：不同变换下的卷积定义不同.
2、卷积的性质 2.1 交换律 f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t ). 事实上在积分
§3
卷
积
卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算 在实际问题如线性系统分析中有着重要应用 . 下面着重介绍卷积的概念与卷积定理. 1、卷积 定义 设函数 f1(t), f2(t)在整个数轴上有定义, 则



f 1 ( ) f 2 ( t ) d
称为函数 f1(t)与 f2(t)的卷积, 记为 f1(t)*f2(t). 即 f1 ( t ) f 2 ( t )
i


f1 ( )e
f ( t )e i ( t )d t d 2
F1 ( ) F2 ( ).
类似地，可以证明 1 F [ f1 ( t ) f 2 ( t )] F1 ( ) F2 ( ). 2
2.2 结合律
f1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] f 3 ( t ).
事实上，根据定义，有
[ f 1 ( t ) * f 2 ( t )] * f 3 ( t )

[




f1 ( ) f 2 ( )d ] f 3 ( t )d
3、卷积定理 卷积在积分变换中有着十分重要的的应用，主 要体现在卷积定理上.
条件， 定理1 设 f1 (t )和 f 2 ( t )满足傅氏积分定理中的 记F [ f1 (t )] F1 ( ),F [ f 2 (t )] F2 ( )，则
F [ f1 ( t ) f 2 ( t )] F1 ( ) F2 ( ).
f1 ( t ) f 2 ( t )




f1 ( ) f 2 ( t )d
t 0
1 f 2 ( t )d 0
e
t

t
0
1 e ( t ) d
( t 0).

t
0
e d 1 e t
( t 0).
1 t 则L1 F ( s ) L F ( s ) f ( t ) f ( t ) e , 2 1 2 1
故由卷积定理知
1 t t L [ ] e e 2 ( s 1)
1

t
0
e e

t
d
te .
t
1 例7 求 F ( s ) 2 2 s ( s 1) 的逆变换.
-1
这里的证明思想和傅立叶意义下卷积定理的 证明类似，所以证明从略.
卷积定理可以将不太容易计算的卷积运算化 为普通乘法，这就使得卷积在线性系统分析中成 为特别有用的方法. 注：(1) 卷积定理可以推广到多个函数.
即若f k ( t )( k 1, 2, , n)满足拉氏变换定理 存在的条件,且L f k ( t ) Fk ( s ), 则有