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2013年高考文科数学总复习3-6

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2013届高三文科数学复习测评手册答案详解

2013届高三文科数学复习测评手册答案详解

2013届高三文科数学复习测评手册答案详解D2013届高三文科数学复习测评手册答案详解45分钟滚动基础训练卷(一)1．C [解析] Q ＝{x|2x －1>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x>12，所以P ⊆Q.故选C .2．A [解析] “p 且q 为假”⇒p 、q 至多一个为真，故有可能“p 或q 为真”，充分性不成立；反之，“p 或q 为假”⇒p 、q 一定均为假，故“p 且q 为假”，必要性成立．故选A .3．C [解析] 显然函数f(x)＝lg (x ＋1)，f(x)＝lg (2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f(x)＝lg (ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．4．C [解析] 意为：只要x 不在区间[a ，b]内，就有函数f(x)≥0成立．故选C .5．B [解析] 由题知，A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共10个，即A*B 中的元素有10个，故选B .6．C [解析] sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4∈[－2，2]，而3∉[－2，2]，故命题p 是假命题；集合{x|x 2－2x ＋1＝0，x ∈R }＝{1}，故其子集有∅与{1}两个，命题q 是真命题．所以有命题“p ∧(綈q )”是假命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题，－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.12．[解答] 由题意得：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －2x ＋1≤0＝(－1,2]，B ＝{x ∈R |x 2－x ＋m －m 2≤0}＝{x ∈R |(x －m )(x －1＋m )≤0}，由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，得⎩⎨⎧－1<m ≤2，－1<1－m ≤2，解得－1<m <2.13．[解答] 若命题p 为真，则0＜a ＜1.若命题q 为真，则(2a －3)2－4＞0，即a <12或a >52. ∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 有且只有一个为真．(1)若p 真q 假，则⎩⎨⎧0<a <1，12≤a <1或1<a ≤52，解得12≤a <1.(2)若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≥1，a <12或a >52，∴a >52.综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，＋∞. 14．[解答] ∵f (x )为二次函数，∴a ≠0.①当a ＞0时，A ∩B ＝∅⇔⎩⎨⎧f (1)≤0，f (3)≤0⇔⎩⎨⎧a －2－2a ≤0，9a －6－2a ≤0⇔－2≤a ≤67.∴0＜a ≤67.②当a ＜0时，A ∩B ＝∅⇔⎩⎨⎧f (1)≤0，1a <0，∴－2≤a ＜0.∴当A ∩B ＝∅时，－2≤a ＜0或0＜a ≤67.又∵a ∈R ，且a ≠0，∴A ∩B ≠∅时，a ＜－2或a ＞67.∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫67，＋∞. 45分钟滚动基础训练卷(二)1．C [解析] 由⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0得，－1<x <1，选C.2．B [解析] 本题主要利用函数的奇偶性求解析式，可采用直接法求解．设x <0，则－x >0，f (－x )＝(－x )[1－(－x )]＝－x (1＋x )．由函数f (x )是一个奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－x (1＋x )，∴f (x )＝x (1＋x )，故选择B.此外也可用特殊值法来求解，由f (x )是一个奇函数，故f (－2)＝－f (2)，可排除A ，C ，D 选项．3．C [解析] 由f (x )·f (x ＋2)＝13，知f (x ＋2)·f (x ＋4)＝13，所以f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )是周期函数，周期为4.所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝13f (1)＝132. 4．C [解析] 令g (k )＝(x －2)k ＋(x －2)2，则问题转化为g (k )＞0对k ∈[－1,1]恒成立．∴⎩⎨⎧g (1)>0，g (－1)>0，解之得：x ＜1或x ＞3. 5．D [解析] 由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x |和y ＝log 2|x |均为偶函数，排除A 、C ；函数y ＝x －42－x为非奇非偶函数，选D.6．D [解析] 当y ＝x －1时，不过(0,0)点，①错误；当n ＝0时，y ＝x n 中x ≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．故选D.7．A [解析] f (3)＝－f (－3)＝－f (－3＋5)＝－f (2)<－1，所以a 2＋a ＋3a －3<－1，等价于a (a ＋2)(a －3)<0，解得a <－2或0<a <3.8．C [解析] 由2x 2－3x ≤0，得0≤x ≤32.∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122＋34，∴当x ＝0时，f (x )取最小值1；当x ＝32时，f (x )取最大值194.9．－1 [解析] 由f (x )＝⎩⎨⎧2cos π3x ，x ≤2000，x －100，x >2000，得f (2010)＝2010－100＝1910，f (1910)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3×1910＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫636π＋23π＝2cos 23π＝－1，故f [f (2010)]＝－1.10．－9 [解析] 由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3cos a ＝10，所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.11．a ＝b ＝1或a ＝29，b ＝439 [解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＝a ＋b －1a ，f (0)＝a ＋b ，f (3)＝10a ＋b －6.(1)当a <0时，⎩⎨⎧[f (x )]max ＝f (0)＝5，[f (x )]min ＝f (3)＝1⇒⎩⎨⎧a ＋b ＝5，10a ＋b －6＝1⇒a ＝29，不合题意；(2)当a >0时，①当0<1a <32，即a >23时，⎩⎨⎧ f (3)＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＝1⇒⎩⎨⎧10a ＋b －6＝5，a ＋b －1a ＝1⇒a ＝b＝1.②当32≤1a ≤3，即13≤a ≤23时，⎩⎨⎧f (0)＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＝1⇒⎩⎨⎧a ＋b ＝5，a ＋b －1a＝1⇒a ＝14，不合题意； ③当1a >3，即0<a <13时，由⎩⎨⎧f (0)＝5，f (3)＝1⇒⎩⎨⎧a ＋b ＝5，10a ＋b －6＝1⇒a ＝29，b ＝439.综上，a ＝b ＝1或a ＝29，b ＝439.12．[解答] (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1x 1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立．可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3.13．[解答] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x )＋g (x )＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3.又f (x )＋g (x )为奇函数，∴a ＝1，c ＝3，∴f (x )＝x 2＋bx ＋3，对称轴为x ＝－b 2.当－b2≥2，即b ≤－4时，f (x )在[－1,2]上为减函数，∴f (x )的最小值为f (2)＝4＋2b ＋3＝1，∴b ＝－3.∴不合题意，当－1＜－b2＜2，即－4<b <2时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－b 2＝3－b 24＝1， ∴b ＝－22(正值舍去)．此时f(x)＝x2－22x＋3.当－b2≤－1，即b≥2时，f(x)在[－1,2]上为增函数，∴f(x)的最小值为f(－1)＝4－b＝1，∴b＝3.∴f(x)＝x2＋3x＋3.综上所述，f(x)＝x2－22x＋3或f(x)＝x2＋3x＋3.14．[解答] (1)证明，依题意取x＝y＝0有f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，又取y＝－x可得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝f(0)(x∈R)，即f(x)＋f(－x)＝0(x∈R)，∴f(－x)＝－f(x)(x∈R)，由x的任意性可知f(x)为奇函数．(2)证明：设x1<x2，则x2＝x1＋(x2－x1)，其中x2－x1>0，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)，∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)为R 上的减函数．(3)依题意有f(2)＝f(1)＋f(1)＝4，∴不等式可化为f(x－1)－f(1－2x－x2)<f(2)，即f(x－1)<f(1－2x－x2)＋f(2)，∴f(x－1)<f(3－2x －x 2)．因为f (x )是R 上的减函数，∴x －1>3－2x －x 2，解得x <－4或x >1， 所以所求不等式的解集为{x |x <－4或x >1}．45分钟滚动基础训练卷(三)1．B [解析] 因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即f (x )＝f (2－x )；当x ＞1时，2－x ＜1，此时，f (2－x )＝(2－x )2＋1，即f (x )＝x 2－4x ＋5.2．B [解析] ⎩⎨⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13＜x ＜1.故选B.3．A [解析] 解法一：因为对数函数的底数越大，函数图象越远离y 轴的正半轴，所以C 1，C 2，C 3，C 4对应的a 值依次由大到小，即C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为3，43，35，110，故选A.解法二：作直线y ＝1，与C 1，C 2，C 3，C 4交点的横坐标，即为各对数函数底数的值．4．B [解析] 因为x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4(当x ＝3时取等号)，所以f (x )≥log 24＝2(当x ＝3时取等号)，故选B.5．C [解析] 画出y ＝2|x |的图象如图．由图知满足题意的整数对有(－1,1)，(0,1)，(－1,0)共3对．6．A [解析] 用数轴穿根法画出f (x )的大致图象，如图．根据导函数的值与原函数的单调性之间的关系可知A 选项正确．7．D [解析] 由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又抛物线开口向上，结合图象可知f (0)<f (2)<f (－2)．8．B [解析] 在坐标平面内先画出函数f (x )＝log a x 的图象，再将其图象位于x 轴下方的部分“翻折”到x 轴的上方，与f (x )本身不在x 轴下方的部分共同组成函数g (x )＝|log a x |的图象，注意到g (1)＝0，g (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＝1，结合图象可知，要使函数g (x )的值域是[0,1]，其定义域可能是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，1、[1，a ]、⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，a 、…，且1－1a ＝a －1a ＜a －1，结合题意知1－1a ＝56，a ＝6. 9．m ＜n [解析] ∵0＜5－12＜1，∴指数函数f (x )＝a x 在定义域内为减函数，又由f (m )＞f (n )，结合图象得m ＜n .10．2≤a ＜52[解析] 利用二次函数图象的特征，设f (x )＝x 2－2ax ＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，a >1.解之得2≤a ＜52. 11．2 [解析] f (10)＝log 3(10－1)＝log 39＝2，所以，f (f (10))＝f (2)＝log 3(4－1)＝log 33＝1，所以f (1)＝2e 1－1＝2.12．[解答] 由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y 甲＝0.2x ＋0.8.图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲×y 乙＝1.2×26＝31.2，所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规模比第1年缩小了．(3)设第m 年时的规模(总产量)为n ， 那么n ＝y 甲·y 乙＝(0.2m ＋0.8)(－4m ＋34)＝－0.8m 2＋3.6m ＋27.2＝－0.8(m 2－4.5m －34)＝－0.8(m －2.25)2＋31.25.因此，当m ＝2时，n 的最大值为31.2. 即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．13．[解答] (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点P ′(4－x,2－y )在C 1上，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4， ∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4， 消去y ，得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0， Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．14．[解答] (1)∃x ∈R ，f (x )<b ·g (x )⇔∃x ∈R ，x 2－bx ＋b <0⇔Δ＝(－b )2－4b >0⇔b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4.①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时， 则需⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0. ②当Δ>0，即m <－255或m >255时， 则需⎩⎨⎧m 2≥1，F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2；或⎩⎨⎧m 2≤0，F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m <－255. 综上所述，－1≤m ≤0或m ≥2.45分钟滚动基础训练卷(四)1．C [解析] 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3，当－2<x <－1时，y ′>0；当－1<x <2时，y ′<0，当x ＝－1时，y 极大值＝5；x 取不到3，无极小值．2．B [解析] f ′(2)、f ′(3)是x 分别为2、3时对应图象上切线的斜率，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)是图象上x 为2和3对应两点连线的斜率，故选B.3．D [解析] ∵f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴k ＝f ′(1)＝e 1(cos1－sin1)<0，故切线的倾斜角为钝角．4．B [解析] 设在四角截去的正方形的边长为x cm(0<x <24)，所做的铁盒容积为y cm 3，则y ＝f (x )＝(48－2x )2·x ＝4x 3－192x 2＋2304x ，∴其导数f ′(x )＝12x 2－384x ＋2304，令f ′(x )＝0，可得x ＝8，经检验此时y 最大．5．B [解析] 令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝3(舍去)．∵f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20.∴f (x )的最小值为f (2)＝－20，故m ≤－20，应选B.6．D [解析] 令f (x )＝2x －3sin x ，则f ′(x )＝2－3cos x ，当cos x <23时，f ′(x )>0，当cos x ＝23时，f ′(x )＝0，当cos x >23时，f ′(x )<0，即当0<x <π2时，f (x )先递减再递增，而f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝π－3>0，故f (x )的值与x 取值有关，即2x 与3sin x 的大小关系与x 取值有关．7．A [解析] f ′(x )＝cos x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，所以f ′⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3＝cos π3＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝－12，于是f (x )＝sin x －x ，而f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )＝sin x －x 是R 上的减函数，又b －a ＝log 32－12＝log 323>0，所以f (a )>f (b )．故选A. 8．A [解析] 本题考查二次函数与导数的内容，f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b >0，因为f (x )与x 轴恰有一个交点，所以b 2－4a ＝0.f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋1b ＝b 24＋1b ＋1＝b 4＋1b ＋1≥2b 4·1b＋1＝2.故选A. 9.S [解析] 设矩形一边长为x ，则另一边长为S x ，∴周长l (x )＝2x ＋2S x ，∴l ′(x )＝2－2S x 2.由l ′(x )＝0，得x ＝S ，∵当x ∈(0，S )时，l ′(x )<0；当x ∈(S ，＋∞)时，l ′(x )>0.∴函数l (x )在(0，S ]上递减，在[S ，＋∞)上递增．∴l (x )min ＝4S ，此时x ＝S .10．c [解析] 由f ′(x )的图象知：x ＝0是f (x )的极小值点，所以f (x )的极小值为f (0)＝c .11．③ [解析] [f (2x )]′＝f ′(2x )(2x )′＝2f ′(2x )，①错误；h ′(x )＝4cos 3x (－sin x )－4sin 3x cos x ＝－4sin x cos x ＝－2sin2x ，则h ′⎝⎛⎭⎪⎪⎫π12＝－1，②错误；③正确；f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，Δ＝4b 2－12ac ＝4(b 2－3ac )，只需b 2－3ac >0即可，a ＋b ＋c ＝0是b 2－3ac >0的充分不必要条件．12．[解答] 对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.① (1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 结合①，可知x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32 32 32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 极大值 极小值所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0＜a ≤1.13．[解答] (1)由1＋x >0得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．f ′(x )＝2x ＋2－2x ＋1＝2x (x ＋2)x ＋1. 由f ′(x )>0，得x >0；由f ′(x )<0，得－1<x <0. ∴函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)．(2)由(1)知，f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e －1，0上单调递减，在[0，e －1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e －1＝1e 2＋1，f (e －1)＝e 2－3，且e 2－3>1e 2＋1， ∴x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e －1，e －1时，f (x )max ＝e 2－3. ∵不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立， ∴⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥f (x )max ，m <f (x )min ， 即⎩⎨⎧ －m 2＋2m ＋e 2≥e 2－3，m <0⇒⎩⎨⎧ m 2－2m －3≤0，m <0⇒⎩⎨⎧－1≤m ≤3，m <0⇒－1≤m <0. ∵m 是整数，∴m ＝－1.∴存在整数m ＝－1，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立．14．[解答] (1)由f (x )＝x ln x ，可得f ′(x )＝ln x ＋1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，又f (1)＝0，所以函数f (x )在区间[1,3]上的最小值为0.(2)证明：由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))在x ＝1e 时取得最小值，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＝－1e ，可知f (m )≥－1e .由g (x )＝x e x －2e ，可得g ′(x )＝1－x ex .所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．所以函数g (x )(x >0)在x ＝1时取得最大值，又g (1)＝－1e ，可知g (n )≤－1e ，所以对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有f (m )≥g (n )成立．45分钟滚动基础训练卷(五)1．B [解析] 由条件知，tan600°＝a－4，∴a ＝－4tan600°＝－4tan60°＝－4 3.2．D [解析] 由弧长公式得2＝2R ，即R ＝1 cm ，则S ＝12lR ＝12×2×1＝1(cm 2)．3．B [解析] y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12，y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，所以将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个长度单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的图象，故选B.4．C [解析] 依题意，cos θ·tan θ<0，cos θ与tan θ是异号，所以角θ是第三或第四象限角，选择C.5．B [解析] ∵－180°<θ<－90°， ∴sin θ＝m <0，tan θ>0，故可知tan θ＝－m1－m2. 6．A7．C [解析] 不妨令a ＝－π2，b ＝π2，∴cos a ＋b 2＝cos0＝1.8．C [解析] 当|MN |最小时，点M 、N 必为两曲线的相邻的两个交点，所以可取M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2π2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2π2，根据两点间距离公式得|MN |＝π2＋(2π)2＝3π.故选C.9.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π4 [解析] 依题意，T ＝π，所以ω＝2.又由2×3π8＋φ＝2k π＋π，0<φ≤π2，故φ＝π4.10．－35[解析] 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2aa ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 11．①②③ [解析] 化简f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π12.∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π2＝π，即②正确．由2k π≤2x －π12≤2k π＋π得，k π＋π24≤x ≤k π＋13π24，即③正确．将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 12．[解答] (1)因为sin α＝35，α是第二象限角，所以cos α＝－45，从而tan α＝－34.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＋cos(3π＋α)＝sin α－cos α＝75.13．[解答] ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1sin θ＋1tan θ·1－cos θcos θ ＝1－cos 2θsin θcos θ＝sin 2θsin θcos θ＝tan θ. 即tan θ＝2.∴12sin θcos θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ2sin θcos θ＋cos 2θ ＝1＋tan 2θ2tan θ＋1＝1＋222×2＋1＝1. 14．[解答] (1)由图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π. 所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×π6＋φ＝1.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝f (x )－cos2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6－cos2x ＝sin2x cos π6＋cos2x sin π6－cos2x＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6. 因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )有最大值，最大值为1；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，g (x )有最小值，最小值为－12.45分钟滚动基础训练卷(六)1．A [解析] sin 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝－sin π3＝－32， cos 25π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4π＋π6＝cos π6＝32，tan 5π4＝tan π4＝1. 2．A [解析] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，由函数的最大值为2知A ＝2，又由函数图象知该函数的周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π3－2π3＝4π，所以ω＝12，将点(0,1)代入得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π6. 3．C [解析] 依题意，sin θ＋cos θ＝－p2，sin θcos θ＝－12，解得p ＝0，因此θ＝3π4，选择C.4．C [解析] f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3， ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴x ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，5π6.∴f (x )最小值为－1，最大值为2.5．C [解析] f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x－3sin2x ＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋1(x ∈R )，所以f (x )的最小正周期和最大值分别为π，3.6．D [解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝134.7．C [解析] 依题意，函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ；当x ∈(0，π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝xsin x>1，排除B 、D. 8．C [解析] ∵0＜α＜π2＜β＜π且sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45.π2＜α＋β＜32π，∴sin(α＋β)＝±35，当sin(α＋β)＝35时，sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45×35＝2425； 当sin(α＋β)＝－35时，sin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35×45－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45×35＝0， 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，∴sin β＞0，故sin β＝2425.9.3 [解析] ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴原式＝tan60°·(1－tan20°·tan40°)＋3tan20°·tan40°＝3－3tan20°·tan40°＋3tan20°·tan40°＝ 3.10．2－3 [解析] 依题意tan θ＝－1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3＝－1＋31＋3＝2－ 3. 11．①②③ [解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11π12＝3sin 3π2＝－3，①正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝3sinπ＝0，②正确； 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12，∴f (x )的增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )，令k ＝0，得f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12，5π12为增函数，③正确；由y ＝3sin2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C ，④错误．12．[解答] (1)由题意，sin x ≠0，所以x ≠k π(k ∈Z )．函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }．(2)因为f (x )＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4－13＝2sin x ，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x －13＝2sin x ，∴cos x －sin x ＝13.将上式平方，得1－sin2x ＝19，所以sin2x ＝89. 13．[解答] (1)∵a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，且a ∥b ，∴sin θ2＝cos θ1，即sin θ＝2cos θ.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，解得sin θ＝255，cos θ＝55，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵0<ω<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－ω<π2.∵sin(θ－ω)＝35，∴cos(θ－ω)＝1－sin 2(θ－ω)＝45.∴cos ω＝cos[θ－(θ－ω)]＝cos θcos(θ－ω)＋sin θsin(θ－ω)＝255.14．[解答] (1)由图象知：T ＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－π4＝π，则：ω＝2πT ＝2，由f (0)＝－1得：sin φ＝－1，即：φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∵|φ|<π，∴φ＝－π2.(2)由(1)知：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2＝－cos2x ，∴g (x )＝22f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π8－1 ＝22(－cos x )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1 ＝22cos x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(cos x ＋sin x )－1＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，5π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，∴g (x )的值域为[－1，2]．45分钟滚动基础训练卷(七)1．C [解析] HG →＝12EF →＝14AC →＝14(AB →＋BC →)＝14(AB →－CB →)＝14(a －b )． 2．A [解析] a ∥b ，则2×(－2)－1·y ＝0⇒y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5.3．C [解析] 5秒后点P 的坐标为：(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．4．D [解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB →＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG →，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形．解法二：AB →＝OB →－OA →＝b －a ，CD →＝OD →－OC→＝d －c ＝－(b －a )＝－AB →，∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．5．C [解析] 由已知a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，得2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝4，两边平方，化简得sin θ－3cos θ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π3＝1， ∵θ为三角形的内角，∴θ＝5π6.6．B [解析] 正确的应该是①④.a 与b 共线，则A 、B 、C 、D 四点未必在一条直线上；若a 与b 共线，且a 与b 同向时才有⎪⎪⎪⎪a ＋|b |＝|a ＋b |.7．D [解析] 因为a ·b ＝10，所以x ＋8＝10，x ＝2，所以a －b ＝(－1，－2)，故|a －b |＝ 5.8．B [解析] 由已知，得OA →＝(x ，y )，AA ′→＝(－2x,0)，由OA →2＋a ·AA ′→≤0，得x 2＋y 2－2x ≤0，即(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及圆内的点．9．－72 [解析] 依题意，e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cosπ3＝12，所以a·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6|e 1|2＋2|e 2|2＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72.10．5 [解析] 因为b ⊥(a ＋2b )，所以b ·(a ＋2b )＝0，即b ·a ＋2b 2＝0，所以a ·b ＝－2， 而|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝16＋8＋1＝5.11．－2 [解析] ∵|AB |＝23，|OA |＝|OB |＝2，∴∠AOB ＝120°. ∴OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos120°＝－2.12．[解答] (1)∵BP →＝PA →， ∴BO →＋OP →＝PO →＋OA →，即2OP →＝OB →＋OA →， ∴OP →＝12OA →＋12OB →，即x ＝12，y ＝12.(2)∵BP →＝3PA →， ∴BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →，即4OP →＝OB →＋3OA→， ∴OP →＝34OA →＋14OB →，∴OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)， ＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →， ＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9. 13．[解答] ∵BC→＝(x ，y )，AB →＝(6,1)，CD →＝(－2，－3)，∴DA→＝－AD →＝－(AB →＋BC →＋CD →) ＝－(x ＋4，y －2)＝(－x －4，－y ＋2)． (1)∵BC→∥DA →，故有x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0，化简得x ＋2y ＝0. (2)AC→＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD→＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)． ∵AC→⊥BD →， ∴(x ＋6)·(x －2)＋(y ＋1)·(y －3)＝0. 化简有x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0.联立⎩⎨⎧x ＋2y ＝0，x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－6，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.∵BC→∥DA →，AC →⊥BD →，则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形．当⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝3时，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)，此时S 梯形ABCD ＝12·|AC →|·|BD →|＝16.当⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1时，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)，此时S 梯形ABCD ＝12·|AC →|·|BD →|＝16.综上所述，x ＝－6，y ＝3或x ＝2，y ＝－1，四边形ABCD 的面积为16.14．[解答] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4， 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .(2)由f (B )＝1得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2B ＋π4＝22，又0<B <π，所以B ＝π4，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ，则3k sin π3＋2k sin π4＝10⇒52k ＝10⇒k ＝4.所以c ＝k sin C ＝4sin(A ＋B )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝6＋ 2. 45分钟滚动基础训练卷(八)1．B [解析] |2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8＝2 2. 2．D [解析] 方法一：易知∠ACE ＝∠BCF ，且tan ∠ACE ＝12，∴tan ∠ECF ＝tan(90°－2∠ACE )＝1tan2∠ACE＝1－tan 2∠ACE 2tan ∠ACE＝1－14＝34，选D.方法二：过C 作CD ⊥AB 于D ，则DE ＝12EF＝16AB ，CD ＝12AB ，∴tan ∠DCE ＝13，故tan ∠ECF ＝tan2∠DCE ＝2×131－132＝34，选D.3．A [解析] 由S ＝12AB ·AC ·sin A 得AC ＝1，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，∴BC ＝ 3.4．B [解析] 设AP →与AD →的夹角为θ，则AP →·AD →＝|AP →|·|AD →|cos θ，而|AD →|＝2，|AP→|cos θ＝2，所以选B.5．C [解析] S △OAB ＝12|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝12|a ||b |·1－cos 2〈a ，b 〉＝12|a ||b |1－(a ·b )2|a |2|b |2，＝12|a |2|b |2－(a ·b )2. 6．A [解析] 由余弦定理可知正方形的边长a ＝12＋12－2×1×1×cos α＝2－2cos α，那么该八边形的面积为S ＝a 2＋4×12×1×1×sin α＝2－2cos α＋2sin α.7．A [解析] 因为⎪⎪⎪⎪a ＋b >1⇔⎪⎪⎪⎪a 2＋2a ·b ＋⎪⎪⎪⎪b 2>1⇔a ·b >－12⇔⎪⎪⎪⎪a ⎪⎪⎪⎪b cos θ＝cos θ>－12⇔θ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，2π3，所以p 1为真命题，p 2为假命题． 又因为⎪⎪⎪⎪a －b >1⇔⎪⎪⎪⎪a 2－2a ·b ＋⎪⎪⎪⎪b 2>1⇔a ·b <12⇔⎪⎪⎪⎪a ⎪⎪⎪⎪b cos θ＝cos θ<12⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π3，π，所以p 4为真命题，p 3为假命题．8．D [解析] 如图，由题意得∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°，∴AB sin75°＝BC sin30°， ∴BC ＝10sin75°＝10(6－2) .9．(1,2) (0，－1) [解析] AD→＝BC →＝AC →－AB→＝(1,2)，BD →＝AD →－AB →＝(0，－1)． 10.π3[解析] 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. 11．无 [解析] 根据题意，画出示意图(如下图)，在三角形ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理BC＝ABsin∠ACB·sin∠BAC＝30sin15°·sin30°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt△BDC中，∠CBD＝45°，CD＝BC sin ∠CBD＝15(3＋1)>38.故无触礁危险．12．[解答] (1)∵a＝(4,3)，b＝(－1,2)，∴a·b＝4×(－1)＋3×2＝－4＋6＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝(－1)2＋22＝5，∴cosθ＝a·b|a||b|＝25×5＝2525.(2)∵向量a－λb与2a＋b互相垂直，∴(a－λb)·(2a＋b)＝0，即2a2＋(1－2λ)a·b－λb2＝0，∴2×52＋2(1－2λ)－5λ＝0，∴λ＝52 9.13．[解答] (1)由bsin B＝csin C得sin C＝cb sin B＝3×sin30°＝3 2.∵c>b，∴C>B，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.(2)S△ABC＝12bc sin A＝12×1×3×sin90°＝32.或S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×3×sin30°＝34. 即△ABC 的面积为32或34.14．[解答] 设AB ＝x ，∠AOB ＝θ，在△AOB 中运用余弦定理，得x 与θ存在关系：x 2＝12＋22－2×1×2cos θ＝5－4cos θ.① 又设四边形OACB 的面积是S ，则S ＝S △AOB ＋S △ABC ＝sin θ＋34x 2.②将①式代入②得S ＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π3＋534.∵θ∈(0，π)，∴－π3<θ－π3<2π3.∴当且仅当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S max ＝8＋534. 即以OA 为始边，OB 逆时针方向旋转5π6时，四边形OACB 面积最大，最大值为8＋534.45分钟滚动基础训练卷(九)1．A [解析] 由已知d ＝2，所以偶数项的和为80＋5d ＝90.故选A.2．C [解析] 由已知得a 57＝32，所以a 7＝2.故选C.3．C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则有9(a 1＋d )2＝9a 1(a 1＋2d )，得d ＝0，所以S 4＝4a 1＝12.故选C.4．C [解析] 由题意b 2＝ac >0，因为Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根．故选C.5．B [解析] S 5＝5(a 1＋a 5)2＝30，所以a 1＋a 5＝12，所以a 3＝6.所以S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 1＋a 8)＝4(a 3＋a 6)＝4×8＝32.故选B.6．C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝15，6a 1＋15d ＝21，解得a 1＝d ＝1，所以S 11＝11a 1＋55d ＝66.故选C.7．D [解析] 由a 1005·a 1007＝4得a 21006＝4，所以a 1006＝±2，a 1·a 2·a 3·…·a 2010·a 2011＝(a 1·a 2011)(a 2·a 2010)(a 3·a 2009)…(a 1005·a 1007)a 1006＝(a 21006)1005·a 1006 ＝41005·(±2)＝±22011.故选D.8．B [解析] 由已知a 3a 9＝a 26，所以a 3＋a 9≥2a 3a 9＝2a 26＝2a 6，而b 4＋b 10＝2b 7，a 6＝b 7，所以a 3＋a 9≥2b 7.故选B.9．a n ＝(－1)n ＋1(2n －1) [解析] 随着项数n 的变化，项增加的速度很快，联想到2n ，再考虑系数的符号，可得通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．10.35 [解析] 设公差为d ，则S 2S 5＝2a 1＋d 5a 1＋10d＝14，解得a 1＝2d ，所以a 5a 9＝a 1＋4d a 1＋8d ＝35. 11．9 －3 [解析] 由等比中项得b 2＝ac ＝9，当b ＝3时，则这五个数不成等比数列，当b ＝－3时，a 、c 同为正号，则这五个数成等比数列，所以ac ＝9，b ＝－3.12．[解答] (1)由已知得：⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋a 3－1＝2a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q ， 又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12. 由题意得q >1，所以q ＝2，a 1＝1故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝log 4a 2n ＋1(n ∈N ＋)，由(1)得a 2n ＋1＝22n ＝4n .所以b n ＝log 44n ＝n .所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)×n＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1－1n . 13．[解答] (1)Q 型车每月的销售量{a n }是以首项a 1＝a ，公比q ＝1＋1%＝1.01的等比数列，前n 个月的销售总量S n ＝a (1.01n －1)1.01－1＝100a (1.01n －1)(n ∈N ＋，且n ≤24)．(2)因为S n －T n ＝100a (1.01n －1)－228a (1.012n －1)＝100a (1.01n －1)－228a (1.01n －1)(1.01n ＋1)＝－228a (1.01n －1)·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1.01n ＋3257. 又1.01n －1>0,1.01n ＋3257>0，所以S n －T n <0， 所以S n <T n .14．[解答] a 1＝2，a n －a n －1－2n ＝0(n ≥2，n ∈N )，∴a 2＝6，a 3＝12，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n ，a n －1－a n －2＝2(n －1)，…，a 3－a 2＝2×3，a 2－a 1＝2×2，∴a n －a 1＝2[n ＋(n －1)＋…＋3＋2]，∴a n ＝2[n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1]＝2n (n ＋1)2＝n (n ＋1)， 当n ＝1时，a 1＝1×(1＋1)也满足上式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)．(2)b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1(n ＋1)－1(n ＋2)＋1(n ＋2)－1(n ＋3)＋…＋12n －1(2n ＋1)＝1(n ＋1)－1(2n ＋1)＝n 2n 2＋3n ＋1＝1⎝⎛⎭⎪⎪⎫2n ＋1n ＋3， 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16， 另解：b n ＋1－b n ＝1n ＋2－12n ＋3－1n ＋1＋12n ＋1＝1n ＋2＋12n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3＋1n ＋1 ＝3n ＋32n 2＋5n ＋2－3n ＋42n 2＋5n ＋3<0， ∴数列{a n }是单调递减数列，∴(b n )max ＝b 1＝16. 45分钟滚动基础训练卷(十)1．D [解析] 因为集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以∁U P ＝{x |x <－1或x >1}，故选D.2．C [解析] 作出可行域如图，可知直线y ＝x 与3x ＋2y ＝5的交点(1,1)为最优解点，∴当x ＝1，y ＝1时，z max ＝3.3．D [解析] q 真时，－2<m <2，因此当p且q 为真命题时m 的取值范围是－2<m <0.4．B [解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋4a ＝|a |＋4|a |≥2|a |·4|a |＝4，当且仅当|a |＝4|a |，即a ＝±2时取等号，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋4a 的最小值为4.5．C[解析] 作出可行域，其中A(1,0)，B(4,0)，则ω＝y－1x＋1表示过可行域内的动点P(x，y)与定点M(－1,1)的直线的斜率，由图可知ωmin＝k MA＝－12，且ω<k l＝2，故－12≤ω<2.6．D[解析] 由条件利用韦达定理得：b＝a，c＝－2a，且a>0，代入cx2＋bx＋a>c(2x－1)＋b，整理得2x2－5x＋2＜0，解得12＜x＜2，选D.7．A[解析] 函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递增，又在x＝1处，两端的函数值相等，故函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．所以f(m2＋1)≥f(tm－1)对任意实数m 恒成立，等价于m2＋1≥tm－1对任意实数m恒成立，即m2－tm＋2≥0对任意实数m恒成立，故t2－8≤0，解得－22≤t≤2 2.8．B[解析] 如图，延长BC交y轴于点D，目标函数z＝kx＋y中z的几何意义是直线kx＋y －z＝0在y轴上的截距，由题意得当此直线经过点C(1,2)时，z取得最大值，显然此时直线kx＋y－z＝0与y轴交点应该在点A和点D之间，而k AC＝2－11－0＝1，k BD＝k BC＝2－01－3＝－1，直线kx＋y－z＝0的斜率为－k，所以－1≤－k≤1，解得k∈[－1,1]，故选B.9．x>1[解析] 不等式x＋1x－1≥3成立，等价于x－1＋1x－1≥2成立，等价于y＝x－1＋1x－1有最小值2，所以要使上式成立需满足x－1>0，且(x－1)2＝1有解，即x＝2时取到最小值，所以x＋1x－1≥3成立的充要条件为x>1.10．1512[解析] 由三角形相似得24－y 24－8＝x20，得x＝54(24－y)，所以S＝xy＝－54(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.11．－4<a<2[解析] 作出可行域，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a<2.12．[解答] 证明：(1)左边－右边＝a 2＋a 2b 2－2a ＋2ab ＋1＋1＝(a －1)2＋(ab ＋1)2≥0，不等式成立．(2)由于a 、b 、c 均为正实数，∴ab c ＋bc a ≥2b ，ca b ＋bc a ≥2c ，ca b ＋ab c≥2a ， 三式相加即得不等式成立．13．[解答] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百吨，共获得利润S 百万元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y .作出可行域如图，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝9，2x ＋3y ＝14，解得直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫134，52， 平移直线y ＝－32x ＋S 2，当它经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫134，52时，直线y ＝－32x ＋S 2在y 轴上截距S 2最大，S 也最大．此时，S ＝3×134＋2×52＝14.75. 因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百吨时，可获得最大利润，最大利润为1475万元．14．[解答] (1)证明：因为f (0)>0，f (1)>0， 所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由条件a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得a >c >0； 由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c ，得a ＋b <0,2a ＋b >0.故－2<b a <－1.(2)证明：抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a，3ac －b 23a ， 在－2<b a <－1的两边乘以－13，得13<－b 3a <23.又因为f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－b 3a ＝－a 2＋c 2－ac 3a <0，所以方程f (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－b 3a 与⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 3a ，1内分别有一个实根． 故方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．45分钟滚动基础训练卷(十一)1．D [解析] 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.2．A [解析] ①中，两个平面有三个公共点，这三个公共点可能共线，则①不正确；②中，这两条直线可能是异面直线，则②不正确；③中，若M ∈α，M ∈β，M 是α和β的公共点，则M 必在交线上；④中三条直线可能不共面．3．C [解析] 有两种情况，一种是将4作为底面圆的周长，另一种是将2作为底面圆的周长．4．C [解析] 对于C 选项，相应的几何体为三棱柱，其体积V ＝Sh ＝12×1×1×1＝12，符合题意，故选C.5．A [解析] 设圆锥底面圆的半径为r ，由圆锥的轴截面是等边三角形，且面积为3，可得12×2r ×2r ×32＝3， 解得r ＝1，易知圆锥的高为3r ＝3，母线长l ＝2r ＝2，则这个圆锥的表面积为S＝S侧＋S底＝12×2πr·2r＋πr2＝3π.6．C[解析] 设棱台上底面面积为k，下底面面积为9k，则中截面面积为4k，所以棱台的中截面(过棱台的高的中点且与底面平行的截面)分棱台成两部分的体积之比V1 V2＝13(k＋4k＋k·4k)h13(4k＋9k＋4k·9k)h ＝7 19.7．A[解析] 设正三棱锥的侧棱长为b，则由条件知b2＝12a2，∴S表＝34a2＋3×12×12a2＝3＋34a2，故选A.8．C[解析] 由图可知，该几何体上部为正四棱锥，四棱锥的高为32－22＝5，底面正方形的边长为22；下部为圆柱，圆柱的高为x，底面圆的直径为4.V四棱锥＝13×(22)2×5＝853，V圆柱＝π×22×x＝4πx，V四棱锥＋V圆柱＝853＋4πx＝853＋12π，解得x＝3，故选C.9．72[解析] 根据题目所给的三视图可知。

文科数学复习题(2013高考真题)

文科数学复习题(2013高考真题)

1．(2013湖南，文2)“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2013浙江，文13)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于__________．3． (2013浙江，理4)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“π2ϕ=”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2013浙江，理6)已知α∈R ，sin α＋2cos αtan 2α＝( )． A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 5．(2013浙江，理16)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝__________.6．(2013广东，文7)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )．A ．x ＋y＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y＝07．(2013广东，文10)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ； ③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．48．(2013浙江，理13)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足20,240,240.x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z 的最大值为12，则实数k ＝__________.9. (2013湖北，理2)已知全集为R ，集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩＝( )． A ．{x |x ≤0} B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4} 10．(2013湖北，理6)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )．ABC． D．11．(2013湖北，理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．12.设a ，b ∈R ，|a －b |＞2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集是__________．13．(2013重庆，文13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为__________． 14．(2013重庆，文14)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA ＝(－3,1)，OB ＝(－2，k )，则实数k ＝__________.15．(2013湖南，文6)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．316．(2013重庆，文12)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝__________.17．(2013浙江，文5)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )．A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 318．(2013湖北，文3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A ．(⌝p )∨(⌝q )B ．p ∨(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q19．(2013湖北，文4)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且 y ＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且 y ＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确．．．的结论的序号是( )． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④20．(2013湖北，文6)将函数y x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )．A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π621．(2013重庆，文2)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )．A ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0B ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0D ．不存在x ∈R ，使得x 2＜022．(2013重庆，理4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )．A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,823．(2013重庆，理7)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )．A ．4-B 1-C ．6- D24．(2013重庆，文4)设P 是圆(x －3)＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )．A ．6B ．4C ．3D ．225．(2013重庆，文7)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )．A ．52B ．72C ．154D ．15226．(2013湖南，文9)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB ＝( )． A ．12 B ．14 C D27．(2013重庆，理8)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()．A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤928．(2013重庆，文6)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为().1 2 38912279 00 3A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.629．(2013湖南，文7)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面()．AB．1 CD30．(2013湖南，文8)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()．A1BC1D231．(2013天津，理4)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切，其中真命题的序号是()．A．①②③B．①②C．①③D．②③32．(2013天津，文4)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件33．(2013天津，文5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝()．A．12-B．1 C．2 D．1234．(2013湖南，文12)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．35．(2013重庆，文18)(本小题满分13分，(1)小问4分，(2)小问9分．)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2.(1)求A ；(2)设a =S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．36．(2013天津，文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果； ②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．37．(2013重庆，文17)(本小题满分13分，(1)小问9分，(2)、(3)小问各2分．)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得10180i i x==∑，10120i i y==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，1221n ii i n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-， 其中x ，y 为样本平均值．线性回归方程也可写为y bx a =+ .38．(2013天津，文17)(本小题满分13分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明EF ∥平面A 1CD ；(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．39．(2013重庆，文19)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，PA =BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3. (1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．40．(2013天津，理17)(本小题满分13分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为6，求线段AM的长．41．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝2.图(2) 图(1)(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F－DEG的体积V F－DEG.42．(2013陕西，文18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．43．(2013湖南，文17)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．44．(2013湖南，文18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：(1)(2)45．(2013湖南，文19)(本小题满分13分)设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0,2a n－a1＝S1·S n，n ∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和．46．(2013陕西，文19)(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评(1)为了调查评委对7其中从B组抽取了6(2)在(1)中，若A，B选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．47．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．48．(2013天津，理19)(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{a n}不是．．递减数列，其前n项和为S n(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n＝1nnSS(n∈N*)，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．。

2013年高考真题——数学文(全国卷大纲版)解析版

2013年高考真题——数学文(全国卷大纲版)解析版

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则 （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213（3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1（4）不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1U （D ）()()-2,00,2U（5）()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224（6）函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210xx ->（7）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（8）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=（9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6（11）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B ）33 （C ）23 （D ）13（12）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==u u u r u u u rg 两点,若则（A ）12（B ）22 （C 2 （D ）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， .（14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）（15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为.（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =o ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若31sin sin , C.4A C -=求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆o中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I）求第4局甲当裁判的概率；（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()2f ;a x =时，讨论的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2 6.y C =与的两个交点间的距离为（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且 11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列。

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（ ） A ．{1，2} B ．{3，4，5} C ．{1，2，3，4，5} D ．∅2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（ ）A ．B ．C ．D ．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣14．（5分）不等式|x 2﹣2|＜2的解集是（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣2，2）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣2，0）∪（0，2）5．（5分）（x+2）8的展开式中x 6的系数是（ ） A ．28 B ．56 C ．112 D ．2246．（5分）函数f （x ）=log 2（1+）（x ＞0）的反函数f ﹣1（x ）=（ ） A ．B ．C ．2x ﹣1（x ∈R ）D ．2x ﹣1（x ＞0）7．（5分）已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0，a 2=﹣，则{a n }的前10项和等于（ ） A ．﹣6（1﹣3﹣10） B ．C ．3（1﹣3﹣10）D ．3（1+3﹣10）8．（5分）已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．9．（5分）若函数y=sin （ωx +φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣611．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B． C． D．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B． C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）= ．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{an }中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =，求数列{bn}的前n项和Sn．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A=（）1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁UA．{1，2} B．{3，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁A，即可选出正确选项U【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}A={3，4，5}所以∁U故选：B．【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（）A．B．C．D．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28 B．56 C．112 D．224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．=C x 8﹣r2 r【解答】解：（x+2）8展开式的通项为Tr+1令8﹣r=6得r=2，2=112．∴展开式中x6的系数是2 2C8故选：C．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．7．（5分）已知数列{an }满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B． C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3an+1+an=0∴∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S 10==3（1﹣3﹣10）故选：C ．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题8．（5分）已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB 经过右焦点F 2且垂直于x 轴且|AB|=3算出A 、B 的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a 2=4，b 2=3，从而得到椭圆C 的方程． 【解答】解：设椭圆的方程为，可得c==1，所以a 2﹣b 2=1…①∵AB 经过右焦点F 2且垂直于x 轴，且|AB|=3 ∴可得A （1，），B （1，﹣），代入椭圆方程得，…②联解①②，可得a 2=4，b 2=3 ∴椭圆C 的方程为故选：C ．【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T==，所以ω==4．故选：B．【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．10．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵y=x4+ax2+1，∴y′=4x3+2ax，∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B． C． D．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B． C．D．2【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）= ﹣1 ．【分析】利用函数的周期，求出f（﹣1）=f（1），代入函数的解析式求解即可．【解答】解：因设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x ﹣2，则f（﹣1）=f（1）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，值域函数的定义域是解题的关键，考查计算能力．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有60 种．（用数字作答）【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有•=60种方法．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为0 ．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（0，），C（0，4）设z=F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z=﹣x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（1，1）=﹣1+1=0故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于16π．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{an }中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =，求数列{bn}的前n项和Sn．【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an（II）由==，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴sn===【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE，证明PB⊥OE，OE∥CD，即可证明PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD 的距离，即可求得点A到平面PCD的距离．【解答】（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD∴OA=OB=OD，即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD，∴PB⊥OE∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD∴PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，∵，=∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF=∴点A到平面PCD的距离为1．【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．【分析】（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”，可得A=A1•A2．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．可得B=，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”．则A=A1•A2．P（A）=P（A1•A2）=．（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B=，则P（B）=P（）=+=+=．【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（I）把a=代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=﹣，或x=﹣，判断函数在区间（﹣∞，﹣），（﹣，﹣），（﹣，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，当a ≥，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a的范围．【解答】解：（I）当a=时，f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣，或x=﹣，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，f′（x）=3（x2+2ax+1）≥3（）=3（x﹣）（x﹣2）＞0，所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f （2）≥0，综上可得，a的取值范围是[，+∞）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y 2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．。

《金版学案》高考数学文科一轮复习课件3-6函数y=Asin(ωx+φ)的图象 及三角函数模型的应用

《金版学案》高考数学文科一轮复习课件3-6函数y=Asin(ωx+φ)的图象 及三角函数模型的应用

栏 目 链
∴f(0)＝
2sin2kπ＋π3 ＝
6 2.
接
栏 目 链 接
考点探究
考点1 五点法作图及图象变换
【例 1】 已知函数 y＝3sin12x－π4 .
栏
(1)用五点法作出函数的图象；
目
(2)说明此图象是由 y＝sin x 的图象经过怎么样的变化得到的；
链 接
(3)求此函数的振幅、周期和初相；
π
π
C.向左平移12个单位 D.向左平移 4 个单位
链
接
易错点拨：本题若考生把 y＝sin 3x＋cos 3x 恒等变换成 y＝sin 3x＋cos 3x＝
2sin3x＋π4 ，再考虑平移难度就很大；若记错公式把 y＝sin 3x＋cos 3x 化成 y ＝ 2cos3x＋π4 ，容易错选 C.题目的“倒装语句”叙述，也容易发生错误判断．
接
考点探究
(2)“先平移，后伸缩”．
π 先把 y＝sin x 的图象上所有点向右平移 4 个单位，得到 y＝
sinx－π4 的图象；再把 y＝sinx－π4 的图象上所有点的横坐标伸长 栏
到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x－π4 的图象，最后将 y
链
的图象的作图方法(用五点法)：先取横坐标分别为 0，π2 ，π，32π，2π的
接
五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一
个周期内的图象．再将一个周期内的图象向左右平移 2kπ(k∈N*)个单位长
度，即得函数的整个图象．
课前自修
(2)正切函数的图象：作正切曲线常用三点二线作图法． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象：
课前自修
解析：本题考查三角函数的图象变换及三角恒等变换，难度中等．

2013年全国大纲高考数学文科试卷带详解

2013年全国大纲高考数学文科试卷带详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则 （ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （ ）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ， 因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是 （ ）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是 （ ）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3） 第11题图 连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2） 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”， 则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。

2013年高考文科数学总复习4-6

2013年高考文科数学总复习4-6

x
－φ －φ ＋ π π－φ 3π －φ 2π－φ ω ω 2ω ω 2ω ω ω
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0 －A
0
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
问题探究1：用五点法作图找五个点时，如上表应首先确定哪一行 的数据？
提示：第二行，即先使 ωx＋φ＝0，π2，π，32π，2π，然后求出 x 的值．
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
考纲要求
考情分析
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的
三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b
物理意义，能画出y＝Asin(ωx 的图象和性质一直是高考的热
＋φ)的图象，了解参数A、ω、 点，它的单调性、奇偶性及最
φ对图象变化的影响．
答案：C
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
4．(2011 年辽宁高考)已知函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y＝ f(x)的部分图象如右图，则 f(2π4)＝________.
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
解析：从图可看出周期 T＝π2，∴ωπ ＝π2，ω＝2 又 f(x)＝Atan(2x＋φ) x＝38π 时，Atan(34π＋φ)＝0 tan(34π＋φ)＝0，|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f(x)＝Atan(2x＋π4)．取 x＝0，Atanπ4＝1， ∴A＝1.∴f(x)＝tan(2x＋π4)． f(2π4)＝tan(1π2＋π4)＝tanπ3＝ 3.
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
例 1 已知函数 y＝3sin12x－π4 (1)用五点法作出函数的图象； (2)求此函数的振幅、周期和初相； (3)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．

2013年全国各地高考文科数学试题分知识点汇编3：三角函数

2013年全国各地高考文科数学试题分知识点汇编3：三角函数

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2013年高考大纲卷（文））已知a 是第二象限角 ）A 【答案】A2 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为【答案】C ;3 ．（2013年高考四川卷（文））,则,ωϕ的值分别是（ ）A 【答案】A4 ．（2013年高考湖南（文））在锐角∆ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b. 若则角A 等于______（ ）A 【答案】A5 ．（2013年高考福建卷（文））的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点则ϕ的值可以是（ ）A 【答案】B6 ．（2013年高考陕西卷（文））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 【答案】A7 ．（2013年高考辽宁卷（文））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为）A 【答案】A8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC 的面积为（ ） A ．2+2B ．+1C ．2-2D ．-1【答案】B9 ．（2013年高考江西卷（文） ）A ．【答案】C10．（2013年高考山东卷（文））ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,则c =（ ）A ．2C ．1【答案】B11．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知sin2α=,则cos 2(α+)=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A12．（2013年高考广东卷（文））那么cos α=（ ）A 【答案】C13．（2013年高考湖北卷（文））的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是（ ）A 【答案】B14．（2013年高考大纲卷（文））若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】B15．（2013年高考天津卷（文）） ）A ．1-B ．0 【答案】B16．（2013年高考安徽（文））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,（ ）A 【答案】B 17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．5 【答案】D18．（2013年高考浙江卷（文））函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是（ ） A ．π,1B ．π,2C ．2π,1D ．2π,2 【答案】A19．（2013年高考北京卷（文））在△ABC 中,3,5a b ==,则sin B =（ ）A ．1【答案】B20．（2013年高考山东卷（文））函数x x x y sin cos +=的图象大致为【答案】D 二、填空题21．（2013年高考四川卷（文））设sin 2sin αα=-,则tan 2α的值是________.22．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<,与函数,则||ϕ=___________.[来.源：全,品…中&高*考+网]23．（2013年上海高考数学试题（文科））已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c .若2220a ab b c ++-=,则角C 的大小是________(结果用反三角函数值表示).[来.源：全,品…中&高*考+网]24．（2013年上海高考数学试题（文科））则()cos 22x y -=________.25．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.26．（2013年高考江西卷（文））设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值范围是_____._____【答案】2a ≥ 三、解答题27．（2013年高考大纲卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)求C . 【答案】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=,所以222a c b ac +-=-.由余弦定理得因此,0120B =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知060A C +=,所以故030A C -=或030A C -=-, 因此,015C =或045C =.28．（2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=(1)(2)(2)由(1)知, [来.源：全,品…中&高*考+网]29．（2013年高考天津卷（文））在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a =(Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) .【答案】30．（2013年高考广东卷（文））(1) ;(2)【答案】(2)3cos 5θ=来.源：全,品…中&高*考+网]31．（2013年高考山东卷（文））且()y f x =的图象的(Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间 【答案】32．（2013年高考浙江卷（文））在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到且(Ⅱ)由(1)由已知得到:12ABCS =33．（2013年高考福建卷（文））如图,在等腰直角三角形OPQ ∆中,90OPQ ∠=,点M 在线段PQ上.(1)求PM 的长;(2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值.【答案】解:(Ⅰ)在OMP ∆中,45OPM∠=︒,由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=,1MP =或MP (Ⅱ)设POM ∠OMP 中,由正弦定理sin OP OM =(sin OP ON =12OMN OM =⨯因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值.即230POM ∠=︒时,OMN ∆的面积的最小值为34．（2013年高考陕西卷（文））设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) .【答案】(Ⅰ) ()·f x =a b =来.源：全,品…中&高*考+网] 最小正周期为π. [来.源：全,品…中&高*考+网](Ⅱ所以,f (x)35．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,(Ⅰ)求A ;,S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.【答案】36．（2013年高考四川卷（文））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且求向量BA 在BC 方向上的投影得向量BA 在BC 方向上的投影为来.源：全,品…中&高*考+网] 37．（2013年高考江西卷（文））在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.[来.源：全,品…中&高*考+网](1)求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若,. 【答案】解:(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B因为sinB 不为0,所以sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c 成等差数列(2)由余弦定理知2222cos c a b ac C =+-得 38．（2013年高考湖北卷（文））在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c . 已知cos 23cos()1A B C -+=.(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若△ABC 的面积,5b =,求sin sin B C 的值.【答案】(Ⅰ)由cos 23cos()1A B C -+=,得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=,或cos 2A =-(舍去). 得20bc =. 又5b =,知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故39．（2013(Ⅰ)求()f x 的最小值,并求使()f x 取得最小值的x 的集合;(Ⅱ)不画图,说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.40．（2013年高考北京卷（文））(I)求f x （）的最小正周期及最大值;(II)求α的值.【答案】解:(I)所以()f x 的最小正周期为(II)来.源：全,品…中&高*考+网]41．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>.(1)令1ω=,;(2)令2ω=,,再往上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像.对任意的a R ∈,求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值.【答案】法一:解()F x 是非奇函数非偶函数.网] 区间[],10a a π+的长度为10个周期,若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点;,21个,否则20个. 法二:42．（2013年高考辽宁卷（文））(I)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值【答案】。

2013高考文科数学(全国卷大纲版)解析版全word版

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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅ 【答案】B【解析】由补集定义易得{}3,4,5U C A =,故选B. 【考点定位】补集的概念 2、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则 （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 【答案】A【解析】因为α是第二象限角，∴12cos 13α===-，故选A. 【考点定位】考查同角三角函数基本关系式3、已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1 【答案】B【解析】∵()(),+⊥-m n m n ∴()()0+⋅-=m n m n ∴220-=m n即()()2211[24]0λλ++-++=∴3λ=-，故选B. 【考点定位】考查向量垂直，数量积坐标运算.4、不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2【答案】D【解析】22|2|2222x x -<⇒-<-<2040||2x x ⇒<<⇒<<2002x x ⇒-<<<<或，故选D.（也可用排除法）【考点定位】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法5、()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224 【答案】C【解析】26262+18=2112T C x x ⋅=，故选C【考点定位】二项式定理的通项公式 6、函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A【解析】由()2111log 11221yy y f x x x x ⎛⎫==+⇒+=⇒= ⎪-⎝⎭， ∵0x >∴0y >∴()11(0)21xfx x -=>-，故选A. 【考点定位】考查求反函数，指数式和对数式的互化. 7、已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于 （A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 【答案】C【解析】∵130,n n a a ++=∴113n n a a +=-，∴数列{}n a 是以13-为公比的等比数列.∵24,3a =-∴14a = ∴10101014[1()]33(13)113S ---==-+，故选C.【考点定位】考查等比数列的通项与求和.8、已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=第 3 页 共 10 页【答案】C【解析】如图，21213||||,||222AF AB F F ===,由椭圆定义得， 13||22AF a =-○1在Rt △12AF F 中， 2222212123||||||()22AF AF F F =+=+○2由○1○2得，2a =∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=，故选C. 【考点定位】椭圆方程的求解9、若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题中图象可知0042T x x π+-=,∴2T π= ∴22ππω=∴4ω=，故选B【考点定位】三角函数的图象与解析式10、已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 【答案】D【解析】由题意知311|(42)|428x x y x ax a =-=-'=+=--=，则6a =-.故选D 【考点定位】导数的几何意义11、已知正四棱锥1111ABCD A BC D -中，12,AA AB =则CD 与平面1BDC 所成的角的正弦值等于（A ）23 （B）3 （C）3（D ）13【答案】A【解析】如图，在正四棱锥1111ABCD A BC D -中，连结AC 、BD 记交点为O ,连结1OC ,过C 作CH ⊥1OC 于点H,∵BD ⊥AC ，BD ⊥1AA ，∴BD ⊥平面11ACC A ∵CH ⊂平面11ACC A∴CH ⊥BD,∴CH ⊥平面1C BD ∴∠CDH 为CD 与平面1BDC 所成的角.1OC=. 由等面积法得，1OC ·CH=OC ·1CC ，∴222CH ⋅= ∴23CH =∴223sin 13CH CDH CD ∠===，故选A【考点定位】线面角的定义求法12、已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点，若0MA MB =，则k =(A)12 （B）2（C（D ）2 【答案】D【解析】设直线AB 方程为(2y k x =-），代入28y x =得2222(48)40k x k x k -++=设1122(,),(,)A x y B x y ，则212248k x x k++=，124x x =（*） ∵0MA MB ⋅=∴1122(2,2)(2,2)0x y x y +-⋅+-= 即1212(2,)(2)(2)(2)0x x y y +++--=即121212122()42()40x x x x y y y y ++++-++=○1 ∵1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩∴1212(4)y y k x x +=+-○22212121212(2)(2)[2()4]y y k x x k x x x x =--=-++○3 由（*）及○1○2○3得2k =，故选D 【考点定位】直线与抛物线相交问题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、设()f x 是以2为周期的函数，且当[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1f -= .第 5 页 共 10 页【答案】1-【解析】∵()f x 是以2为周期的函数，且[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1(12)(1)121f f f -=-+==-=- 【考点定位】函数的周期性，函数求值14、从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答） 【答案】60【解析】分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果,故共12365360C C C =有种可能的结果.【考点定位】组合问题15、若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 .【答案】0【解析】z x y =-+y x z ⇒=+，z 表示直线y x z =+在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小.画出题中约束条件表示的可行域（如图中阴影部分所示），当直线过点A(1，1)时，min 0z =【考点定位】线性规划求最值16、已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【答案】16π【解析】如图，设MN 为公共弦，长度为R,E 为MN 的中点， 连结OE,则OE ⊥MN,KE ⊥MN.∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角.∴∠OEK=60°. 又∵△OMN 为正三角形.∴OE=2R . ∵OK=32且OK ⊥EK ∴3sin 602OE ⋅︒=∴3222R ⋅=∴R=2.∴2416S R ππ==【考点定位】二面角与球的表面积三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a ==⎧⎨⎩，所以11164182(8)a d a d a d +=+=+⎧⎨⎩解得11a =，12d =，所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. （Ⅱ）2)1122(1n n a n n b n n n ==-++=所以2222222)()()122311(n n n S n n -+-++-=+=+ 【考点定位】等差数列通项公式和裂项求和方法18．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+= （Ⅰ）求;B （Ⅱ）若1sin sin ,4A C =求C. 【解析】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a cb ac +-=-由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此B=120°. （Ⅱ）由(Ⅰ)知A+C=120°，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+coscos sin sin 2sin sin AC A C A C =-+=cos()2sin sin A C A C ++=122+=第 7 页 共 10 页故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此C=15°或C=45°.【考点定位】考查余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题，考查学生的转化能力和计算能力19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【解析】(Ⅰ)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=0B=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD,从而PB ⊥OE.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD,因此;PB CD ⊥（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF,则OF ∥PB ，由(Ⅰ)知，;PB CD ⊥，故OF ⊥CD.又12OD BD ==OP == 故△POD 为为等腰三角形，因此OF ⊥PD.又PD ∩CD=D ，所以OF ⊥平面PCD. 因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD 的，AE ⊄平面PCD,所以AE ∥PCD. 因此，O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112OF PB ==. 所以A 到平面PCD 的距离为1.【考点定位】(1)解题的关键是辅助线的添加，取BC 的中点E 是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距离的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率； （II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【解析】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则12A A A =⋅,12()()P A P A A =⋅12()()P A P A ⋅14= （Ⅱ）记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”2B 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判” 则1312312B B B B B B B B =⋅+⋅⋅+⋅，所以1312312()()()()P B P B B P B B B P B B =⋅+⋅⋅+⋅1312312()()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B P B =⋅+⋅⋅+⋅ 11154848=++= 【考点定位】考查独立事件和互斥事件的概率问题以及离散型数学期望，考查分析问题和计算能力21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()f ;a x =的单调性； （II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【解析】(Ⅰ)当a =()32=3 1.f x x x -++ ()2=33f x x '-+.令()0f x '=，得121,1x x =.当(1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(1)-∞上是增函数；当1)x ∈时，()0f x '<，()f x 在1)上是减函数；当1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在1,)+∞上是增函数； （Ⅱ）由(2)0f ≥得54a ≥-. 当54a ≥-，(2,)x ∈+∞时， ()22251=3633(21)3(1)3()(2)22f x x ax x ax x x x x '-+=-+≥-+=--所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()f x (2)0f ≥≥.第 9 页 共 10 页综上，a 的取值范围是5[,)4-+∞【考点定位】考查利用导数求解函数的单调性与参数范围问题 22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列【解析】(Ⅰ)由题设知3c a =，即2229a b a+=，故228b a =. 所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知，=21a =. 所以1a =，b =（Ⅱ）由(Ⅰ)知，1(3,0)F -，2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=○1 由题意可设的l 方程为(3)y k x =-，||k <，代入○1并化简得，2222(8)6980k x k x k -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，11x ≤-，21x ≥则212268k x x k +=-，2122988k x x k +=-于是11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+由11||||AF BF =得123(1)31x x -+=+，即1223x x +=-故226283k k =--解得245k =从而12199x x =-由于21||13AF x ===-22||31BF x ===-故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--= 因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以22||,||,||AF AB BF 成等比数列.【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查设而不求的思想及就是能力。

2013年高考文科数学总复习3-10

2013年高考文科数学总复习3-10

2．设f(x)＝xlnx，若f ′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2
B．e
ln2 C. 2
D．ln2
解析：由已知有f ′(x)＝lnx＋x·1x＝lnx＋1，
所以f ′(x0)＝2⇒lnx0＋1＝2⇒x0＝e.故选B.
答案：B
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
3．下列求导过程中
①(
1 x
)′＝－
＝____________.(用数字作答)
解析：f(0)＝4，f(4)＝2，∴f[f(0)]＝2， lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1 ＝f
′(1)
＝－2.
答案：2 －2
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
考点1 利用导数的定义求函数的导数
(对应学生用书P47)
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
(2)f(x)在x＝x0处的导数 函数 y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝
lim
Δx→0
Δy ，称其为函数 Δx
y＝f(x)在x＝x0处的导
数，记作f ′(x0)或
，
即f
′(x0)＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－ Δx
为( )
A．y＝x－1
B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2
D．y＝－2x＋2
解析：∵点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，且y′＝3x2－2，∴过点(1,0)
的切线斜率k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，由点斜式得切线方程为y－0＝1·(x －1)，即y＝x－1.
答案：A
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）

13年高考真题—文科数学3：三角函数

13年高考真题—文科数学3：三角函数

2013高考真题分类汇编：三角函数1．【2013大纲版文2】已知α是第二象限角，5sin 13α=，则 cos α=（ ） （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 2．【2013新课标Ⅰ卷文9】函数()()1cos sin f x x x =-在[],ππ-的图像大致为( )3．【2013四川文6】函数()()()2sin 0,22f x x ωϕωπϕπ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是 ( )（A ）2,3π- （B ）2,6π- （C ）4,6π- （D ）4,3π 4．【2013湖南文5】在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b 。

若2sin a B =，则角A 等于( )（A ）π （B ）4π （C ）6π （D ）12π5．【2013福建文】将函数()()()sin 222f x x θπθπ=+-<<的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点()P ，则ϕ的值可以是（ ） （A ）53π （B ）56π （C ）2π （D ）6π6．【2013陕西文9】设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不确定7．【2013辽宁文6】已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin cos sin cos 2a B C c B A b +=，且a b >，则B ∠=（ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）56π8．【2013新课标文4】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A ）2 （B 1 （C ）2 （D 19．【2013江西文3】若sin 23α=，则cos α= ( ) （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2310．【2013山东文7】在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2B A =，1a =，b =，则c = ( ) （A ） （B ）2 （C （D ）111．【2013新课标文6】已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) （A ）16 （B ）13 （C ）12 （D ）2312．【2013广东文4】已知51sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么cos α=( ) （A ）25- （B ）1- （C ）15 （D ）2513．【2013湖北文6】将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )（A ）12π （B ）6π （C ）3π （D ）56π14．【2013大纲版文9】函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图像如图，则ω=( )（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）215．【2013天津文6】函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的最小值是( ) （A ）1- （B ） （C （D ）016．【2013安徽文】设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C =( ) （A ）3π（B ）23π （C ）34π （D ）56π 17．【2013新课标文10】已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =( )（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）518．【2013浙江文6】函数()sin cos 22f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是( ) （A ）,1π （B ）,2π （C ）2,1π （D ）2,2π19．【2013北京文5】在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sinB =( )（A ）15 （B ）59（C ）3 （D ）1 20．【2013山东文9】函数x x x y sin cos +=的图象大致为( )21．【2013四川文14】设sin 2sin αα=-，()2,αππ∈，则tan 2α的值是________。

2013年高考数学总复习资料

2013年高考数学总复习资料

2013年高考数学总复习资料2013数学总复习资料高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.重点题型分析:例1．解关于x 的不等式:)()(232R a x a a a x ∈+<+解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0 （下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a).（2）当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2)（3）当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x 2<0或(x-1)2<0不等式的解为 x ∈∅.综上，当 0<a<1时，x ∈(a 2, a)当a<0或a>1时，x ∈(a,a 2) 当a=0或a=1时，x ∈∅.评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.例2．解关于x 的不等式 ax 2+2ax+1>0(a ∈R) 解:此题应按a 是否为0来分类.（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a ≠0时分为a>0 与a<0两类①10)1(00440002>⇒⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->⇒⎩⎨⎧>>a a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根aa a aaaa a a a a x )1(12442222,1-±-=-±-=-±-=.则原不等式的解为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a aa a . ②101000440002<<⇒⎩⎨⎧<<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<->⇒⎩⎨⎧<>a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-∞，+∞）.③ 11000440002=⇒⎩⎨⎧==>⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->⇒⎩⎨⎧=>a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-∞,-1)∪(-1,+∞).④01000440002<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2+2ax+1=0有两根，aa a aa a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -.当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上:a=0时，x ∈(-∞,-1).a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a .-2<a<0时，x ∈]1,2[-a . a<-2时，x ∈]2,1[a -.a=-2时，x ∈{x|x=-1}.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为:10:能不分则不分； 20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4．已知函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，求实数a 的取值.解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a a x 令sinx=t, t ∈[-1,1].则6243)2()(22++---=a a a t t f (t ∈[-1,1]). (1)当12>a即a>2时，t=1，2533max=++-=a a y解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）. (2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,262432max=++-=a a y,解方程为:34-=a 或a=4（舍）. (3)当12-<a即a<-2时， t=-1时，y max =-a 2+a+5=2即 a 2-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴ 2131±-=a 全都舍去.综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2.例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n是其前n 项和，证明:15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .证明:（1）当q=1时，S n =na 1从而 0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n（2）当q ≠1时，qq a S nn--=1)1(1， 从而.0)1()1()1)(1(2122121221212<-=-----=-⋅++++nn n n n n n q a q q a q q a S S S由（1）（2）得:212++<⋅n n nS S S .∵ 函数xy 5.0log =为单调递减函数.∴ 15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S SS . 例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=ab ， ∴ b=2.∴555222==+==a aa b a c e .（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a，此时25=e .综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或.评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x 的不等式 1512)1(<+--x x a . 解:原不等式 012)1(55<⇔+--x x a 0)]2()1)[(2(022)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a⎪⎩⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a ax x a a a x x a x a 或或由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞). 由(2)a<1时，012>--a a，下面分为三种情况.①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a aa a 即a<1时，解为)12,2(aa--.②0012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a aa a 时，解为∅.③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121a aa ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(aa --.由（3）a>1时，aa --12的符号不确定，也分为3种情况.①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->012121a a a aa ⇒ a 不存在. ② ⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a a a a 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ aa .综上:a=1时，x ∈(2,+∞).a<1时，x ∈)12,2(a a-- a=0时，x ∈∅.0<a<1时，x ∈)2,12(aa-- a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ aa . 评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记. 课后练习:1．解不等式2)385(log 2>+-x x x2．解不等式1|)3(log ||log |3121≤-+x x3．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M. （1）当a=4时，求集合M:（2）若3∈M ，求实数a 的取值范围.4．在x0y 平面上给定曲线y 2=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1. ），（），（∞+235321 2.]4943[， 3. (1) M 为），（），（2452 ∞- (2)),9()35,(+∞-∞∈ a 4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1||112)(a a a a a f d .2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。

2013年高考真题——文科数学(陕西卷)解析版 Word版含答案

2013年高考真题——文科数学(陕西卷)解析版 Word版含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)1. 第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R , 函数()f x =M , 则C M R 为(A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (,1]-∞ (D) [1,)+∞【答案】B【解析】),1(],1,(.1,0-1∞=-∞=≤∴≥MR C M x x 即 ,所以选B 2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A) (B)(C) (D) 02. 【答案】C【解析】.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b a m b m a 且 ,所以选C 3. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b =(C) ()log ?l g o lo g a a a b c bc =(D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+3. 【答案】B【解析】a, b,c ≠1. 考察对数2个公式: abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。

2013年天津高考文科数学试题及答案(Word版)

2013年天津高考文科数学试题及答案(Word版)

⎨ ⎩2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.第Ⅰ卷参考公式:如果事件 A , B 互斥, 那么P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P (B )·棱柱的体积公式 V = Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件 A , B 相互独立, 那么P ( AB ) = P ( A )P (B )·球的体积公式V = 4 π R 3.3其中 R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合 A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则 A ⋂ B =(A)(-∞, 2](B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]⎧3x + y - 6 ≥ 0, (2)设变量 x , y 满足约束条件⎪x - y - 2 ≤ 0, ⎪ y - 3 ≤ 0, 则目标函数 z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6⎦(C) 5(D) 4(4) 设a , b ∈ R , 则 “ (a - b )a 2 < 0 ”是“ a < b ”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 已知过点 P (2,2) 的直线与圆(x - 1)2 + y 2 = 5 相切, 且与直线ax - y + 1 = 0 垂直, 则a =(A)- 1 2(B) 1 (C) 2(D) 12(6) 函数 f (x ) = sin ⎛ 2x - π ⎫ 在区间⎡0, π ⎤上的最小值是4 ⎪ ⎢ 2 ⎥ ⎝ ⎭ (A) -1⎣ ⎦(B) - 2 2(C)22(D) 0(7) 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞) 上单调递增. 若实数 a 满足f (log 2 a ) + f (log 1 a ) ≤ 2 f (1) , 则 a 的取值范围是2(A)[1, 2](B) ⎛ 0, 1 ⎤ 2 ⎥(C) ⎡1 ⎤⎝ ⎦(D)(0, 2]⎢⎣ 2 ,2⎥ (8) 设函数 f (x ) = e x + x - 2, g (x ) = ln x + x 2 - 3 . 若实数 a , b 满足 f (a ) = 0, g (b ) = 0 , 则(A)g (a ) < 0 < f (b )(B) f (b ) < 0 < g (a ) (C) 0 < g (a ) < f (b )(D)f (b ) <g (a ) < 02013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共 12 小题, 共 110 分.二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9) i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 9π , 则正方体的棱长2为 .2x 2 y 2(11) 已知抛物线 y= 8x 的准线过双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一个焦点,且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为.(12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ∠BAD = 60︒ , E 为 CD 的中点. 若 AC ·BE = 1 , 则 AB 的长为 .(13) 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB //DC , 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E . 若 AB = AD = 5, BE = 4, 则弦 BD 的长为 .(14) 设 a + b = 2, b >0, 则 12 | a | + | a | 的最小值为 .b三．解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分)某产品的三个质量指标分别为 x , y , z , 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S ≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表⎪ 如下:产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5质量指标(x , y , z ) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号A 6A 7A 8A 9A 10质量指标(x , y , z ) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(I)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(II) 在该样品的一等品中, 随机抽取 2 件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率.(16) (本小题满分 13 分)在△ABC 中, 内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c . 已知b sin A = 3c sin B , a = 3,(I) 求 b 的值;cos B =2.3(II) 求 ⎛ sin 2B - π ⎫ 的值.3 ⎝⎭(17) (本小题满分 13 分)如图, 三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中, 侧棱 A 1A ⊥底面 ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱 AB , BC , A 1C 1 的中点. (I)证明 EF //平面 A 1CD ;(II) 证明平面 A 1CD ⊥平面 A 1ABB 1;(III) 求直线 BC 与平面 A 1CD 所成角的正弦值.(18) (本小题满分 13 分)设椭圆 x2+ y 2 = > > 的左焦点为 F , 离心率为 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截a 2b 21(a b 0)3得的线段长为 4 3 .3(I)求椭圆的方程;(II) 设 A , B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C , D 两点. 若AC ·DB + AD ·CB = 8 , 求 k 的值.(19) (本小题满分 14 分)已知首项为 3 的等比数列{a } 的前 n 项和为S (n ∈ N *) , 且-2S , S , 4S成等差数列.2nn234(I) 求数列{a n} 的通项公式;(II) 证明S n + S n≤ 13 (n ∈ N *) .6(20) (本小题满分 14 分)⎧ 设a ∈[-2, 0], 已知函数 f (x ) = ⎪ x 3 - (a + 5)x ,x ≤ 0,⎨x 3- a + 3 x 2 + ax , x > 0.⎪⎩2(I)证明 f (x ) 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (II) 设曲线 y = f (x ) 在点P (x , f (x ))(i = 1, 2, 3) 处的切线相互平行, 且x x x ≠ 0,证明x + x+ x >1 . iii1 2 3123312013 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。

【纯Word版解析】2013年普通高等学校招生统一考试——文科数学(大纲卷)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅ 【答案】B【解析】由补集定义易得{}3,4,5U C A =,故选B. 【考点定位】补集的概念 2、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则 （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213【答案】A【解析】因为α是第二象限角，∴12cos 13α===-，故选A. 【考点定位】考查同角三角函数基本关系式3、已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1 【答案】B【解析】∵()(),+⊥-m n m n ∴()()0+⋅-=m n m n ∴220-=m n即()()2211[24]0λλ++-++=∴3λ=-，故选B. 【考点定位】考查向量垂直，数量积坐标运算.4、不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2【答案】D【解析】22|2|2222x x -<⇒-<-<2040||2x x ⇒<<⇒<<2002x x ⇒-<<<<或，故选D.（也可用排除法）【考点定位】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法5、()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224 【答案】C【解析】26262+18=2112T C x x ⋅=，故选C【考点定位】二项式定理的通项公式 6、函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A【解析】由()2111log 11221yy y f x x x x ⎛⎫==+⇒+=⇒= ⎪-⎝⎭， ∵0x >∴0y >∴()11(0)21xfx x -=>-，故选A. 【考点定位】考查求反函数，指数式和对数式的互化.7、已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 【答案】C【解析】∵130,n n a a ++=∴113n n a a +=-，∴数列{}n a 是以13-为公比的等比数列.∵24,3a =-∴14a = ∴10101014[1()]33(13)113S ---==-+，故选C.【考点定位】考查等比数列的通项与求和.8、已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=【答案】C【解析】如图，21213||||,||222AF AB F F ===,由椭圆定义得，13||22AF a =-○1在Rt △12AF F 中， 2222212123||||||()22AF AF F F =+=+○2由○1○2得，2a =∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=，故选C. 【考点定位】椭圆方程的求解9、若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题中图象可知0042T x x π+-=,∴2T π= ∴22ππω=∴4ω=，故选B【考点定位】三角函数的图象与解析式10、已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 【答案】D【解析】由题意知311|(42)|428x x y x ax a =-=-'=+=--=，则6a =-.故选D 【考点定位】导数的几何意义11、已知正四棱锥1111ABCD A BC D -中，12,AA AB =则CD 与平面1BDC 所成的角的正弦值等于（A ）23 （B ）3 （C ）3（D ）13【答案】A【解析】如图，在正四棱锥1111ABCD A BC D -中，连结AC 、BD 记交点为O ,连结1OC ,过C 作CH ⊥1OC 于点H,∵BD ⊥AC ，BD ⊥1AA ，∴BD ⊥平面11ACC A ∵CH ⊂平面11ACC A∴CH ⊥BD,∴CH ⊥平面1C BD ∴∠CDH 为CD 与平面1BDC 所成的角.1OC=. 由等面积法得，1OC ·CH=OC ·1CC ，∴222CH ⋅= ∴23CH =∴223sin 13CH CDH CD ∠===，故选A【考点定位】线面角的定义求法12、已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点，若0MA MB =，则k =(A)12 （B（C（D ）2 【答案】D【解析】设直线AB 方程为(2y k x =-），代入28y x =得2222(48)40k x k x k -++=设1122(,),(,)A x y B x y ，则212248k x x k++=，124x x =（*） ∵0MA MB ⋅=∴1122(2,2)(2,2)0x y x y +-⋅+-= 即1212(2,)(2)(2)(2)0x x y y +++--=即121212122()42()40x x x x y y y y ++++-++=○1 ∵1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩∴1212(4)y y k x x +=+-○22212121212(2)(2)[2()4]y y k x x k x x x x =--=-++○3 由（*）及○1○2○3得2k =，故选D 【考点定位】直线与抛物线相交问题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、设()f x 是以2为周期的函数，且当[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1f -= .【答案】1-【解析】∵()f x 是以2为周期的函数，且[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1(12)(1)121f f f -=-+==-=- 【考点定位】函数的周期性，函数求值14、从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答） 【答案】60【解析】分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果,故共12365360C C C =有种可能的结果.【考点定位】组合问题15、若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 .【答案】0【解析】z x y =-+y x z ⇒=+，z 表示直线y x z =+在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小.画出题中约束条件表示的可行域（如图中阴影部分所示），当直线过点A(1，1)时，min 0z =【考点定位】线性规划求最值16、已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【答案】16π【解析】如图，设MN 为公共弦，长度为R,E 为MN 的中点， 连结OE,则OE ⊥MN,KE ⊥MN.∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角.∴∠OEK=60°. 又∵△OMN 为正三角形.∴OE=2R . ∵OK=32且OK ⊥EK ∴3sin 602OE ⋅︒=∴3222R ⋅=∴R=2.∴2416S R ππ==【考点定位】二面角与球的表面积三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a ==⎧⎨⎩，所以11164182(8)a d a d a d +=+=+⎧⎨⎩解得11a =，12d =，所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. （Ⅱ）2)1122(1n n a n n b n n n ==-++=所以2222222)()()122311(n n n S n n -+-++-=+=+ 【考点定位】等差数列通项公式和裂项求和方法18．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+= （Ⅰ）求;B （Ⅱ）若1sin sin ,4A C =求C. 【解析】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a cb ac +-=-由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此B=120°. （Ⅱ）由(Ⅰ)知A+C=120°，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+coscos sin sin 2sin sin AC A C A C =-+=cos()2sin sin A C A C ++=122+=故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此C=15°或C=45°.【考点定位】考查余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题，考查学生的转化能力和计算能力19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【解析】(Ⅰ)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=0B=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD,从而PB ⊥OE.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD,因此;PB CD ⊥（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF,则OF ∥PB ，由(Ⅰ)知，;PB CD ⊥，故OF ⊥CD.又12OD BD ==OP == 故△POD 为为等腰三角形，因此OF ⊥PD.又PD ∩CD=D ，所以OF ⊥平面PCD. 因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD 的，AE ⊄平面PCD,所以AE ∥PCD. 因此，O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112OF PB ==. 所以A 到平面PCD 的距离为1.【考点定位】(1)解题的关键是辅助线的添加，取BC 的中点E 是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距离的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率； （II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【解析】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则12A A A =⋅,12()()P A P A A =⋅12()()P A P A ⋅14= （Ⅱ）记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”2B 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判” 则1312312B B B B B B B B =⋅+⋅⋅+⋅，所以1312312()()()()P B P B B P B B B P B B =⋅+⋅⋅+⋅1312312()()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B P B =⋅+⋅⋅+⋅ 11154848=++= 【考点定位】考查独立事件和互斥事件的概率问题以及离散型数学期望，考查分析问题和计算能力21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()f ;a x =的单调性； （II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【解析】(Ⅰ)当a =()32=3 1.f x x x -++ ()2=33f x x '-+.令()0f x '=，得121,1x x =.当(1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(1)-∞上是增函数；当1)x ∈时，()0f x '<，()f x 在1)上是减函数；当1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在1,)+∞上是增函数； （Ⅱ）由(2)0f ≥得54a ≥-. 当54a ≥-，(2,)x ∈+∞时， ()22251=3633(21)3(1)3()(2)22f x x ax x ax x x x x '-+=-+≥-+=--所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()f x (2)0f ≥≥.综上，a 的取值范围是5[,)4-+∞【考点定位】考查利用导数求解函数的单调性与参数范围问题 22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列【解析】(Ⅰ)由题设知3c a =，即2229a b a+=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知，=21a =. 所以1a =，b =（Ⅱ）由(Ⅰ)知，1(3,0)F -，2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=○1由题意可设的l 方程为(3)y k x =-，||k <，代入○1并化简得，2222(8)6980k x k x k -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，11x ≤-，21x ≥则212268k x x k +=-，2122988k x x k +=-于是11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+由11||||AF BF =得123(1)31x x -+=+，即1223x x +=-故226283k k =--解得245k =从而12199x x =-由于21||13AF x ===-22||31BF x ===-故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--= 因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以22||,||,||AF AB BF 成等比数列.【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查设而不求的思想及就是能力。

2013年高考数学(文科)最后冲刺基础公式记忆：六、立体几何

2013年高考数学(文科)最后冲刺基础公式记忆：六、立体几何

六、立体几何
39、证明直线与直线平行的方法
（1)三角形中位线 （2）平行四边形(一组对边平行且相等）
40、证明直线与平面平行的方法
（1）直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）
（2)先证面面平行
41、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交．．．．
直线分别与另一平面平行） ]［来源： ]
42、证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
43、证明直线与平面垂直的方法
（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交．．．．
直线垂直)
(2)平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）
44、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）［来源： ]
45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=rl π2，表面积=222r rl ππ+
圆椎侧面积=rl π，表面积=2r rl ππ+
13
V Sh =柱体
（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 13
V Sh =锥体(S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）。

球的半径是R ,则其体积343V R π=，其表面积24S R π=． 46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义
及计算[来源:］
47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直.
正棱锥的性质：侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.。

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新课标高考总复习（文）
(1)函数
y＝f(x)的图象如下图所示，
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新课标高考总复习（文）
(2)如图，由f(a)＝f(b)， 得|lga|＝|lgb|. 设0<a<b，则lga＋lgb＝0. ∴ab＝1.∴a＋b>2 ab＝2.
答案：(1)C (2)C
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考点3
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1.理解对数的概念及其运算 性质，会用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对 数；了解对数在简化运算中的 作用． 2．理解对数函数的概念，理解 对数函数的单调性，掌握对数 函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的 函数模型． 4．了解指数函数y＝ax与对数函 数y＝logax互为反函数(a>0，且 a≠1).
1 解析：y＝ln 为偶函数， |x| 1 x>0时，y＝lg ＝－lnx在(0，＋∞)上为减函数，故A正确． x
答案：A
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4．(2010年浙江高考)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝ ( ) A．0 答案：B 5．(2011年山东高考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( A．(0，＋∞) C．(1，＋∞) 答案：A B．[0，＋∞) D．[1，＋∞) ) B．1 C．2 D．3
1 1 ∴ ＋ ＝logm2＋logm 5＝logm 10， a b 1 1 ∵ ＋ ＝2，∴logm 10＝2， a b ∴m2＝10，∴m＝ 10，故选A. (2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25＝2lg2＋lg25＝lg4＋lg25＝2.
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的图象的大致形状是
例2 (1)(2011年潍坊市质检)函数 ( )
0<x≤10 |lgx| (2)已知函数f(x)＝ 1 －2x＋6 x>10 f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( A．(1,10) B．(5,6) )
，若a、b、c互不相等，且
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4.反函数
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指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直 线__y＝x__对称．
问题探究2：集合M＝{x|y＝lg 有何关系？
提示：N M
x－1 }，N＝{x|y＝lg(x－1)－lg(x＋1)} x＋1
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考点4
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对数函数性质的综合应用
1－x 例5 已知函数f(x)＝－x＋log2 . 1＋x 1 1 (1)求f( )＋f(－ )的值； 2012 2012 (2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最 小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．
自主检测
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答案：A
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答案：A
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3．(2011年上海高考)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0， ＋∞)上单调递减的函数是( 1 A．y＝ln |x| C．y＝2|x| ) B．y＝x 3 D．y＝cosx
研究复合函数y＝logaf(x)的单调性(最值)时，应先研究其定义域， 分析复合的特点，结合函数u＝f(x)及y＝logau的单调性(最值)情况确定函 数y＝logaf(x)的单调性(最值)(其中a>0，且a≠1)．
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已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，如果对于任意x∈[3，＋∞)都有|f (x)|≥1成立，试求a的取值范围． 解：当a>1时，对于任意x∈[3，＋∞)，都有f(x)>0. 所以|f(x)|＝f(x)，而f(x)＝logax在[3，＋∞)上为增函数， ∴对于任意x∈[3，＋∞)，都有f(x)≥loga3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3，＋∞)都成立． 只要loga3≥1＝logaa即可，∴1<a≤3.
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有关指数式、对数式的化简求值问题，首先要熟练掌握指数式与 对数式之间的互化．要特别注意的是对数的运算性质以及有关公式都是 在式子中的所有对数符号有意义的前提下才成立．
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求下列各式的值：
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解：(1)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg5－lg2＋2lg2＝lg5＋lg2＝1.
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(2)设a<b<c，因为a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的 图象可知10<c<12，且|lga|＝|lgb|，因为a≠b，所以lga＝－lgb，可得ab＝ 1，所以abc＝c∈(10,12)，故选C.
【答案】
(1)D
(2)C
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【解】 (1)∵f(1)＝1，
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∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1， 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减， 又y＝log4x在(0，＋∞)上递增， 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．
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)
1 1 例1 (1)(2010年辽宁高考)设2a＝5b＝m，且 ＋ ＝2，则m等于( a b A. 10 B．10 C．20 D．100 (2)计算：(lg2) 2＋lg2· lg50＋lg25；
【解析】
(1)由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
自然对数
特点 底数为a(a>0且 a≠1) 底数为10
底数为e
记法 logaN lgN
lnN
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2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质
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①aloga N＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)． (2)对数的重要公式 loga N ①换底公式：logb N＝ (a，b均大于零且不等于1)； loga b 1 ②logab＝ ，推广logab· bc· cd＝logad. log log logba
)
解析：a＝log54<1，log53<log54<1，b＝(log53)2<log53，c＝log45>1，
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例4 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若 不存在，说明理由． 【分析】 由f(1)＝1求出a的值，然后根据复合函数的单调性求单 调区间；根据对数函数的性质和二次函数的最值求a的值．
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6．(2011年江苏高考)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是______ __．
解析：令t＝2x＋1，y＝log5t， ∵函数t＝2x＋1与y＝log5t都是增函数， ∴y＝log5(2x＋1)在定义域上为增函数． 1 ∵2x＋1>0，∴x>－ ， 2 1 ∴原函数的单调增区间为(－ ，＋∞)． 2 1 答案：(－ ，＋∞) 2
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考纲要求
新课标高考总复习（文）
考情分析 通过对近两年高考试题的 统计分析可以看出，本节内容 在高考中属于必考内容，且占 有重要的分量，命题形式主要 以选择题和填空题的形式出现 ．主要考查对数运算和对数函 数的图象和性质，如2011年上 海、江苏卷．对数函数的复合 函数是考查的难点，而对定义 域、值域及求值的考查是高考 的热点，如2011年的江西、辽 宁、山东卷等.
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(对应学生用书P34) 知识梳理 1．对数的概念
(1)对数的定义
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log
aN，其中__a__叫做对数的底数，
N 叫做真数．
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(2)几种常见对数
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对数形式 一般对数 常用对数
当0<a<1时，对于x∈[3，＋∞)．
有f(x)<0，∴|f(x)|＝－f(x)．
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∵f(x)＝log4x在[3，＋∞)上为减函数， ∴－f(x)在[3，＋∞)上为增函数． ∴对于任意x∈[3，＋∞)都有 |f(x)|＝－f(x)≥－loga3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3，＋∞)都成立， 1 只要－loga3≥1成立即可，∴loga 3≤－1＝loga ， a 1 1 即 ≤3，∴ ≤a<1. 3 a 综上，使|f(x)|≥1对任意x∈[3，＋∞)都成立的a的取值范围是 1 (1,3]∪[ ，1). 3
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(对应学生用书P34)
考点1
对数的运算
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分
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