假设检验的基本原理与一般步骤

分析(f用ēnμxī和 ): σ分别表示这一天袋装糖重 总体X 的均值和标准差，
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由长期实践可知(kě zhī), 标准差较设稳定,0.015,
则 X ~ N ( , 0.0152 ), 其中 未知.
问题: 根据(gēnjù)样本值 0.5 还是 0.5 .
判提断出两个对立(duìlì)H
三、假设检验的一般(yībān)步骤
1. 根据实际问题的要求 , 提出原假设 H0 及备择
假设 H1 ;
2.
选择适当的检验统计量
,
在H
成立的条件下
0
,
确定它的概率分布 ;
3. 给定显著性水平 , 确定拒绝域W1 ;
4. 根据样本观察值计算统计量的值;
5. 根据统计量值是否落入 拒绝域W1中, 作出拒绝 或者接受H 0的判断.
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§2 正态总体(zǒngtǐ)均值的 假设检验
一、单个正态总体(zǒngtǐ)均值 的二检、验两个正态总体(zǒngtǐ)均值差的 检验
三、基于成对数据的检验(t 检验)
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一、单个正态总体(zǒngtǐ)均值的检验
在上节中讨论过正态总 体N(μ,σ2 ) 当σ2为已知时, 关于μμ0的检验问题 :
(1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作 出了拒绝H0的判断, 称做第Ⅰ类错误, 又叫‘弃
真’. 犯第一类错误的概率(gàilǜ)是显著性水. 平
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(2) 当原假设(jiǎshè)H0不真, 而观察值却落入 接受域, 而作出了接受H0的判断, 称做第Ⅱ类错 误, 又叫‘取伪’.
竟然发生了，我们就有 理由怀疑假设的正确性 ，因
而拒绝假设 H 0
在假设检验中，数 称为显著性水平.
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二、假设检验的相关(xiāngguān)概念
1. 原假设(jiǎshè)与备择假设
(jiǎshè) 上例假设检验问题(wèntí)通常叙述在显著性水平 下,
为:
检验假设 H0 : 0 , H1 : 0 .
因为 X 是 的无偏估计量,
所以若 H0 为真, 则 | x 0 | 不应太大,
当H0为真时,
X 0 ~ N (0,1), / n
衡量
|
x
0
| 的大小可归结为衡量
|
x
/
0
n
| 的大小,
于是可以选定(xuǎn dìnɡ)一个适当的正数k,
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当观察值
x 满足 x 0 / n
k时,
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例2 如果在例1中只假定切割(qiēgē)的长度服从 正态分布, 问该机切割(qiēgē)的金属棒的平均长
(度有 无0.0显5)著变化?
解 依题意 X ~ N ( , 2 ), , 2均为未知,
要检验假设 H0 : 10.5, H1 : 10.5, n 15, x 10.48, 0.05, s 0.237,
设 X1, X2 ,, Xn 为来自总体 X 的样本,
因为 2 未知, 不能利用 X 0 来确定拒绝域. / n
因为 S 2 是 2 的无偏估计, 故用 S 来取代 ,
即采用 T X 0 来作为检验统计量 .
S/ n
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根据第六章正态总体(zǒngtǐ)抽样分布
定理知,
选择统计量 Z X 0 ， / n
当H
成立时，
0
Z
~
N (0,1)
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对于给定(ɡěi 验水平
dìnɡ)的检0
1
由标准(biāozhǔn)正态分布分位数定义知，
P Z z / 2
因此(yīncǐ)，检验的拒绝W域1 为 { z z }，或者记为 2 W1 {x1 , x2 ,, xn : z z } 2
假设检验就是根据(gēnjù)样本对所提出的假设 作出判断: 是接受, 还是拒绝. 下面(xiàmian)结合实例来说明假设检验的基本思 想.
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引例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋 装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正 常(zhèngcháng)时, 其均值为0.5公斤, 标准差为0.015 公斤.某日开工后为检验包装机是否正常 (zhèngcháng), 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得 净重为(公斤): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常(zhèngcháng)?
拒绝假设H0 ,
反之, 当观察值
x 满足 x 0 / n
k时,
接受假设H0 .
然而由于作出决策的依据是一个样本，当实际
上 H0 为真时仍可能做出拒绝 H0 的决策，这是一
种错误，其概率记为
P{当 H0为真时拒绝 H0}
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我们给定一个较小的数α（0< α< 1），使得 P{当 H0 为真时拒绝 H0 }≤α
H
称为原假设或零假设
0
,
H1
称为备择假设
.
上述假设检验成为双边 假设检验.
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右边(yòu bian)检验和左边检验统称为单 边检验。
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2. 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域 W1 中的值时,我们 拒绝原假设H0,则称区域 W1 为拒绝域, 拒绝域 的边界点称为临界点.
A : 24 27 26 21 24 B : 27 28 23 31 26 据经验知,两种烟草的尼古丁含量 均服从正态分布 , 且
相互独立, A种的方差为5, B种的方差为8, 取 0.05,
问两种烟草的尼古丁含 量是否有显著差异 ?
解 以X和Y分别表示A, B两种烟草的尼古丁含量 ,
则X
~
N
(
1
如在前面(qián mian)实例中, 检验统计Z 量X为 0
/ n
拒绝域为 | z | z / 2 ,
临界点为 z / 2及z / 2 .
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3. 两类错误(cuòwù)及记号
假设检验是根据样本的信息并依据(yījù)小概率原理， 作出接受还是拒绝H0的判断。由于样本具有随机性， 因而假设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误 有两类:
其中z为统计量Z的观测值。这种利用 Z 统计量
来检验的方法称为Z检验法。
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例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均 长度(chángdù)为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一 批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:
10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7
由于X
~
N
(
1
,
2 1
n1
),Y
~
N
(
2
,
2 2
n2
),
且X
,
Y
独立,
故
X Y
~
N
(1
2
,
2 1
n1
2 2
)
n2
取检验的统计量为
Z (X Y )/
2 1
2 2
n1 n2
当H
成立时
0
,
统计量
Z
~
N (0,1)
取显著性水平为 .
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由标准(biāozhǔn)正态分布分位数的定
义知
假设检验的基本原理与一 般(yībān)步骤
2021/11/6
第一页，共59页。
§1 假设检验
一、假设检验的基本原理
二、假设检验的相关 (三xi、ān假gg设uā检n验)概的念一般(yībān)步
骤
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一、假设检验的基本原理
在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知 其参数的情况下, 为了(wèi le)推断总体的某些性质, 提出某些关于总体的假设.
假设
0
:
0
0.5
和 H1 :
0
.
再利用已知样本作出判断是接受假设H0(拒绝假设
H1), 还是拒绝假设H0(接受假设H1).
如果作出的判断是接受H0, 则 0 ,
即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不正常的.
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由于要检验的假设涉及总体(zǒngtǐ)均值, 故可借 助于样本均值来判断.
P{| ( X Y ) /
2 1
n1
2 2
n2
|
z / 2 }
故拒绝域为
W1 {| ( x y) /
2 1
n1
2 2
n2
|
z / 2 }
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例3 卷烟厂向化验室送去 A, B两种烟草, 化验尼古丁的 含量是否相同, 从A, B中各随机抽取重量相同 的5例进 行化验, 测得尼古丁的含量 (单位 : mg )分别为
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
,
且X
,
Y独立.
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欲检验假设
H0 : 1 2 , H1 : 1 2
现已知
2 1
5,
2 2
8, n1
n2
5.由所给数据求得
x 24.4, y 27
z (x y)/
2 1
2 2
24.4 27
1.612
n1 n2
58
55
对 0.05, 查正态分布表得 z / 2 1.96,由于
| z | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
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2. 未知方差时两正态总体(zǒngtǐ)均值的检验 利用 t 检验法检验具有相同(xiānɡ tónɡ)方差的两正态 总体均值差的假设.
设 X1 , X 2 ,, X n1 为来自正态总体 N (1 , 2 )的样 本, Y1 ,Y2 ,,Yn2 为来自正态总体 N (2 , 2 )的样
/ n
于是拒绝假设H0, 认为包装机工作(gōngzuò)不 正常.
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上例中所采取的检验法则(fǎzé)是符合实际推断
原因理通的常. 总是取得很小 , 一般取 0.01, 0.05,
因而当
H
为真
0
,
即
0时,
X 0 / n
z / 2 是一
个小概率事件 , 几乎不会发生，现在在 一次试验中
当样本容量 n 一定时, 若减少犯第Ⅰ类错误的概率, 则犯第Ⅱ类错误的概率往往增大.若要使犯两类错 误的概率都减小, 除非(chúfēi)增加样本容量.
一般来说，我们总是控制犯第Ⅰ类错误(cuòwù)的 概率，使它不大于显著性水平，而不考虑犯第Ⅱ类 错误(cuòwù)的概率的检验，称为显著性检验.
第十五页，共59页。
/ n 0.15 / 15
查表得 z0.05 1.645,
于是
|
x
/
0
n
|
0.516
z0.05
1.645
故接受 H0 , 认为该机工作正常。
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2. 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
设总体 X ~ N ( , 2 ), 其中 , 2 未知, 显著性水平为 .
检验假设H0 : 0 , H1 : 0 .
假定(jiǎdìng)切割的长度X服从正态分布, 且标准
差没有变化, 试问该机工作是否正(常? 0.1)
解 因为 X ~ N ( , 2 ), 0.15, 要检验假设 H0 : 10.5, H1 : 10.5,
第二十页，共59页。
n 15, x 10.48, 0.05, 则 x 0 10.48 10.5 0.516,
取允许犯这类错误的概率最大为 α 即令
P
{当为真
时拒绝
}=
P
标准(biāozhǔn)正态分布分位点的定义 得
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假设检验过程(guòchéng)如下:
在实例中若取定 0.05, 则 k z / 2 z0.025 1.96, 又已知 n 9, 0.015, 由样本算得 x 0.511, 即有 x 0 2.2 1.96,
t x 0 10.48 10.5 0.327,
s / n 0.237 / 15
查表得 t / 2(n 1) t0.025(14) 2.1448 t 0.327, 故接受 H0 , 认为金属棒的平均长度 无显著变化.
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二、两个正态总体(zǒngtǐ)均值差的
检验
当H
为真时
0
,
X 0
S/ n
~ t(n 1),
由t分布(fēnbù)分位数的定义 知
P
X
0
S/ n
t / 2 (n 1)
第二十三页，共59页。
拒绝域为W1 { t
x 0
s/ n
t / 2 (n 1)}
上述利用 t 统计量得出(dé chū)的检验法称为t 检验法.
在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以我们 常用 t 检验法来检验关于(guānyú)正态总体均值 的检验问题.
1. 已知方差(fānɡ chà)时两正态总体均值
的检验 设 X1, X2
,,
X n1
为来自正态总体
N
(
1
,
2 1
)的样本,
Y1 ,Y2
,,Yn1
为来自正态总体
N
(2
,
2 2
)
的样本 ,
两样本独立
又设
1
,
均为未知
2
,
2 1
,
2
2已知,
需要检验 (上j述iǎ假ny设àn可)假等设价:的变为
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