高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大小值与导数学案含解析人教A版选修1_1

3.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点一函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
答案不一定，也可能是区间端点的函数值．
梳理函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
知识点二求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
知识点三最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．
如图是y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的函数图象，显然f (x 1)，f (x 3)，f (x 5)为极大值，f (x 2)，f (x 4)，
f (x 6)为极小值．最大值y ＝M ＝f (x 3)＝f (b )分别在x ＝x 3及x ＝b 处取得，最小值y ＝m ＝f (x 4)
在x ＝x 4处取得．
1．函数的最大值一定是函数的极大值．( × ) 2．开区间上的单调连续函数无最值．( √ )
3．函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( × )
类型一 求函数的最值
命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 求下列各函数的最值．
(1)f (x )＝4x 3
＋3x 2
－36x ＋5，x ∈[－2，＋∞)； (2)f (x )＝1
2x ＋sin x ，x ∈[0，2π]．
考点 利用导数求函数的最值 题点 不含参数的函数求最值 解 (1)f ′(x )＝12x 2
＋6x －36， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝3
2
.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由于当x >3
2
时，f ′(x )>0，
所以f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞上为增函数． 因此，函数f (x )在[－2，＋∞)上只有最小值－115
4，无最大值．
(2)f ′(x )＝1
2＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，
解得x ＝2π3或x ＝4π
3
.
计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫2π3＝π3＋32
，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3
－32.
所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.
反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．
跟踪训练1 求函数f (x )＝e x (3－x 2
)，x ∈[2，5]的最值． 考点 利用导数求函数的最值 题点 不含参数的函数求最值 解 ∵f (x )＝3e x －e x x 2
，
∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2
＋2x －3) ＝－e x
(x ＋3)(x －1)．
∵在区间[2，5]上，f ′(x )＝－e x
(x ＋3)(x －1)<0， ∴函数f (x )在区间[2，5]上单调递减，
∴当x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2
； 当x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知函数f (x )＝(x －k )e x
. (1)求f (x )的单调区间；
(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．
考点 含参数的函数最值问题 题点 含参数的函数求最值
解 (1)由f (x )＝(x －k )e x
，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x
， 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.
当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：
所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增． 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ， 当0<k －1<1，即1<k <2时，
由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e
k －1
.
当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减． 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ； 当1<k <2时，f (x )min ＝－e
k －1
；
当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.
反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝ln x
x
－x .
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)设m >0，求f (x )在[m,2m ]上的最大值． 考点 含参数的函数最值问题 题点 含参数的函数求最值 解 (1)f ′(x )＝1－ln x
x
2
－1，
令f ′(x )＝0，得x 2
＝1－ln x . 显然x ＝1是上面方程的解．
令g (x )＝x 2
＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝2x ＋1
x
>0，
∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴x ＝1是方程f ′(x )＝0的唯一解．
∵当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0，
∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由(1)知函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ①当0<2m ≤1，即0<m ≤1
2时，f (x )在[m,2m ]上单调递增，
∴f (x )max ＝f (2m )＝
m
2m
－2m .
②当m ≥1时，f (x )在[m,2m ]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (m )＝ln m
m
－m .
③当m <1<2m ，即1
2<m <1时，f (x )max ＝f (1)＝－1.
类型二 由函数的最值求参数
例3 已知函数f (x )＝ax 3
－6ax 2
＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．
考点 含参数的函数最值问题 题点 知最值求参数
解 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2
－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)． ①当a >0时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也是函数f (x )在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b
＝3.
又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.
②当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.
又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.
反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3 设23<a <1，函数f (x )＝x 3
－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，
求a ，b 的值．
考点 含参数的函数最值问题 题点 知最值求参数
解 令f ′(x )＝3x 2
－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
b －a 3
2
＋b
由表可知，f (x )的极大值为f (0)＝b ，极小值为f (a )＝b －a 3
2，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，
故需比较f (0)与f (1)及f (－1)与f (a )的大小． 因为f (0)－f (1)＝3
2a －1>0，
所以f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1. 又f (－1)－f (a )＝12
(a ＋1)2
(a －2)<0，
所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－3
2a ，
所以－32a ＝－62，a ＝6
3.
所以a ＝
6
3
，b ＝1. 类型三 与最值有关的恒成立问题
例4 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．
(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．
(2)若对任意x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2
恒成立，求c 的取值范围． 考点 函数最值的应用 题点 恒成立中参数的取值范围 解 (1)由f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，
因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝43－4
3a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，
所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3
－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，
当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝22
27＋c 为极大值，
因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．
要使f (x )<c 2
(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2
>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.
故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 反思与感悟 不等式恒成立问题常用的解题方法
跟踪训练4 已知函数f (x )＝x ln x ．若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围． 题点 函数最值的应用 题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ；
令f ′(x )<0，解得0<x <1
e ，
所以当x ＝1e 时f (x )取得最小值－1
e
.
(2)由题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立， 即不等式a ≤ln x ＋1
x
在x ∈[1，＋∞)上恒成立．
令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1
x
2，
当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以g (x )的最小值是g (1)＝1. 因此a ≤g (x )min ＝g (1)＝1， 故a 的取值范围为(－∞，1].
1．函数f (x )＝e x
－x 在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．1＋1e
B ．1
C ．e －1
D ．e ＋1
考点 利用导数求函数的最值 题点 不含参数的函数求最值 答案 C
解析 由题意得f ′(x )＝e x
－1. 令f ′(x )＝0，得x ＝0. 当x ∈[－1,0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0,1]时，f ′(x )>0.
所以f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增． 又因为f (－1)＝1
e ＋1，
f (1)＝e －1，
所以f (－1)－f (1)＝2＋1
e －e<0，
所以f (－1)<f (1)． 所以f (x )max ＝f (1)＝e －1.
2．函数f (x )＝x 3
－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 考点 函数最值的应用 题点 最值存在性问题 答案 D
解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
3．若函数y ＝x 3
＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m 等于( )
A ．0
B ．2C.5
2
D ．1
考点 含参数的函数最值问题 题点 知最值求参数 答案 B
解析 y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3＋32x 2＋m ′＝3x 2
＋3x ＝3x (x ＋1)，
由y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1.
f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋1
2
.
又因为f (1)＝m ＋5
2，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，
所以f (1)＝m ＋52最大，所以m ＋52＝9
2，
所以m ＝2.
4．若函数f (x )＝x 3
－2cx 2
＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________________． 考点 函数最值的应用 题点 恒成立中参数的取值范围 答案 ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－
32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2
－4cx ＋1，
由f ′(x )＝0有两个不同的根，可得Δ＝(－4c )2
－12>0， ∴c >
32或c <－3
2
. 5．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋5，当x ＝－2时，f (x )有极值13. (1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数f (x )在[－3,0]上的最值． 考点 利用导数求函数的最值 题点 不含参数的函数求最值 解 (1)由f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋5， 得f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b .
∵y ＝f (x )在x ＝－2处取得极值13，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
f －＝－8＋4a －2b ＋5＝13，f －
＝12－4a ＋b ＝0，
解得a ＝2，b ＝－4.
(2)由(1)知f (x )＝x 3
＋2x 2
－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2
＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝2
3或x ＝－2.∴f (x )在[－3，－2)上单调递增，在(－2,0]上单调递减，∴f (x )的最大
值是f (－2)，最小值是f (－3)或f (0)，而f (－2)＝－8＋8＋8＋5＝13，f (0)＝5，f (－3)＝－27＋18＋12＋5＝8，∴f (x )在[－3,0]上的最大值为13，最小值为5.
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
一、选择题
1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1B.π2
－1C ．πD ．π＋1 考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 C
解析 y ′＝1－cos x ≥0，故y ＝x －sin x 在⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增，所以当x ＝π时，y max ＝π. 2．函数y ＝ln x x
的最大值为( ) A ．10B ．e －1C ．e 2D ．e
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 B
解析 令y ′＝x
x －ln x x 2＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0，所以y 极大值＝y |x ＝e ＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.
3．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )
A ．f (a )－g (a )
B ．f (b )－g (b )
C ．f (a )－g (b )
D ．f (b )－g (a )
考点 利用导数求函数的最值
题点 抽象函数的最值
答案 A
解析 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，
∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，
∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，
∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．
4．已知函数f (x )＝12
x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥32 B ．m >32
C ．m ≤32
D ．m <32
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 A
解析 ∵f ′(x )＝2x 3－6x 2，
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，
验证可知x ＝3是函数的最小值点，
故f (x )min ＝f (3)＝3m －272，
由f (x )＋9≥0恒成立，得f (x )≥－9恒成立，
即3m －272≥－9，∴m ≥32.
5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )
A ．－32 B.12
C ．－12 D.12或－32
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
答案 C
解析 当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意．
当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，
所以f (x )max ＝f (a )，
即－a 2－2a ＋3＝154，
解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．
6．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围为(
) A ．(0,1) B ．(－∞，1)
C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
考点 函数最值的应用
题点 最值存在性问题
答案 D
解析 由题意得函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导函数f ′(x )＝3x 2
－6b 在(0,1)内有零点，且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且3－6b >0，∴0<b <12
，故选D.
7．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )
A ．20
B ．18
C ．3
D ．0
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 A
解析 由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，
则f (x )min ＝f (－3)＝－19， f (x )max ＝f (－1)＝f (2)＝1，
由题意知|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|－19－1|＝20，
∴t ≥20，故t min ＝20.
8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2
，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )
A ．1B.12C.52D.22
考点 函数最值的应用
题点 距离的最值问题
答案 D
解析 由题意画出函数图象如图所示，
由图可以看出|MN |＝y ＝t 2
－ln t (t >0)，则
y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －22t .
当0<t <
22时，y ′<0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，＋∞内单调递增． 故当t ＝
22时，|MN |有最小值． 二、填空题
9．函数f (x )＝4x x 2
＋1(x ∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________． 考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 2 －2
解析 f ′(x )＝
x 2＋－4x ×2x x 2＋2 ＝－x 2x 2＋2＝＋x －x x 2＋2，
令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.
由f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85
， 得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.
10．若函数f (x )＝x
x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33
，则a 的值为________． 考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
答案 3－1
解析 f ′(x )＝x 2＋a －x ·2x x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a 2
＝a －x a ＋x x 2＋a 2
， 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )>0，f (x )为单调递增函数，
当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数．
若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为单调递减函数，
由f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33
，得a ＝3－1； 若a >1，即a >1时，f (x )在[1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上递减，
所以f (x )max ＝f (a )＝
a 2a ＝33，a ＝34
(舍去)． 故a ＝3－1.
11．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
答案 (－∞，2ln2－2]
解析 f ′(x )＝e x －2.
令f ′(x )＝0，解得x ＝ln2.
当x ∈(－∞，ln2)时，f ′(x )<0， x ∈(ln2，＋∞)时，f ′(x )>0.
∴f (x )min ＝f (ln2)＝2－2ln2＋a .
由题意知，2－2ln2＋a ≤0，
可得a ≤2ln2－2.
三、解答题
12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2
＋3x .
(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；
(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最大值和最小值．
考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，
∵当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， ∴a ≤⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝3(当且仅当x ＝1时取等号)，
∴a ≤3，
即实数a 的取值范围为(－∞，3]．
(2)由题意知f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，
∴a ＝5，∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.
令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13
(舍去)． 当1<x <3时，f ′(x )<0，当3<x <5时，f ′(x )>0，
即当x ＝3时，f (x )取得极小值f (3)＝－9.
又f (1)＝－1，f (5)＝15，
∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.
13．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．
(1)求g (x )的单调区间和最小值．
(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a
对任意x >0成立． 考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)由题设知f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝1x ，所以
g (x )＝ln x ＋1x
， 所以g ′(x )＝x －1x 2
. 令g ′(x )＝0，得x ＝1，
当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，
故(0,1)是g (x )的单调递减区间；
当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，
故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．
因此x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，也是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.
(2)因为g (a )－g (x )<1a
对任意x >0成立， 即ln a <g (x )对任意x >0成立．
由(1)知，g (x )的最小值为1，
所以ln a <1，解得0<a <e.
四、探究与拓展
14．已知函数f (x )＝13
x 3－x 2－4x ＋1，直线l ：x ＋y ＋2k －1＝0，当x ∈[－3,3]时，直线l 恒在函数f (x )图象的下方，则实数k 的取值范围是( )
A ．k >－34
B ．k <－34
C ．k <92
D ．k >92
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 D
解析 命题等价于当x ∈[－3,3]时， ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 3－x 2－4x ＋1－(－x －2k ＋1)>0恒成立， 即k >－16x 3＋12x 2＋32
x . 设g (x )＝－16x 3＋12x 2＋32
x ，则 g ′(x )＝－12x 2＋x ＋32＝12(3－x )(1＋x )．
由g ′(x )>0，得－1<x <3；
由g ′(x )<0，得－3<x <－1.
∴g (x )在[－3，－1)上单调递减，在(－1,3]上单调递增，
∴当x ＝－1时，g (x )取得最小值，
又g (－3)＝92，g (3)＝92，∴y max ＝92，∴k >92
. 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a x .
(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32
，求a 的值． 考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
解 函数f (x )＝ln x ＋a x
的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2， (1)∵a <0，∴f ′(x )>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上
的最小值是32
相矛盾； ②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32
相矛盾；
③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，
所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，
由ln a ＋1＝32
，得a ＝ e. ④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )≤0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这
与最小值是32
相矛盾； ⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e
>2，仍与最小值是32
相矛盾． 综上所述，a 的值为 e.。