湖南省岳阳市第十二中学2018年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省岳阳市第十二中学2018年高三数学理模拟试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是（）
A．当时，若，则
B．当时，若，则
C．当且是在内的射影时，若，则
D．当且时，若，则
参考答案：
B
2. 已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
设，则，又，，选D．
3. 坐标平面上的点集S满足S={（x，y）|log2（x2﹣x+2）=2sin4y+2cos4y，y∈[﹣，
]，将点集S中的所有点向x轴作投影，所得投影线段的长度为( )
A．1 B．C．D．2
D
【考点】函数的图象；对数的运算性质．
【分析】先求出2sin4y+2cos4y=2﹣4sin2y?cos2y=2﹣（sin2y）2的范围，即可得出函数
y=log2（x2﹣x+2）的值域范围，从而求出函数函数y=log2（x2﹣x+2）的定义域，进一步可求投影长度．
【解答】解：1=（sin2y+cos2y）2=sin4y+cos4y+2sin2y?cos2y，
∴2sin4y+2cos4y=2﹣4sin2y?cos2y=2﹣（sin2y）2，
∵y∈[﹣，]，∴2y∈[﹣，]，∴≤sin2y≤1，
∴2﹣（sin2y）2∈[1，2]
∴log2（x2﹣x+2）∈[1，2]，
∴2≤x2﹣x+2≤4，
∴﹣1≤x≤0，或1≤x≤2
故x的投影长度为1+1=2，
故选：D
【点评】本题综合考查函数定义域与值域问题，考查的较为灵活，做题中要注意转化．4. 定义在上的函数满足（），，则等于（）
A. 2 B 3 C 6 D 9
参考答案：
C
略
5. 已知函数在区间[—1，2]上单调递减，则实数a的取值范围为（）
A． B． C．（—3，1） D．
D
略
6. 已知函数，则函数的增区间为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
7. 已知集合A={x}，B={x}}，则A B=( )
A.{x}}
B.{x}
C.{x}}
D.{x}}
参考答案：
D
8. “直线”是“函数图象的对称轴”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
9. 已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）
A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]
参考答案：
B
考点：直线与圆的位置关系．
专题：计算题；直线与圆．
分析：确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．
解答：解：∵=，∴A是MB的中点，
∵圆x2+y2=1的直径是2，
∴MA≤2，∴点M到原点距离小于等于3，
∴t2+4≤9，∴﹣≤t≤，
故选：B．
点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
10. 已知数列中，，，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A．B．
C．D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥A-BCD的体积的最大值为，则该球O的表面积为．
参考答案：
16π
由题意知，为该球的直径，由此易知，当顶点在底面的射影为球心时，且底面
为等腰直角三角形时，三棱锥体积最大，所以，解得，故所求球的表面积为.
12. 已知sinα=，则cos2α=．
参考答案：
考点：二倍角的余弦．
专题：三角函数的求值．
分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．
解答：解：∵sinα=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．
13. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以
△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h= ．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．
【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．
由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．
又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．
∴三棱柱的高h=PE=A1C=．
故答案为．
14. 已知随机变量，若，则．参考答案：
0.2
15. 已知变量x，y满足约束条件，则目标函数：z= 3x -y的最大值
是。

参考答案：
6
画出约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点（2,0）时取最大值，最大值为。

16. 设，在二项式的展开式中，含的项的系数与含的项的系数相等，则的值为．
参考答案：
1
略
17. 设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的取值范围是．
参考答案：
[3，9]
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件
画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数的值域．
【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：
由图易得目标函数z=2x+y在（1，1）处取得最小值3
在（3，3）处取最大值9
故Z=2x+y的取值范围为：[3，9]
故答案为：[3，9]
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，ABEC＝2，AE＝BE＝，O为AB 的中点．
(1)求证：EO⊥平面ABCD；(2)求点D到平面AEC的距离．
参考答案：
略
19. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点F（，）的距离与到定直线
l1：x+y+=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时针方向旋转45°形成的．
（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞0）的直线l2交曲线C2于A、B两点，点N是点M关于原点的对称点．若=λ，证明：⊥（﹣λ）．
参考答案：
（1）设P（x，y），根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式，建立关于x、y的方程并化简整理，即可得到曲线C1的方程．分别取x=0和y=0解出曲线C1在
轴上的截距，即可曲线C1与坐标轴的各交点的坐标．再由曲线是以F（，）
为焦点，直线l1：x+y+=0为准线的抛物线，将其顺时针方向旋转45°得到的抛物线焦点为（1，0），准线为x=﹣1，可得曲线C2的方程是y2=4x；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l2的方程为y=k（x﹣m），与抛物线
y2=4x消去x，得y2﹣y﹣4m=0，可得y1y2=﹣4m．设N（﹣m，0），由=λ算出
λ=，结合向量坐标运算公式得到﹣λ关于x1、x2、λ和m的坐标式，代入?（﹣λ）并化简，整理可得?（﹣λ）=0，从而得到对任意的λ满足=λ，都有⊥（﹣λ）．
解（1）设P（x，y），由题意知曲线C1为抛物线，并且有
=，
化简得抛物线C1的方程为：x2+y2﹣2xy﹣4x﹣4y=0．
令x=0，得y=0或y=4；再令y=0，得x=0或x=4，
所以，曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，4）和（4，0）．
点F（，）到l1：x+y+=0的距离为=2，
所以C2是以（1，0）为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，
设直线l2的方程为y=k（x﹣m），代入y2=4x得
y2﹣y﹣4m=0，可得y1y2=﹣4m．
由=λ，得（m﹣x 1，﹣y 1）=λ
（x2﹣m，y2），可得λ=，
而N（﹣m，0），可得﹣λ=（x1+m，y1）﹣λ（x2+m，y2）=（x1﹣λx2+（1﹣λ）m，y1﹣λy2）
∵=（2m，0），
∴?（﹣λ）=2m[x1﹣λx2+（1﹣λ）m]=2m[+﹣+（1+）m]
=2m（y1+y2）?=2m（y1+y2）?=0
∴对任意的λ满足=λ，都有⊥（﹣λ）．
20. 如图，直棱柱的棱长都为，点为棱的中点，点在棱上，且.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
参考答案：
（1）面面，，则面，
面，∴，
，，
∴，，
∴，
∴，，∴面.
（2），即，
解，
即点到面距离为.
21. 设函数f(x)＝ka x－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在1，＋∞)上的最小值．参考答案：
∵f(x)是定义域为R上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴k－1＝0，即k＝1.
(1)∵f(1)>0，∴a－>0.又a>0且a≠1，
∴a>1，f(x)＝a x－a－x.
∵f′(x)＝a x ln a＋a－x ln a＝(a x＋a－x)ln a>0，
∴f(x)在R上为增函数，
原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)．
∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0.
∴x>1或x<－4.
∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．
(2)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0.
∴a＝2或a＝－(舍去)．
∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)
＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.
令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，
则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，
即t(x)≥t(1)＝，
∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2.
∴当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋)．即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.
22. 公差不为零的等差数列中，且成等比数列。

（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式
参考答案：
解: (Ⅰ) ．
……6分
(Ⅱ)．
……12分
略。