2021-2022学年-有答案-广东省清远市某校初三(上)十月月考数学试卷

2021-2022学年广东省清远市某校初三（上）十月月考数学试卷一、选择题
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 在▱ABCD中，下列说法一定正确的是( )
A.AC=BD
B.AC⊥BD
C.AB=CD
D.AB=BC
3. 菱形的两条对角线把菱形分成的直角三角形的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4. 下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是( )
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对边平行
5. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是()
A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角互补
6. 下列各式是一元二次方程的是()
+x2−1=0
A.3−5x2=x
B.3
x
C.ax2+bx+c=0
D.4x−1=0
7. 下列各未知数的值是方程3x2+x−2=0的解的是( )
A.x=1
B.x=−1
C.x=2
D.x=−2
8. 已知关于x的一元二次方程x2−x+k=0的一个根是2，则k的值是()
A.−2
B.2
C.1
D.−1
9. 一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长是()
A.17
B.15
C.13
D.13或17
10. 顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，那么四边形EFGH形状是( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
二、填空题
一元二次方程5x2−8x+3=0的一次项系数是________．
关于x的一元二次方程3x(x−2)=4的一般形式是________．
方程x2=4的非负数解为x=________.
已知菱形ABCD的两条对角线AC=8cm，DB=6cm，则菱形的面积是________cm2．某一个直角三角形的斜边长为20cm，那么斜边上的中线长为________cm．
方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________.
如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB，BC长分别为3和4，那么P到
矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__________.
三、解答题
用配方法解方程：x2−4x+1=0.
用公式法解方程：x2−x−1=0．
选择适当的方法解方程：x2−6x+8=0.
如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5cm，AO= 4cm，OB=3cm.
(1)四边形ABCD是菱形吗？为什么？
(2)求四边形ABCD的面积.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC.
(1)求证：△ABM≅△DCM；
(2)求证：四边形ABCD是矩形．
如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE // BD，过点D作DE // AC，CE与DE相交于点E．
(1)求证：四边形CODE是矩形；
(2)若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长．
已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a,b,c分别为△ABC的三边长．
(1)如果x=−1是该方程的根，试判断△ABC的形状；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；
(3)如果△ABC是一个等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2−7x+12=0的两个根，且OA>OB．
(1)求A，B的坐标；
(2)求证：射线AO是∠BAC的平分线；
(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2021-2022学年广东省清远市某校初三（上）十月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
【解析】
利用轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可．
【解答】
解：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形.
A，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本项不符合题意；
B，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本项不符合题意；
C，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本项不符合题意；
D，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本项符合题意.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．
【解答】
解：A，AC与BD不一定相等，故A选项错误；
B，AC与BD不一定垂直，故B选项错误；
C，由平行四边形的对边相等可得AB=CD，故C选项正确；
D，AB与BC不一定相等，故D选项错误.
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
菱形的性质
【解析】
利用菱形的性质得出对角线垂直且互相平分，且4条边相等，故全等的直角三角形的个数是4个．
【解答】
解：如图所示：
∵AC，BD是菱形的对角线，
∴AC⊥BD，
∴直角三角形为：Rt△ADE，Rt△CDE，Rt△ABE，Rt△CBE，
∴菱形的两条对角线把菱形分成直角三角形的个数是4．
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
矩形的性质
平行四边形的性质
【解析】
根据矩形的性质以及平行四边形的性质进行做题．
【解答】
解：矩形的特性是：四角相等，对角线相等．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
矩形的性质
菱形的性质
【解析】
根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
【解答】
解：A，菱形对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，故本选项符合要求；B，矩形的对角线相等，而菱形不具备这一性质，故本选项不符合要求；
C，菱形和矩形的对角线都互相平分，故本选项不符合要求；
D，菱形矩形的对角都相等，但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求.
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最
高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条
件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】
解：A，符合一元二次方程的定义，正确；
B，不是整式方程，故错误；
C，方程二次项系数可能为0，故错误；
D，方程未知数为1次，故错误；
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
分别计算x=1、−1、2、−2时代数式3x2+x−2的值，然后根据一元二次方程解的定义进行判断．
【解答】
解：当x=1时，3x2+x−2=3+1−2=2，所以x=1不是方程3x2+x−2=0的解；
当x=−1时，3x2+x−2=3−1−2=0，所以x=−1是方程3x2+x−2=0的解；当x=2时，3x2+x−2=12+2−2=12，所以x=2不是方程3x2+x−2=0的解；当x=−2时，3x2+x−2=12−2−2=8，所以x=−2不是方程3x2+x−2=0的解．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
知道方程的一根，把该根代入方程中，求出未知量k．
【解答】
解：由题意知，关于x的一元二次方程x2−x+k=0的一个根是2，
故4−2+k=0，
解得k=−2，
故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
三角形三边关系
等腰三角形的性质
【解析】
由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】
解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3<7，不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
中点四边形
矩形的性质
菱形的判定
三角形中位线定理
【解析】
四边形EFGH是菱形；根据矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理求证EF＝FG＝GH＝EH，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形即可判定．
【解答】
解：连接BD，AC．
∵矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴AC=BD，且EF=GH=1
2AC，EH=FG=1
2
BD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选C.
二、填空题
【答案】
−8
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝
0(a≠0)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
【解答】
解：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=
0(a≠0)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
一元二次方程5x2−8x+3=0的一次项系数是−8.
故答案为：−8.
【答案】
3x2−6x−4=0
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)．
【解答】
解：方程3x(x−2)=4去括号得3x2−6x=4，
移项得3x2−6x−4=0，
原方程的一般形式是3x2−6x−4=0．
故答案为：3x2−6x−4=0．
【答案】
2
【考点】
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
利用直接开平方法，求解即可.
【解答】
解：x2=4，
开方得：x=±2.
∵方程的解为非负数，
∴x=2.
故答案为：2.
【答案】
24
【考点】
菱形的面积
【解析】
先由菱形的性质得出OA、OB，再由勾股定理求出边长，即可求出周长．
【解答】
解：由题意知AC⊥BD，
×8×6=24(cm2).
则菱形ABCD的面积=1
2
故答案为：24．
【答案】
10
【考点】
直角三角形斜边上的中线
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】
解：∵直角三角形斜边长为20cm，
∴斜边上的中线长为10cm．
故答案为：10.
【答案】
2
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
本题考查一元二次方程的定义.根据一元二次方程的定义解答.
【解答】
解：根据题意得，
|m|=2，且m+2≠0，
解得m=2.
故答案为：2.
【答案】
12
5
【考点】
三角形的面积
矩形的性质
【解析】
首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=2.5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=1
2
OA⋅PE+OD⋅PF求得答案．
【解答】
解：连接OP，如图，
∵矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD=5，
∴OA=OD=2.5，
∴S△ACD=1
2
S矩形ABCD=6，
∴S△AOD=1
2
S△ACD=3.
∵S△AOD=S△AOP+S△DOP
=1
2
OA⋅PE+
1
2
OD⋅PF
=12×2.5×PE +12
×2.5×PF =54(PE +PF)=3，
解得：PE +PF =
125． 故答案为：125.
三、解答题
【答案】
解：x 2−4x =−1，
x 2−4x +4=−1+4，
(x −2)2=3，
x −2=±√3，
x 1=2+√3，x 2=2−√3.
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：x 2−4x =−1，
x 2−4x +4=−1+4，
(x −2)2=3，
x −2=±√3，
x 1=2+√3，x 2=2−√3.
【答案】
解：a =1，b =−1，c =−1，
Δ=b 2−4ac =(−1)2−4×1×(−1)=5，
x =−b±√b 2−4ac 2a
=1±√52， x 1=1+√52，x 2=1−√52．
【考点】
解一元二次方程-公式法
【解析】
（2）根据公式法，可得方程的解．
【解答】
解：a =1，b =−1，c =−1，
Δ=b 2−4ac =(−1)2−4×1×(−1)=5，
x =−b±√b 2−4ac 2a
=1±√52， x 1=1+√52，x 2=1−√52．
【答案】
解：因式分解得：(x−2)(x−4)=0，
即x−2=0或x−4=0，
解得：x1=2，x2=4.
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因式分解得：(x−2)(x−4)=0，
即x−2=0或x−4=0，
解得：x1=2，x2=4.
【答案】
解：(1)四边形ABCD是菱形，理由如下：
在△AOB中，
∵ AB=5，AO=4，OB=3，
∴ AB2=25，AO2+BO2=42+32=25，
∴ AB2=AO2+BO2，
∴ △AOB为直角三角形，即∠AOB=90∘．
∴ AC⊥BD.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形．
(2)平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，OB=3，
∴ AC=2AO=8，BD=2OB=6，
四边形ABCD的面积为：
1 2⋅AC×BD=1
2
×8×6=24(cm2)，
因此四边形ABCD的面积是24cm2．
【考点】
菱形的面积
菱形的判定
菱形的性质
勾股定理的逆定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)四边形ABCD是菱形，理由如下：
在△AOB中，
∵ AB=5，AO=4，OB=3，
∴ AB2=25，AO2+BO2=42+32=25，∴ AB2=AO2+BO2，
∴ △AOB为直角三角形，即∠AOB=90∘．∴ AC⊥BD.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形．
(2)平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，OB=3，
∴ AC=2AO=8，BD=2OB=6，
四边形ABCD的面积为：
1 2⋅AC×BD=1
2
×8×6=24(cm2)，
因此四边形ABCD的面积是24cm2．
【答案】
证明：(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD.
∵ M是AD边的中点，
∴ AM=DM.
∵MB=MC，
∴ △ABM≅△DCM．
(2)∵ △ABM≅△DCM，
∴ ∠A=∠D．
∵ AB//CD，
∴ ∠A+∠D=180∘，
∴ ∠A=90∘．
∴ ▱ABCD是矩形．
【考点】
全等三角形的判定
平行四边形的性质
全等三角形的性质
矩形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD.
∵ M是AD边的中点，
∴ AM=DM.
∵MB=MC，
∴ △ABM≅△DCM．
(2)∵ △ABM≅△DCM，
∴ ∠A=∠D．
∵ AB//CD，
∴ ∠A+∠D=180∘，
∴ ∠A=90∘．
∴ ▱ABCD是矩形．
【答案】
(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠COD=90∘；
而CE // BD，DE // AC，
∴∠OCE=∠ODE=90∘，
∴四边形CODE是矩形．
(2)解：∵四边形ABCD为菱形，
AC=3，OD=OB，∠AOB=90∘，
∴AO=OC=1
2
由勾股定理得：
BO2=AB2−AO2，而AB=5，
∴DO=BO=4，
由(1)知四边形CODE是矩形，
∴四边形CODE的周长=2(3+4)=14．
【考点】
矩形的判定与性质
菱形的性质
【解析】
（1）如图，首先证明∠COD=90∘；然后证明∠OCE=∠ODE=90∘，即可解决问题．（2）如图，首先证明CO=AO=3，∠AOB=90∘；运用勾股定理求出BO，即可解决问题．
【解答】
(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠COD=90∘；
而CE // BD，DE // AC，
∴∠OCE=∠ODE=90∘，
∴四边形CODE是矩形．
(2)解：∵四边形ABCD为菱形，
AC=3，OD=OB，∠AOB=90∘，
∴AO=OC=1
2
由勾股定理得：
BO2=AB2−AO2，而AB=5，
∴DO=BO=4，
由(1)知四边形CODE是矩形，
∴四边形CODE的周长=2(3+4)=14．
【答案】
解：(1)△ABC是等腰三角形；
∵x=−1是方程的根，
∴(a+c)×(−1)2−2b+(a−c)=0，
∴a+c−2b+a−c=0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，
∴4b2−4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形.
(3)当△ABC是等边三角形，
∴(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，
可整理为：2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=−1．
【考点】
根的判别式
解一元二次方程-因式分解法
一元二次方程的解
勾股定理的逆定理
等边三角形的性质
等腰三角形的判定
【解析】
（1）直接将x=−1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
【解答】
解：(1)△ABC是等腰三角形；
∵x=−1是方程的根，
∴(a+c)×(−1)2−2b+(a−c)=0，
∴a+c−2b+a−c=0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，
∴4b2−4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形.
(3)当△ABC是等边三角形，
∴(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，
可整理为：2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=−1．
【答案】
(1)解：∵OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2−7x+12=0的两个根，
∴x=3或x=4.
∵OA>OB，
∴OA=4，OB=3，
∴A(0, 4)，B(−3, 0).
(2)证明：连接AC ，
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ BC =AD =6.
∵ B(−3, 0)，
∴ C(3, 0)，
∴ OC =OB .
在△AOB 和△AOC 中，
{OB =OC ，
∠AOB =∠AOC ，AO =AO ，
∴ △AOB ≅△AOC ，
∴ ∠BAO =∠CAO ，
∴ 射线AO 是∠BAC 的平分线.
(3)解：根据计算的数据，OB =OC =3，
∴ AO 平分∠BAC ，
①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF =AC =5，
所以点F 与B 重合，
即F(−3, 0)；
②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ， 点F(3, 8)；
③AC 是对角线时，作AC 垂直平分线L ，
AC 解析式为y =−43x +4，直线L 过(32,2)，且k 值3
4（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为−1），
∴ 直线L 解析式为y =34x +7
8，
联立两直线解析式，得：{y =34x +78，y =43x +4，
解得：{x =−7514，y =−227，
∴ F (−7514, −227) ； ④AF 是对角线时，过C 作AB 垂线，垂足为N ，
∵ S △ABC =12BC ⋅OA =1
2AB ⋅CN =12， ∴ CN =BC⋅OA
AB =24
5.
在△BCN 中，BC =6，CN =24
5，
根据勾股定理得：BN =√BC 2−CN 2=
18
5， 即AN =AB −BF =5−18
5=75.
∵ A 关于N 的对称点F ， ∴ AF =2AN =14
5，AN =7
5，
过F 作y 轴垂线，垂足为G ，
此时FG =
4225， ∴ F (−4225,−4425
). 综上所述，满足条件的点有四个：F 1(3,8) ；F 2(−3,0) ；F 3(−7514,−227)；F 4(−4225,4425) ·
【考点】
四边形综合题
一元二次方程的解
菱形的性质
全等三角形的判定
角平分线的定义
【解析】
（1）先解出一元二次方程，即得出OA ，OB ，即可得出点A ，B 坐标；
（2）先得出BC =AD =6，求出OC ，再判断出，△AOB ≅△AOC 即可；
（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算．
【解答】
(1)解：∵OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2−7x+12=0的两个根，∴x=3或x=4.
∵OA>OB，
∴OA=4，OB=3，
∴A(0, 4)，B(−3, 0).
(2)证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6.
∵B(−3, 0)，
∴C(3, 0)，
∴OC=OB.
在△AOB和△AOC中，
{
OB=OC，∠AOB=∠AOC，AO=AO，
∴△AOB≅△AOC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴射线AO是∠BAC的平分线.
(3)解：根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F(−3, 0)；
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F(3, 8)；
③AC是对角线时，作AC垂直平分线L，
AC解析式为y=−4
3x+4，直线L过(3
2
,2)，且k值3
4
（平面内互相垂直的两条直线k值乘
积为−1），
∴ 直线L解析式为y=3
4x+7
8
，
联立两直线解析式，得：{y =34x +78，y =43x +4， 解得：{x =−75
14，y =−227， ∴ F (−7514, −22
7) ； ④AF 是对角线时，过C 作AB 垂线，垂足为N ，
∵ S △ABC =12BC ⋅OA =12AB ⋅CN =12， ∴ CN =BC⋅OA
AB =24
5.
在△BCN 中，BC =6，CN =24
5，
根据勾股定理得：BN =√BC 2−CN 2=
18
5， 即AN =AB −BF =5−18
5=7
5. ∵ A 关于N 的对称点F ，
∴ AF =2AN =145，AN =7
5， 过F 作y 轴垂线，垂足为G ，
此时FG =4225，
∴ F (−4225,−4425
). 综上所述，满足条件的点有四个：F 1(3,8) ；F 2(−3,0) ；F 3(−7514,−227)；F 4(−4225,4425) ·。