第01讲：数与式专题

数与式问题第01讲专题01
ZHUAN TI YI
【知识清单01：实数】
1.实数的概念及分类
2.实数的相关概念
3.
科学记数法
4.实数的大小比较
5.实数的运算
1.实数分类
2.数轴
（1）数轴三要素：原点、正方向、单位长度
（2）数轴的特征：实数与数轴上的点一一对应；
数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
3.相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数
（2）代数意义：a、b互为相反数，则a+b=0
（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点
的距离相等
4.绝对值
（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离
（2）运算性质：
0.
a a
a
a a
≥
⎧
=⎨
-≤
⎩
；
，
.
a b a b
a b
b a a b
-≥
⎧
-=⎨
-≤
⎩
（3）非负性：|a|≥0；若|a|+b2=0，则a=b=0.
名师点睛：
（1）0既不属于正数，也不属于负数；
（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构
造型：如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个
无限不循环小数；③开方开不尽的数：如3；
④三角函数型：如sin60°，tan25°.
（3）开得尽方的含根号的数属于有理数，如4=2，
327
-=-3，它们都属于有理数.
（4）数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5；
（5）数轴上两点之间的距离：AB=b-a=|a-b|
（6）a的相反数为-a，特别的：0的绝对值是0，即相反
数等于自己的数只有0.
例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.
（7）①若|x|=a（a≥0），则x=±a.
②对绝对值等于它本身的数是非负数，即0和正数.
例：5的绝对值是5；
|-2|=2；
若|x|=3，则x=±3
32=23
--
5.倒数
（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.（2）代数意义：ab=1⇔a ，b 互为倒数
6.科学记数法
（1）形式：a ×10n 或a ×10-
n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数
（2）确定n 的方法：对于数位较多的大数，n 等于原数的整数位数减去1；对于小数，n 等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
7.实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两负数比较，绝对值大的反而小.（3）作差比较法：a-b ＞0⇔a ＞b ；a-b=0⇔a=b ；a-b ＜0⇔a ＜b.（4）平方法：a ＞b ≥0⇔a 2＞b 2.
8.常见运算
（1）乘方：几个相同因数的积；负数的偶（奇）次方为正（负）（2）零次幂：0
1a =(a≠0)（3）负指数幂：1
p p
a
a -=
（a≠0，p 为整数）（4）平方根、算术平方根：
若x 2
=a（a≥0）,则x=a ±.其中a 是算术平方根.
（6）立方根：若x 3
=a,则x=3a .
9.混合运算
（1）先乘方、开方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左向右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、
大括号一次进行.
（4）计算时，可以结合运算律，使问题简单化
名师点睛：
（8）a 的倒数为
1a (a ≠0)；-2的倒数是1
-2
；倒数等于它本身的数有±1；0没有倒数.（9）科学记数法例：
21000用科学记数法表示为2.1×10419万用科学记数法表示为1.9×1050.0007用科学记数法表示为7×10-4
（10）把1，-2，0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为：
1＞0＞-2＞-2.3
.
（11）计算：1-2-6=_-7__；(-2)2=___4__；3-1=_1/3_；
π=__1__；3
3
111812182-⎛⎫-===- ⎪⎝⎭⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
（12）64的平方根是_±8__，算术平方根是__8_，立方根是__4__.
（13）16的算术平方根是
4__，16的平方根是±4_，
16的算术平方根是__2__，16的平方根是
±2_，
【知识清单02：整式与因式分解】
1.代数式及相关概念
2.整式的运算
3.因式分解1.代数式
(1)代数式：用运算符号（加/减/乘/除/乘方/开方）把数或表示数的字
母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．
(2)求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，
叫做求代数式的值．
2.整式（单项式、多项式）
(1)单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也
叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫
做单项式的次数.
(2)多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数
最高的项的次数叫做多项式的次数.
(3)整式：单项式和多项式统称为整式.
(4)同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
所有的常数项都是同类项.
3.整式的加减运算
(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母
和字母的指数不变．
(2)去括号法则:若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括
号外是“－”，则括号里的各项都变号.
(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.
4.整数幂运算法则
(1)同底数幂的乘法：a m·a n＝a m＋n；
(2)幂的乘方：(a m)n＝a mn；
(3)积的乘方：(ab)n＝a n·b n；
(4)商的乘方：
m m
m
a a
b b
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
；
(5)同底数幂的除法：a m÷a n＝a m－n(a≠0).
5.整式的乘除运算
(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄.
(2)单项式×多项式：m(a+b)=ma+mb.
(3)多项式×多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.名师点睛：
（1）求代数式的值常运用整体代入法计算.
例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.
（2）下列式子：①-2a2；②3a-5b；③x/2；④2/x；⑤7a2；
⑥7x2+8x3y；⑦2020.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.
（3）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是__1.
（4）去括号时，如果括号外面是负号，一定要变号且与括号内每一项相乘，不要有漏项.
例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.
（5）其中m,n都在整数
（6）计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.
（7）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.
例：2m·4m=23m.
(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．(6)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2
－b 2
.(7)完全平方公式：(a ±b )2
＝a 2
±2ab ＋b 2
.
完全平方公式的变形：
()()()()()()22
222
2
2
2
2
2
2
22=-2=-4=+41112=2
a b a b ab a b ab
a b a b ab a b a b ab a a a a a a +=+-+++--⎛⎫⎛
⎫+=+--+ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭①②，　③*公式拓展：(8)三数和平分公式：
()()2
2222
222222222a b c a b c ab ac bc a b c a b c ab ac bc
++=++++++-=+++--(9)立方和/差公式：
()()()()
33223322a b a b a ab b a b a b a ab b +=+-+-=-++6.混合运算
注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：先化简、再代入替换、再计算．
7.因式分解
(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．(2)常用方法：①提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c ).
②公式法：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )；a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.③十字相乘法.
(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；
②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解，必须分解到尽.
名师点睛：
（8）计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.
例：(2a －1)(b ＋2)＝2ab ＋4a －b －2.
（9）计算多项式相乘“不存在某项”的问题，解决方法是：经合并同类项后，此项的系数为0.
例：若()()
232121x mx x x -++-结果不含3x 项，求m.解：由题可知结果中含3x 项为：3334x mx x -+则410,5
m m -+==　（10）平方差公式变式：（变式口诀：相同项在前，相反项在后）
(-x+y)(-y-x)=(-x)2-y 2=x 2-y 2
(-2a+3b-c)(c-3b-2a)=(-2a-c)2-(3b)2=(2a+c)2-9b 2
（11）注意完全平方公式的逆向运用及变形公式的运用：例：若a-b=-3，ab=2，求22
a b +解：()()22222322=13
a b a b ab +=-+=-+⨯（12）例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a __.（13）因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；因式分解与整式的乘法互为逆运算．
（14）十字相乘法也称交叉相乘法：例：
()()
2632x x x x --=-+()()
232874x x x x +-=+-
【知识清单03：分式】
1.分式的概念
2.分式的意义
3.分式的基本性质
4.分式的运算
1.分式的概念
(1)分式：形如
B
A
(A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子.
(2)最简分式：分子和分母没有公因式的分式.
2.分式的意义
(1)无意义的条件：当B ＝0时，分式
B A
无意义；(2)有意义的条件：当B ≠0时，分式B
A
有意义；
(3)值为零的条件：当A ＝0，B ≠0时，分式B
A
＝0.
3.分式的基本性质
(1)基本性质：
A A C
B B
C ⋅=⋅A C B C
÷=
÷(C ≠0)．
(2)由基本性质可推理出变号法则为：
()A A A B B B ---==-；A A A B B B --==-.4.分式的约分和通分
(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，即
b
a
bm am =；(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即
bc
bd bc ac d c b a ,,⇒5.分式的加减法
(1)同分母：分母不变，分子相加减，即a c ±b c ＝a ±b
c
；
(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即a b ±c d ＝ad ±bc
bd
.
6.分式的乘除法
(1)乘法：
a b ·c d ＝ac
bd
；(2)除法：
a c
b d
÷＝ad
bc ；(3)乘方：n
a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝n
n a b
(n 为正整数).
7.分式的混合运算
(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，
就要先分解后约分.
(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.
一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
名师点睛：
（1）在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之前的式子；（2）π是常数，不是字母.例：下列分式：①3x -；②1x π+；③261x -；④2221
x x +-，⑤
26xyz
x
.其中是分式是③④⑤；最简分式③.（2）在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.
例：当21
1
x x --的值为0时，则x ＝-1.
（3）由除法运算的关键是转为乘法运算，即：
a c a d ad
b d b
c bc
÷=⨯=（4）由分式的基本性质可将分式进行化简：
例：化简：22121x x x -++=1
1
x x -+.
（5）分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母，然
后根据分式的性质通分.例：分式
2
1x x +和()
11x x -的最简公分母为()
2
1x x -.名师点睛：
（6）例：
111x x x
+--＝－1；2112.
111a
a a a +=+--（7）例：2a
b b a ⋅＝12；21x xy ÷＝2y ；332x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝3278x -.（8）分数线有括号的作用，约去分母后，记得给分子加括号.例：
()21
42214 2.2x x x x x
--⨯
=-⨯-=-+
【知识清单04：二次根式】
1.二次根式的概念
2.二次根式的性质
3.二次根式的运算
1.二次根式的相关概念
（1）二次根式的概念：形如a(a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式
（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
2.二次根式的性质
（1）双重非负性：
①被开方数是非负数，即a≥0；
a≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
（2）两个重要性质：
①(a)2＝a(a≥0)；②a2＝|a|＝
()
()
a a
a a
⎧≥
⎪
⎨
-<
⎪⎩
；
（3ab a b(a≥0，b≥0)；
（4a
b=
a
b
(a≥0，b＞0)．
3.二次根式的加减法
先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．4.二次根式的乘除法
直接根据二次根式的性质进行乘除运算．
5.二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
6.二次根式的估算
（1）会确定与二次根式相邻的两个连续整数：
方法：寻找相邻可开方开得尽的两个平方数即可.
（2）会判断无理数离哪个整数较近.
方法：①求出两个连续整数的平均数；
②比较被开方数与平均数的平方，大于取后者，小于取前者.（3）会求解表示无理数的整数部分和小数部分.
方法：①求出两个连续整数的平均数；
②比较被开方数与平均数的平方，大于取后者，小于取前者.名师点睛：
（1）当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.
1
1
x-有意义，则x的取值范围是x＞1.（2）利用二次根式的双重非负性解题：
①值非负：当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均
为0.
②被开方数非负：当互为相反数的两个数同时出现在二次
根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为例：已知11
a a
-+-，则a=1，b=0.
（3）例：计算：
2
3.14＝3.14()22-2；
244626
=
442
93
9
==
（4）2832
+32.
（5）注意：将运算结果化为最简二次根式.
32
23=
13232
2
2==
4.
（6）运算时注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.
例：计算：22-1)=1.
（7）分母有理化：
33
3
333
==
3
()()
132
32
323232
=
++-
32
-）
（8）例：7
479
＜＜∵2和3的平均数为2.5∴273
＜＜且2.52=6.25，7＞6.25
73
（97
479
＜＜
∴273
＜＜
727
（1013-1的整数部分和小数部分分别是？
91316
＜＜
3134
＜＜
【中考题型剖析】
【考点1】实数的有关概念
【例1】实数a，b在数轴上表示的位置如图所示，则（）
A．a＞0B．a＞b C．a＜b D．|a|＜|b|
【变式1.1】3的平方根是（）
A．9B．3C．−3D．±3
【变式1.2】今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约68000km2．将68000用科学记数法表示为（）
A．6.8×104B．6.8×105C．0.68×105D．0.68×106
【考点2】实数的计算
【例2】计算：（﹣2）0+（13）﹣1−9．
【变式2.1】计算：23−4+（23−π）0．
【变式2.2】计算（﹣1）2020+（15）﹣1−364．
【考点3】整式的求值问题
【例3】已知a+b＝3，a2+b2＝5，则ab＝．
【变式3.1】若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为．
【变式3.2】先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．
【考点4】分式的化简与求值
【例4】先化简，再求值：K2÷（x−4），其中x=2−2．
【变式4.1】先化简，再求值：
2−9÷（1+3K3），其中m＝﹣2．
【变式4.2】计算（a﹣1+1r1）÷2+2r1．
【考点5】二次根式的性质与化简
【例5】计算33+12的结果是．
【变式5.1】代数式r23在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．
【变式5.2】若−6在实数范围内有意义，则x的取值范围为．
【考点6】数字的变化规律
【例6】当n≥2时，设1+2+3+…+n的末位数字为a n，比如1+2＝3，末位数字为3，故a2＝3，又如1+2+3+4＝10，末位数字为0，故a4＝0，则a2+a3+…+a888的末位数字为（）
A．0B．5C．6D．9
【变式6.1】按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是．
【变式6.2】观察如图数据排列规律，则第n行从左向右第（n+1）个数为．
【变式6.3】观察等式：2+22＝23﹣2：2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100，若250＝a，则用含a的式子表示这组数的和是．
【考点7】图形的变化规律
【例7】如图，有一张边长为4米的正方形纸片，第1次在纸片的左上角剪去边长为2米的小正方形（如图1），第2次在剩下纸片的上剪去边长为1米的正方形纸片（如图2），第3次再在剩下纸片的上剪去边长为12米的正方形纸片（如图3），每次剪去的正方形边长为前一次的一半，记第n次剪去的小正方形的面
积为S n，则S n的值为（）
A．（12K1）2B．（12K2）2C．（24K2）2D．（24K1）2
【变式7.1】观察如图图形：他们是按一定规律排列的，依照此规律，第n（n为正整数）个图形共有的点数是（）
A．6n+4B．6n﹣1C．5n+4D．5n﹣1
【变式7.2】将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，有理数﹣5在“峰1”中D的位置．则有理数2020在“峰（）”中A，B，C，D，E中（）的位置．题中两空分别代表（）
A．403D B．404D C．403A D．404E
【变式7.3】如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“•”的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为a2，第3幅图形中“•”的个数为a3，…，以此类推，
则的值为．
【达标检测】
一．选择题（共8小题）
1．﹣3的相反数是（）
A．﹣3B．3C．−13D．13
2．某种鞋子进价为每双a元，销售利润率为20%，则这种鞋子的销售价格为（）
A．20%a B．80%a C．
(1+20%)D．120%a
3．﹣|﹣2020|＝（）
A．2020B．﹣2020C．12020D．−12020
4．已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（）
A．16B．12C．10D．无法确定
5．下列整数中，与6−11最接近的是（）
A．2B．3C．4D．5
6．当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2021，则当x＝﹣1时，px3+qx+1的值为（）
A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣2019
7．若a＝2，a﹣2b＝3，则2a2﹣4ab的值为（）
A．2B．4C．6D．12
8．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点P（P在A左侧），则点P所表示的数介于（）
A．0和﹣1之间B．﹣1和﹣2之间C．﹣2和﹣3之间D．﹣3和﹣4之间
二．填空题（共8小题）
9．计算（﹣a）3÷（﹣a2）的结果是．
10．若m与﹣2互为相反数，则m的值为．
11．计算42−24×3的结果是．
12．已知a﹣2b＝﹣2，则代数式a（b﹣2）﹣b（a﹣4）的值为．
13．分解因式：2x2﹣8＝．
14．若a+2b＝4，则12a+b+4＝．
15．点O、A、B、C在数轴上的位置如图所示，O为原点，BC＝3，OA＝OC，若B表示的数为x，则A表示的数为．（用含x的代数式表示）
16．已知a为整数，且3＜a＜5，则a等于．
三．解答题（共8小题）
17．（1）计算：﹣32+2tan60°−12+（3﹣π）0；（2）化简：2K1÷（2+2r12−1−1K1）．
18．计算：
（1）9+|−2|﹣（﹣1）2020﹣20；（2）（1r3+62−9）÷1r3．
19．计算：
（1）﹣12020+（π﹣3.14）0+（12）﹣2；（2）2x4y6﹣x2•（﹣2xy3）2．20．（1）计算：(12)−2−(−1)0+|12−4|+2cz0°．
（2）先化简，再求值：(1−1)÷K1r1−r2r1，其中x2+x﹣3＝0．
21．（1）计算：22+1（3.14﹣π）0﹣3cos45°1212．
（2）化简：（2+32−2）•42−162K1．
22．（1）计算：|﹣1|（2）化简：
23．先化简，再求值：，其中x＝﹣3+22．
24．先化简，再求值：（x﹣1），其中x的值从不等式组的整数解中选取．。