高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第2讲 抛体运动教学案(含解析)

第2讲 抛体运动
教材知识梳理
一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在________作用下的运动．
2．性质：属于匀变速曲线运动，其运动轨迹为________．
3．研究方法：分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的________两个分运动． 4．规律
(1)水平方向：________运动，v x ＝v 0，x ＝v 0t ，a x ＝0. (2)竖直方向：________运动，v y ＝gt ，y ＝12gt 2
，a y ＝g .
(3)实际运动：v ＝v 2
x ＋v 2
y ，s ＝x 2
＋y 2
，a ＝________． 二、类平抛运动
1．定义：加速度恒定、加速度方向与初速度方向________的运动． 2．性质：属于匀变速曲线运动，其运动轨迹为________．
3．研究方法：一般将类平抛运动沿________和加速度两个方向分解． 4．运动规律：与平抛运动类似．
答案：一、1.重力 2.抛物线 3.自由落体运动 4．(1)匀速直线 (2)自由落体 (3)g 二、1.垂直 2.抛物线 3.初速度
【思维辨析】
(1)平抛运动是匀变速曲线运动．( ) (2)平抛运动的加速度方向时刻在变化．( ) (3)平抛运动的竖直分运动是自由落体运动．( )
(4)做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角保持不变．( ) (5)做平抛运动的物体在任意相等的两段时间内的速度变化相同．( )
(6)对于在相同高度以相同速度平抛的物体，在月球上水平位移与在地球上水平位移相等．( ) 答案：(1)(√) (2)(×) (3)(√) (4)(×) (5)(√) (6)(×)
考点互动探究
考点一 平抛运动规律和推论的应用
1.水平射程和飞行时间 (1)飞行时间：由t ＝
2h
g
可知，飞行时间只与h 、g 有关，与v 0无关．
(2)水平射程：由x ＝v 0t ＝v 0
2h
g
可知，水平射程由v 0、h 、g 共同决定．
2．落地速度：v ＝v 2
x ＋v 2
y ＝v 2
0＋2gh ，与水平方向的夹角的正切tan α＝v y v x
＝2gh
v 0
，所以落地速度
与v 0、g 和h 有关．
3．速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图4­10­1所示．
图4­10­1
4．平抛运动的两个重要推论：
推论一：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β.
推论二：做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定过此时水平位移的中点，即图中B 点为OC 的中点．
图4­10­2
[2016·贵阳质量检测] 如图4­10­3所示，在同一平台上的O 点水平抛出的三个物体，分别落到
a 、
b 、
c 三点，则三个物体运动的初速度v a 、v b 、v c 的关系和三个物体运动的时间t a 、t b 、t c 的关系分别是
( )
图4­10­3
A ．v a >v b >v c ，t a >t b >t c
B ．v a <v b <v c ，t a ＝t b ＝t c
C ．v a <v b <v c ，t a >t b >t c
D ．v a >v b >v c ，t a <t b <t c 答案：C
[解析] 三个物体下落的高度h a >h b >h c ，根据h ＝12gt 2
知，t a >t b >t c .又知x a <x b <x c ，根据x ＝vt 知，a 的
水平位移最短，时间最长，则速度最小；c 的水平位移最长，时间最短，则速度最大，所以有v a <v b <v c ，故C 正确，A 、B 、D 错误．
1 [2016·福建质量检测] 如图4­10­4所示，将a 、b 两小球以不同的初速度同时水平抛出，
它们均落在水平地面上的P 点，a 球抛出时的高度比b 球的高，P 点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力．与b 球相比，a 球( )
图4­10­4
A ．初速度较大
B ．速度变化率较大
C ．落地时速度一定较大
D ．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大
答案：D [解析] 根据题述，两球水平位移相等．由于a 球抛出时的高度比b 球的高，由h ＝12gt 2
可
知，a 球飞行时间长，由x ＝v 0t 可知，a 球的初速度一定较小，选项A 错误．两球都只受重力作用，加速度都是g ，即速度变化率相同，Δv
Δt
＝g ，选项B 错误．小球落地时速度v 是水平速度与竖直速度的合速度，
a 球的初速度(水平速度)小，竖直速度大，所以不能判断哪个小球落地时速度较大，a 球落地时速度方向
与其初速度方向的夹角较大，选项C 错误，选项D 正确．
2 如图4­10­5所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q 点，已知QM＝
3 m，则小球运动的时间为(
)
图4­10­5
A．1 s B．2 s C．3 s D．4 s
答案：C [解析] 由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移s水平＝OM＝2QM＝6 m．由于水平方向做匀速直线运动，则小球在这段过程中运动的时间为t＝3 s.
考点二
考向一平抛与斜面体结合
(多选)[2016·广州模拟] 如图4­10­6所示，不计空气阻力，从O点水平抛出的小球抵达光滑斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动．下列说法正确的是( )
图4­10­6
A．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大
B．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的小
C．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速率将不变
D．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将不变
答案：BC
[解析] 小球做平抛运动时，加速度为重力加速度g，在斜面上运动时，加速度为a＝g sin α(α为斜面的倾角)，选项A错误，选项B正确；小球平抛后又紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，小球在斜面上所受的弹力对小球不做功，整个过程只有重力做功，而撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，整个过程也只有重力做功，两种方式小球机械能守恒，所以小球落地速率将不变，选项C正确；当在斜面上运动时，由运动的合成与分解知，小球在竖直方向的加速度小于重力加速度g，所以撤去斜面后，小球落地时间变短，选项D错误．
(多选)[2016·石家庄调研检测] 如图4­10­7所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点．不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图4­10­7
A．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan θ＝2tan φ
B．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝2tan θ
C．小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ∶1
D．小球A、B在空中运动的时间之比为tan2θ∶1
答案：BC [解析] 由题图可知，斜面的倾角θ等于小球A落在斜面上时的位移与水平方向的夹角，由平抛运动的推论可知，tan φ＝2tan θ，选项A错误，选项B正确；设小球A在空中运动的时间为t1，
小球B 在空中运动的时间为t 2，则由平抛运动的规律可得tan θ＝12gt 21v 0t 1，tan θ＝v 0gt 2，故t 1t 2＝2tan 2 θ
1，
选项C 正确，选项D 错误．
考向二 平抛运动与弧面结合
] 如图4­10­8所示，竖直平面内有一段圆弧MN ，小球从圆心O 处水平抛
出．若初速度为v a ，小球将落在圆弧上的a 点；若初速度为v b ，小球将落在圆弧上的b 点．已知Oa 、Ob 与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，则(
)
图4­10­8
A.v a v b ＝sin α
sin β B.v a v b ＝cos βcos α C.v a v b ＝cos βcos α·sin α
sin β D.v a v b ＝sin αsin β
·cos β
cos α
答案：D
[解析] 小球水平抛出，做平抛运动，若落到a 点，则有R sin α＝v a t a ，R cos α＝12gt 2
a ，解得v a ＝
gR 2cos α·sin α；若落到b 点，则有R sin β＝v b t b ，R cos β＝12
gt 2
b ，解得v b ＝
gR
2cos β
·sin β，
故v a v b ＝sin αsin β·cos β
cos α
如图4­10­9所示，水平路面出现了一个地坑，其竖直截面为半圆．AB 为沿水平方向的直径．一
辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v 1、v 2从A 点沿AB 方向水平飞出，分别落于C 、D 两点，C 、D 两点距水平路面的高度分别为圆弧半径的0.6倍和1倍，则v 1∶v 2的值为(
)
图4­10­9
A. 3
B.
35 C.3155 D.33
5
答案：C [解析] 设圆弧的半径为R ，根据平抛运动规律得x 1＝v 1t 1，x 2＝v 2t 2，联立得v 1
v 2＝
x 1t 2
x 2t 1
＝
（R ＋0.8R ）t 2Rt 1＝1.8t 2t 1.小球竖直方向上做自由落体运动，有y 1＝12gt 21，y 2＝12gt 22，解得t 1t 2＝y 1
y 2
，其中y 2＝R ，
y 1＝0.6R ，则有t 1t 2＝y 1y 2
＝0.6，故v 1v 2＝3155，选项C 正确．
■ 模型点拨
解答此类问题要注意以下几方面工作：(1)做好运动模型的确定，例如本题为平抛运动；(2)及时应用合成与分解的思想进行定量的分析和计算；(3)准确分析平抛运动的轨迹(抛物线)与题目背景相关的空间几何关系，必要时可以通过辅助线或转换观察方向的思想灵活求解．
考点三 平抛运动综合问题
关于平抛运动与其他运动形式(如匀速直线运动、竖直上抛运动、自由落体运动、圆周运动等)综合的题目，在这类问题的分析中要注意平抛运动与其他运动在时间上、位移上、速度上的相关分析．
如图4­10­10所示，离地面高h 处有甲、乙两个小球，甲以初速度v 0水平射出，同时乙以初速度
v 0沿倾角为45°的光滑斜面滑下．若甲、乙同时到达地面，则v 0的大小是( )
图4­10­10
A.
gh
2
B.gh
C.
2gh
2
D ．2gh 答案：A
[解析] 甲做平抛运动，水平方向上为匀速运动，竖直方向上为自由落体运动，根据h ＝12gt 2
得t ＝
2h
g
，根据几何关系可知x 乙＝2h ，乙做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得a ＝
F 合m ＝mg sin 45m ＝22
g ，根据位移公式得x 乙＝v 0t ＋12
at 2，联立解得v 0＝
gh
2
，选项A 正确．
1 [2016·沈阳质检] 如图4­10­11所示，斜面固定在水平面上，两个小球分别从斜面底端O 点正上方A 、B 两点向右水平抛出，B 为AO 连线的中点，最后两球都垂直落在斜面上，则A 、B 两球击中斜面位置到O 点的距离之比为( )
图4­10­11
A.2∶1 B ．2∶1 C ．4∶ 2 D ．4∶1
答案：B [解析] 设落到斜面上的位置分别为P 、Q ，由题意知，落到斜面上时两小球的速度与水平面的夹角相等，根据平抛运动的推论知，位移AP 、BQ 与水平面的夹角也相等，则△POA 与△QOB 相似，对应边成比例，B 正确．
2 如图4­10­12所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m ＝1 kg 的凹形小滑块，小滑
块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v 从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以速度v 0水平抛出，经过0.4 s ，小球恰好垂直斜面落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2
，求：
(1)小球水平抛出的速度v 0的大小； (2)小滑块的初速度v 的大小．
图4­10­12
答案：(1)3 m/s (2)5.35 m/s
[解析] (1)设小球落入凹槽时竖直速度为v y ，则
v y ＝gt ＝10×0.4 m/s ＝4 m/s v 0＝v y tan 37°＝3 m/s.
(2)小球落入凹槽时的水平位移
x ＝v 0t ＝3×0.4 m ＝1.2 m
则小滑块的位移为s ＝ 1.2
cos 37° m ＝1.5 m
小滑块上滑时，由牛顿第二定律有
mg sin 37°＋μmg cos 37°＝ma
解得a ＝8 m/s 2
根据公式s ＝vt －12at 2
解得v ＝5.35 m/s.
■ 方法技巧
对于多体运动问题的相关分析，要注意以下几点：(1)做好每一个单个物体的运动分析；(2)找好物体运动在时间上的关系，是同时开始运动还是有时间差；(3)找好物体运动在空间上的关系．
考点四 平抛临界范围问题
[2016·浙江卷] 在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图4­10­13所示．P 是一个
微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .(重力加速度为g )
(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
(3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系．
图4­10­13
[解析] (1)对于打在中点的微粒，有 32h ＝12gt 2 解得t ＝
3h
g
(2)对于打在B 点的微粒，有
v 1＝L t 1
2h ＝12gt 2
1
解得v 1＝L
g 4h
同理，打在A 点的微粒初速度v 2＝L g 2h 故微粒初速度范围为L g
4h
≤v ≤L g 2h
(3)由能量关系得 12mv 22＋mgh ＝12
mv 21＋2mgh
联立解得L ＝22h
[2015·全国卷Ⅰ] 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图4­10­14所示．水平台面的长和宽分
别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )
图4­10­14
A.L 1
2g
6h <v <L 1g 6h
B.L 1
4
g h <v <（4L 2
1＋L 2
2）g
6h
C.L 1
2
g 6h <v <12（4L 2
1＋L 2
2）g
6h
D.
L 1
4
g h <v <12
（4L 2
1＋L 22）g
6h
答案：D [解析] 当球落到右侧角上的时候，设飞行时间为t 1，有3h ＝12gt 2
1，得t 1＝
6h
g
，t 1时间
内的水平位移为x 1＝
L 21
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫L 222
＝L 21
＋L 22
4，发射速度为v 1＝x 1t 1＝1
2
（4L 21＋L 2
2）g
6h
；当球刚好擦网落
到台面中间线上的时候，设飞行时间为t 2，有3h －h ＝12gt 2
2，得t 2＝2
h g ，t 2时间内的水平位移为x 2＝L 12
，发射速度为v 2＝x 2t 2＝L 1
4
g
h
，则v 2<v <v 1，所以D 正确． 考点五 斜抛运动
关于斜抛物体的运动问题，可利用运动的对称性和可逆性进行转化，通过平抛运动的知识求解，例如斜抛运动可以分成式从最高点开始的两个对称的平抛运动进行处理，应注意对整个物理过程进行分析，形成清晰的物理情景．
] 有A 、B 两小球，B 的质量为A 的两倍．现将它们以相同速率沿同一方向抛出，
不计空气阻力．图4­10­15中①为A 的运动轨迹，则B 的运动轨迹是( )
图4­10­15
A．① B．② C．③ D．④
答案：A
[解析] 抛体运动的加速度始终为g，与物体的质量无关．当将它们以相同速率沿同一方向抛出时，运动轨迹应该相同，故选项A正确．
如图4­10­16所示，从水平地面上不同位置斜抛出的三个小球沿三条不同的路径运动最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的．若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )
图4­10­16
A．沿路径1抛出的小球落地的速率最小
B．沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长
C．三个小球抛出的初速度的竖直分量相等
D．三个小球抛出的初速度的水平分量相等
答案：C [解析] 根据运动的合成与分解，将初速度分解为竖直方向和水平方向的分速度，设初速度方向与竖直方向的夹角为θ，则小球初速度的竖直分量v竖＝v0cos θ，根据小球的运动轨迹可知，三个小球沿竖直方向的分运动相同，根据竖直上抛运动特点可知，三个小球在空中运动时间相同，B错误，C 正确；由于θ1＞θ2＞θ3，故v01＞v02＞v03，落地时重力做功为零，所以落地时的速率与初速度的大小相同，A错误；小球初速度的分量v水平＝v0sin θ，可知沿路径1抛出的小球初速度的水平分量最大，D错误．■ 规律总结
通过运动的合成与分解研究斜抛运动，这是研究斜抛运动的基本方法，通过这样定量的分析可以有效提高对斜抛运动的认识，所以必须了解斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例)．
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，a x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，a y＝g.
图4­10­17
【教师备用习题】
1．[2015·山东卷] 距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图所示．小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，重力加速度的大小g 取10 m/s2.可求得h等于( )
A．1.25 m B．2.25 m C．3.75 m D．4.75 m
[解析] A 从A点“自由卸下”的小球做平抛运动，下落时间t A＝2H
g
＝
2×5
10
s＝1 s．小车从A
点运动到B点所用时间t AB＝x AB
v
＝ 0.5 s．悬挂在B点的小球做自由落体运动，下落时间t B＝
2h
g
，
根据t B＝t A－t AB，可解得h＝1.25 m，选项A正确．
2．如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由以上条件不能算出( )
A．轰炸机的飞行高度
B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间
D．炸弹被投出时的动能
[解析] D 根据题述，有tan θ＝v
gt ，x＝vt，tan θ＝
h
x
，H＝h＋y，y＝
1
2
gt2，由此可算出轰炸机的
飞行高度H、轰炸机的飞行速度v、炸弹的飞行时间t.由于题中没有给出炸弹质量，所以不能算出炸弹被投出时的动能，故D正确．
3．[2014·浙江卷] 如图所示，装甲车在水平地面上以速度v0＝20 m/s沿直线前进，车上机枪的枪管
水平，距地面高为h ＝1.8 m ．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L 时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v ＝800 m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s ＝90 m 后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g 取10 m/s 2
)
(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；
(2)当L ＝410 m 时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离； (3)若靶上只有一个弹孔，求L 的范围．
[答案] (1)209
m/s 2
(2)0.55 m 0.45 m (3)492 m<L ≤570 m
[解析] (1)装甲车加速度a ＝v 202s ＝209
m/s 2
.
(2)第一发子弹飞行时间t 1＝
L
v ＋v 0
＝0.5 s
弹孔离地高度h 1＝h －12
gt 2
1＝0.55 m
第二发子弹的弹孔离地的高度h 2＝h －12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫L －s v 2
＝1.0 m
两弹孔之间的距离Δh ＝h 2－h 1＝0.45 m.
(3)第一发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为
L 1＝(v 0＋v )
2h
g
＝492 m
第二发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为
L 2＝v
2h
g
＋s ＝570 m
L 的范围是492 m<L ≤570 m.。