直线与椭圆的位置关系-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)

直线与椭圆的位置关系
【母题来源一】【2019年高考浙江卷】已知椭圆22
195
x y +=的左焦点为F ，
点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是______________．
【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点，
由题意可知||=|2OF OM |=c =， 由中位线定理可得1|2|||4PF OM ==， 设(,)P x y ，可得2
2
(2)16x y -+=，
与方程22
195
x y +=联立，可解得32x =-或212x =
（舍去）， 又点P 在椭圆上且在x
轴的上方，求得3(,22
P -
，
所以212
PF
k ==
方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得1|2|||4PF OM ==，
即342
p p a ex x -=⇒=-
，
从而可求得3(,22
P -
，
所以212
PF
k ==
【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径．结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解．也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁．
【母题来源二】【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆22
(1)4
y m m x +=>上两点A ，
B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，则当m =______________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5
【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由2AP PB =u u u r u u u r
得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-， 因为A ，B 在椭圆上，
所以22114x y m +=，22224
x y m +=，
所以2
2224(23)4x y m +-=，
所以2
24
x +22324()m y -=，
与22
224x y m +=对应相减得234m y +=
， 2
221(109)44
x m m =--+≤，
当且仅当5m =时取最大值．
【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般
思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．
【命题意图】
通过考查椭圆的标准方程、简单几何性质及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想的运用和运算求解能力． 【命题规律】
椭圆问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以椭圆的标准方程、离心率及直线与椭圆的位置关系为主，注意椭圆的定义和圆、向量等的结合，注意题中隐含条件的挖掘． 【答题模板】
1．直线与椭圆的弦长问题有三种解法
（1）过椭圆的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．
2．此类问题离不开根与系数的关系，因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与椭圆的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决椭圆综合问题的重要方法之一，尤其是弦中点问题、弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 【方法总结】
1．椭圆定义的集合语言：1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余
弦定理．以椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上一点00(),P x y 0(0)y ≠和焦点F 1 (－c ，0)，F 2 (c ，0)为顶点的
12PF F △中，若12F PF θ∠=，注意以下公式的灵活运用：
（1）12||2PF PF a +=；
（2）222
121242||||cos ||||c PF PF PF PF θ⋅=+－；
（3）12121
·sin 2
||||PF F S PF PF θ=
△． 2．求椭圆的方程有两种方法
（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． （2）待定系数法．这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断．根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）．
第二步，设方程．根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22
221(0)y x a b a b
+=>>．
第三步，找关系．根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）． 第四步，得椭圆方程．解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨
论或把椭圆的方程设为22
100()mx ny m n m n >>+≠＝
，且． 3．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ，c ，代入公式c
e a
=
． （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）． 4．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，
则弦长1212||(0)＝AB x x y y k =-=-≠． （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． 5．中点弦问题
AB 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜
率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值2
2b a
-．
6．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解． 7．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了．
1．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】已知椭圆C ：2214
x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为
负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC △的重心，且BMA △与CMO △的面积之比为32
，则直线BC 的斜率为
A ．4-
B ．14-
C ．6
-
D ．3
-
【答案】C
【分析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ，(0,)M m ，33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+，由BMA △与
CMO △的面积之比为
3
2，可得2BM MC =u u u u r u u u u r 1220x x ⇒+=；联立22
44
y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩2236k m =2214m k -+，利用原点O 是ABC △的重心，得31228()14km x x x k =-+=
+，3
2
214m
y k =-+，由22
3344x y +=22144k m ⇒+=，由此可得k 的值．
【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ，(0,)M m ，33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+， 因为原点O 是ABC △的重心，所以BMA △与CMO △的高之比为3，
又BMA △与CMO △的面积之比为
3
2
，则2BM MC =， 即2BM MC =u u u u r u u u u r
1220x x ⇒+= ①，
联立22
44
y kx m
x y =+⎧⇒⎨+=⎩222(41)8440k x mkx m +++-=， 则122814km x x k -+=+，2122
44
14m x x k
-=+ ②， 由①②整理可得22223614m k m k =-+ ③， 因为原点O 是ABC △的重心， 所以31228()14km x x x k =-+=
+，321122
2()[()2]14m
y y y k x x m k
=-+=-++=-+． 因为22
3344x y +=，
所以2222
22
82(
)4()41441414km m k m k k
-+=⇒+=++ ④． 由③④可得2
112
k =，
因为0k <，所以k =． 故选C ．
【名师点睛】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，根与系数关系的应用，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．
2．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷】已知过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点且斜
率为
b
a
的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若椭圆上存在一点P ，满足OA OB OP ++=0u u u r u u u r u u u r （其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为
A ．
2 B ．
3
C D ．
12
【答案】A
【分析】根据平方差法得到直线OM 的方程为b
y x a
=-
，联立方程组，解得点P 的坐标，再根据OA OB OP ++=0u u u r u u u r u u u r ，得2OP OM
=-u u u r u u u u r ，把点(,)bc
P c a
-代入椭圆的方程，即可求解离心率． 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，
由题意知2211221x y a b +=，22
22
221x y a b
+=，
两式相减得1212121222
()(()()0)
x x x x y y y y a b +-+-+=，
则1212220AB x x y y
k a b
+++⋅=，
而AB b
k a =，所以0022
0x y a b
+=， 所以直线OM 的方程为b
y x a
=-，
联立b y x a =-与()b y x c a =+，解得2P c x =-，2P bc
y a
=，
又OA OB OP ++=0u u u r u u u r u u u r ，所以2OP OM =-u u u r u u u u r ，
所以点(,)bc
P c a
-
代入椭圆的方程，得222a c =，
所以c e a =
=
， 故选A ．
【名师点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
（1）求出a ，c ，代入公式c
e a
=
； （2）只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，转化为a ，c 的齐次式，然后转化为关于e 的
方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．
3．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知点F 1，F 2是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为
椭圆上的动点，动点Q 在射线F 1P 的延长线上，且|PQ uuu r |=|2PF u u u u r |，若|PQ uuu r
|的最小值为1，最大值为9，
则椭圆的离心率为
A ．35
B ．
13 C ．45
D ．19
【答案】C
【分析】利用|PQ uuu r
|的最小值为1，最大值为9，可得a ，c 的值，从而可得椭圆的离心率．
【解析】因为2||,||PQ PF PQ =u u u r u u u u r u u u r
的最小值为1，最大值为9，
∴|PF 2|的最大值为a +c =9，最小值为a -c =1，∴a =5，c =4， ∴椭圆的离心率为45
c e a ==， 故选C ．
4．【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟】椭圆x 24
+y 2=1
上存在两点，A ，B 关于直线4x −2y −3=0对称，若O 为坐标原点，则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |= A ．1 B ．√3 C ．√5
D ．√7
【答案】C
【分析】由题意设直线AB 的方程为y =−1
2x +m ，与椭圆方程联立后求得到点A ，B 的坐标与参数m 的关系，然后根据A ，B 的中点在直线4x −2y −3=0上求出参数m 的值，进而得到点A ，B 的坐标，进而得到向量OA
⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，于是可得结果． 【解析】由题意直线AB 与直线4x −2y −3=0垂直， 设直线AB 的方程为y =−1
2x +m ．
由{y =−1
2x +m
x 2
4+y 2=1 消去y 整理得x 2−2mx +2m 2−2=0， ∵直线AB 与椭圆交于两点，
∴Δ=(−2m)2−4(2m 2−2)=−4m 2+8>0，解得−√2<m <√2． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为M(x 0，y 0)，
则x 1+x 2=2m ， ∴x 0=
x 1+x 22
=m ，y 0=−12x 0+m =m
2
，
∴点M 的坐标为(m ，m
2)．
由题意得点M 在直线4x −2y −3=0上， ∴4m −2×
m 2
−3=3m −3=0，解得m =1．
∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=−1
2(x 1+x 2)+2m =1， ∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2，1)，∴|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5． 故选C ．
5．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末考试】已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率e
的取值范围为
，直线1y x =-+交椭圆于点M ，N ，O 为坐标原点且OM ON ⊥，则椭圆长轴长的取值范围是 A
． B
． C
．
D
．
【答案】C
【分析】根据题意，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和斜率的数量积得2
2
2
21
a b a =-，再根据离心率公式可得2
2
21b e a
=-，化简变形即可得答案．
【解析】联立方程22
221 1
y x x y a b =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222222
()20(1)a b x a x a b +-+-=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则212222a x x a b +=+，221222
(1)
a b x x a b -=+，
由OM ON ⊥，可得12120x x y y +=，
所以1212((1)10)x x x x +--=，化简可得1212()10x x x x -++=，
所以2222222
(1)210a b a a b a b --+=++，化简可得22
2
21a b a =-，
因为c e a ==22
21b e a =-，
因为
e ∈，所以211
[,]32
e ∈， 所以22111[,]32b a -∈，所以2212
23
b a ≤≤，
所以
21122213a ≤≤-，所以25342a ≤≤，
a ≤≤
2a ≤≤
所以椭圆的长轴长的取值范围为， 故选C ．
【名师点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意充分利用根与系数的关系进行分析，属于中档题．
6．【2018年11月浙江省学考】已知O 为坐标原点，B 与F 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的上顶点与
右焦点，若||||OB OF =，则该椭圆的离心率是______________．
【答案】
2
【分析】根据椭圆的性质，可推出b c =，转化求解椭圆的离心率即可．
【解析】O 为坐标原点，B 与F 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的上顶点与右焦点，
若||||OB OF =，可得b c =，则a =，
所以该椭圆的离心率2
c e a =
=
． 【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，熟练掌握椭圆a ，b ，c 之间的关系是解决本题的关键．
7．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的两个顶点
(,0)A a ，(0,)B b ，过A ，B 分别作AB 的垂线交该椭圆于不同于的C ，D 两点，若2||3||BD AC =，
则椭圆的离心率是______________．
【答案】
3
【分析】先求出C ，D 两点坐标，再根据弦长公式化简2||3||BD AC =，解得离心率． 【解析】过A 作AB 的垂线的方程为()a
y x a b
=
-， 与22221x y a b +=联立方程组解得4444
()C a a b x a b
-=+， 过B 作AB 的垂线的方程为a
y x b b
=
+， 与22221x y a b +=联立方程组解得3244
2D a b x a b
-=+， 因为2||3||BD AC =，所以2|0|3||D C x x a -=-，
所以324444
4
432a b a b a b a b
⨯=++，所以22222333a b a c ==-，
所以223a c =，所以2
13e =
，所以3
e =． 【名师点睛】本题考查椭圆的离心率，考查综合分析与求解能力，属中档题．
8．【浙北四校2019届高三12月模拟考试】如图，已知1F ，2F 分别是椭圆22
143
x y +=的左，右焦点，A ，
B ，
C 是椭圆上x 轴上方的三点，且12AF BO CF P P （O 为坐标原点），则12|||
|
AF CF OB +的取值范围是
______________．
【答案】2)
【分析】延长2CF 交椭圆于D ，有对称性可知当CD 垂直于x 轴时，比值最小，当倾斜角为0时比值最大，但取不到．
【解析】延长2CF 交椭圆于D ，有对称性可知12||||AF CF CD +=，
当CD 垂直于x 轴时，
||
||CD OB 最小，此时
||||CD OB == 当倾斜角为0时比值最大，此时
||4
2||2
CD OB ===2，但取不到．
故
12|||
|
AF CF OB +的取值范围是2)．
【名师点睛】本题考查椭圆的对称性的运用，考查小题小做的技巧，是中档题．
9．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知F 是椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，直线
b y x a
=
交椭圆于A ，B 两点，若cos ∠AFB 1
3=，则椭圆C 的离心率是______________．
【分析】设椭圆的左焦点为1F ，1AF m =，AF n =，由对称性结合余弦定理在1AF F △中，得到23mn b =，联立直线与椭圆，求得弦长||AB ，在AFB △中，由余弦定理得到22
3344
mn a b -=，可得a ，
b 的关系，即可计算离心率e ．
【解析】如图，设椭圆的左焦点为1F ，由对称性可知，11
cos cos 3
F AF AFB ∠=-∠=-
， 设1AF m =，AF n =，在1AF F △中，由余弦定理可得22
21(2)co 2s m n mn c F AF =+-∠，
又2m n a +=，所以
2244
43
mn a c -=，即23mn b =， 联立直线b y x a =与椭圆22
221x y a b
+=，
可得A ），B （,）
，则||AB =
又在AFB △中，由余弦定理可得2222
28
22co 2s ()3
a b AFB m n m n n n m m =+-+∠=+-
， 所以22
3344mn a b -=
， 所以222
3344
3a b b =-，即222254a b b b ==+，
所以224c b =，所以e =
．
【名师点睛】本题考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了焦点三角形问题，涉及余弦定理，考查了运算能力，属于中档题．
10．【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟考试】已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为
(1,0)F ，其关于直线y bx =的对称点Q 在椭圆上，则离心率e =______________，FOQ S =
△______________．
12
【分析】设出Q 的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．
【解析】设Q （m ，n ），
由题可得
11n m b =-- ①，122n b m c +=⋅ ②，22
221m n a b += ③， 由①②可得2
2
1b m a
-=，22b n a =， 代入③可得2422
(441)41e e e e -++=，即62410e e +-=．
即64422422210e e e e e -+-+-=，即2
4
2
(21)(21)0e e e -++=，
解得2
e =
，所以a =1b =，1c =， 所以()0,1Q ，所以FOQ △是等腰直角三角形， 所以111122
FOQ S =
⨯⨯=△． 【名师点睛】（1）本题主要考查椭圆的简单几何性质和对称问题，意在考查学生对这些基础知识的转化能力和分析能力；（2）求点11(,)A x y 关于直线l ：y kx b =+的对称点22(,)B x y 时，由于直线l 是AB 的垂直平分线，所以只需解方程12
121y y k x x -⨯
=--且121222
y y x x k b ++=⋅+即可．
11．【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试】椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，直线11:2l y x =-，直线
21
:2
l y x =
，P 为椭圆上任意一点，过P 作1PM l P 且与直线2l 交于点M ，作2PN l P 且与1l 交于点N ，若22||||PM PN +为定值，则椭圆的离心率为______________．
【解析】令2
2
||||PM PN t +=（t 为常数），设112211
(,
)(),,22M x x N x x -， 由平行四边形知识，222222
125||||||()4
||PM PN OM ON x x t +=+=+=，
设点(,)P x y ，因为121211
(,)22
OP OM ON x x x x =+=+-u u u v u u u u v u u u v ，
所以12
2222
1212
842()11522x x x x y x x t y x x =+⎧⎪⇒+=+=⎨=-⎪⎩
，
此方程即为椭圆方程，所以椭圆的离心率2
e =
． 【名师点睛】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系以及椭圆离心率的求法，属于中档题；设112211
(,
)(),,22M x x N x x -，根据平行四边形知识可将22||||PM PN +为定值得到椭圆方程228
45
x y t +=，即可得到椭圆的离心率．
12．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】直线l 与椭圆2
2:12
x C y +=相交于A ，B 两点，l 与
x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点．如果C ，D 是线段AB 的两个三等分点，则直线l 的斜率为
______________．
【答案】2
±
【分析】设直线l 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，C ，D 是线段AB 的两个三等分点，则线段AB 的中点与线段CD 的中点重合，得到关系式求出斜率．
【解析】由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则(,0)m
C k
-
，(0,)D m ， 将y kx m =+代入2
212x y +=，可得222(12)4220k x kmx m +++-=，
则2
2
16880k m ∆=-+>，122412km x x k -+=+，2122
22
12m x x k
-=+， 因为C ，D 是线段AB 的两个三等分点， 所以线段AB 的中点与线段CD 的中点重合，
所以1224012km m x x k k -+=
=-+，解得k =． 【名师点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，由题目中“C ，D 是线段AB 的两个三等分点”出发，联立直线方程与椭圆方程，求得线段中点坐标，得到方程求出结果，解题关键是找出相等的量．。