必修4 第二章 平面向量(北师大版)

富县高级中学集体备课教案
年级: 科目：数学授课人：
课题从速度的倍数到数乘向量1第课时
教学目标1.掌握数与向量积的定义以及运算律，理解其几何意义；
2.了解向量的线性运算及其几何意义；了解两个向量共线的判定定理及性质定理；
3.了解平面向量的基本定理及其意义
重点理解实数与向量积的定义、运算律，向量共线的判定、性质
以及基本定理
中
心
发
言
人
雷俊侠
难点理解向量共线的判定定理和性质定理以及平面向量基本定理
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教学过程知识链接:
1．思考: （引入新课）已知非零向量a
，作出a
+a
+a
和(-a
)+(-a
)+(-a
)
讨论：①3a
与a
方向相同且|3a
|=3|a
|
②-3a
与a
方向相反且|-3a
|=3|a
|
2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量a
的积，记作：λa
定义：实数λ与向量a
的积是一个向量，记作：λa
①|λa
|=|λ||a
|
②λ>0时λa
与a
方向相同；λ<0时λa
与a
方向相反；λ=0时λa
=0（请学生自己解释其几何意义）
新知探究：
思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的
积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生
．．．．．．．．．．．
的实际水平决定）
．．．．．．．．
结合律：① 第一分配律： ② 第二分配律： ③
（师生共同分析向量共线的充要条件）若有向量
a (a ≠0)、
b ，实数λ，使b =λa
则由实数与向
量积的定义知：a 与b
为共线向量
若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a
|=μ，则当
a 与
b 同向时b =μa ；当a 与b 反向时b =-μa
从而得：向量b 与非零向量a
共线的充要条件
是：有且只有一个非零实数．．．．．．．．．．
λ，使b =λa
. 学以致用：
例1：化简⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+-)76(4131)34(32b a b b a
例2：设)(2
1,,b a OC b OB a OA +===，求证：AB
∥BC
作业布置：
心得感悟：本节课你学到了哪些知识和方法？
教后 反思
审核人签字： 年 月 日
富县高级中学集体备课教案
年级: 科目：数学授课人：
课题从速度的倍数到数乘向量2第课时
教学目标1.掌握数与向量积的定义以及运算律，理解其几何意义；
2.了解向量的线性运算及其几何意义；了解两个向量共线的判定定理及性质定理；
3.了解平面向量的基本定理及其意义
重点理解实数与向量积的定义、运算律，向量共线的判定、性质
以及基本定理
中
心
发
言
人
雷俊侠
难点理解向量共线的判定定理和性质定理以及平面向量基本定理
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教学过程新知探究：
如图1，同一平面上，是
两个不共线向量，是这一平面内任意一向量，与的关系:
（1）平移向量，使它们起点重合于O，作．
（2）把向量在，方向上分解，过作交于，作交于．（3）由共线向量的充要条件得出什么结论？（，）
12
e e
，
a
a
12
e e
，
12
a e e
，，
12
OA e OB e OC a
= = =
，，
a
OA
OB
C CN OA
OB N CM OA
OA M
11
OM e
λ
=
22
ON e
λ
=
A
O N
B
C
M
λ1e1
e1
λ2e2e2
e2
a
e1
2—3—9
图1
（4）再由向量的平行四边形法则得出什么结论？
（
）
平面向量的基本定理 1． 定理: 2． 基底:
学以致用：
例1：知向量是一组基底，求向量
课堂检测：
1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分
别是DC 和AB 的中点，若AB →
＝a ，AD →
＝b ，试用a 、b 表示DC →、BC →、MN →.
作业布置：
心得感悟：本节课你学到了哪些知识和方法？
教后 反思
审核人签字： 年 月 日
富县高级中学集体备课教案
1a OC OM ON e e
λλ==+=+ 12e e
，122.53z e e =-+
2—3—10
3e 2
-2.5e 1e 2
e 1
C
B
O
A
图2
年级: 科目：数学授课人：
课题从位移、速度、力到向量第课时
教学目标1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
2. 掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系；
3. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
重点向量的概念，向量的几何表示中
心
发
言
人
雷俊侠
难点向量的概念和共线向量的概念
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教学过程知识链接:
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。

问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度
再快也没用，因为方向错了.
新知探究：
1．学生阅读教材思考如下问题
（1）举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等。

2、向量的表示方法有哪些？
①几何表示法：有向线段
有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。

记作：−→
−
AB
3、向量的模的概念是如何定义的？
向量
−→
−
AB的大小——长度称为向量的模。

记作：|
−→
−
AB |模是可以比较大小的
A
A(起点)
B
（终点）
a
4、两个特殊的向量：
5、向量间的关系：
学以致用：
例1：一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B
点，然后又改变方向向
西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，
向东行驶了100 km 到
达D 点． (1)作出向量,,AB BC CD (2)求||AD
课堂检测：
1.下列说法正确的是 ( )
A ．方向相同或相反的向量是平行向量
B ．零向量的长度是0
C ．长度相等的向量叫相等向量
D ．共线向量是在同一条直线上的向量
2. 如图，以1³2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
(1)写出与,AF AE
相
等的向量；
(2)写出与AD
模相等
的向量．
作业布置：
心得感悟：本节课你学到了哪些知识和方法？
教后 反思
审核人签字： 年 月 日
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年级: 科目：数学 授课人：
课题从位移位移的合成到向量的加法第课时
教学目标1.掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。

重点用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量中
心
发
言
人
雷俊侠
难点理解向量加法的定义
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教学过程知识链接:
1.复习：向量的定义以及有关概念
2.情景设置：
新知探究：
1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2、三角形法则（首尾相接）
3．加法的交换律和平行四边形法则
4．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 证：使a
AB=，b
BC=，c
CD=
则(a+b) +c=AD
CD
AC=
+，a+ (b+c) = AD
BD
AB=
+∴(a+b) +c=a+ (b+c)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
学以致用：
例1：化简下列各式(1)=++→
→→AB BC CD ;
(2)在平行四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,则
①=+→→AB AD ②=++→
→→DO AC CD ③=++→
→
→
CD AD AB ④=++→
→
→
DA BA AC 变式：在平行四边形ABCD 中，下列各式中不成立的是
1）+=
AB BC CA 2）
+=
AB AC BC
3）+=
AC BA AD 4）
+= AC AD DC
作业布置：
心得感悟：本节课你学到了哪些知识和方法？
教后 反思
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年级: 科目：数学 授课人： 课 题
向量的减法
第 课时
教学目标1.明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；
2.能利用向量减法的运算法则解决有关问题；理解向量加法的定义；
3.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。

重点向量的减法的定义，作两个向量的差向量中
心
发
言
人
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难点对向量减法定义的理解
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教学过程知识链接:
问题在小船过河时，河水流动的速度为，小船欲实际沿垂直河岸的方向，以行驶速度过河，试求小船过河自身行驶速度的大小和方向．
新知探究：
1、向量减法的定义
相反向量
2、向量的减法
向量加上向量的相反向量，叫作与的差，即.
求两个向量差的运算，叫作向量的减法．
3、求两个向量的差
小结：（把向量与的）起点重合（在点处，那么从向量的终点）
指向被减向量（）的终点（，得到的向量就是向量－）．
学以致用：
例1：已知向量，，，求作向量－＋．
1
/
v km h
2
/
v km h
a
b
a
b
()
a b a b
-=+-
a
b
O
b
B
a
A BA
a
b
a
b
c
a
b
c
例2：
化简: (1)_____=-→→AD AB (2)_____=-→
→OA OD (3)____=--→
→→DC AD AB (4)MN PN PM +-=_______ 课堂检测：
1．在菱形ABCD 中，下列各式中成立的是 1）-=
AC AB BC 2）-=
AD BD AB 3）-
= BD AC BC 4）-=
BD CD BC
2. 在△ABC 中，向量
BC 可表示为 ①-
AB AC ②- AC AB ③+
BA AC ④
-
BA CA
作业布置：
心得感悟：本节课你学到了哪些知识和方法？
教后 反思
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富县高级中学集体备课教案
年级: 科目：数学 授课人： 课 题
平面向量的坐标表示
第 课时
教学目标（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
重点平面向量的坐标运算中
心
发
言
人
雷俊侠
难点向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
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教学过程一、复习引入：
平面向量基本定理：
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
2．平面向量的坐标运算
（1）若)
,
(
1
1
y
x
a=，)
,
(
2
2
y
x
b=，则
b
a+)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x+
+
=，
b
a
)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x-
-
=
（2）若)
,
(
1
1
y
x
A，)
,
(
2
2
y
x
B，则
()
1
2
1
2
,y
y
x
x
AB-
-
=
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
AB=OB-OA=( x2，y2)- (x1，y1)= (x2- x1，y2- y1) （3）若)
,
(y
x
a=和实数λ，则)
,
(y
x
aλ
λ
λ=.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即
),(y x a λλλ=
三、讲解范例： 例 1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求
AB
的坐标.
例2 已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a
+4b
的坐标.
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且2
1
=
MP MN ， 求P 点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，则AB -2
BC =.
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，求证：四边形ABCD 是梯形. 五、小结 六、课后作业
教后 反思
审核人签字： 年 月 日
富县高级中学集体备课教案
年级: 科目：数学 授课人：
课题平面向量平行的坐标表示第课时
教学目标（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线
重点平面向量的坐标运算中
心
发
言
人
雷俊侠
难点向量的坐标表示的理解及运算的准确性
教具课型课时安排课时教法学法个人主页
教学过程一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
2．平面向量的坐标运算
二、讲解新课：
a
∥b
(b
≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0
设a
=(x1，y1) ，b
=(x2，y2) 其中b
≠a
.
由a
=λb
得，(x1，y1) =λ(x2，y2)
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
2
1
2
1
y
y
x
x
λ
λ消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵b
≠0∴x2，y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成
2
2
1
1
x
y
x
y
=
∵x1，x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a
∥b
(b
≠0)
1
2
2
1
=
-
=
⇔
y
x
y
x
b
aλ
三、讲解范例：
例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b
，求y.
例2已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 四、课堂练习：
1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.8
2.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ）
A.-3 B .-1 C.1 D.3 3.若AB =i +2j ， DC =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）
A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y =. 5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为.
6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x =. 五、小结 六、课后作业
教后 反思
审核人签字： 年 月 日
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年级: 科目：数学 授课人：
课题从力做的功到向量的数量积第课时
教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
重点平面向量的数量积定义中
心
发
言
人
雷俊侠
难点平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
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教学过程一、复习引入：
1．向量共线定理2．平面向量基本定理：
3．平面向量的坐标表示4．平面向量的坐标运算
5．a
∥b
(b
≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．力做的功：W = |F|⋅|s|cosθ，θ是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，
则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向
量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与
ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b= |a||b|cosθ，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：
4．向量的数量积的几何意义：
C
数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 三、讲解范例：
例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例 2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b). 四、课堂练习：
1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）
A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3
π
，那么向量m =a -4b 的模为（ ）
A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）
A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 五、小结 六、课后作业
教后 反思
审核人签字： 年 月 日
富县高级中学集体备课教案
年级: 科目：数学授课人：
课题平面向量数量积的坐标表示第课时
教学目标⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
重点平面向量数量积的坐标表示中
心
发
言
人
雷俊侠
难点平面向量数量积的坐标表示的综合运用
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教学过程一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
2．平面向量数量积（内积）的定义：
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量)
,
(
1
1
y
x
a=，)
,
(
2
2
y
x
b=，试
用a和b的坐标表示b
a⋅.
设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，
那么j
y
i x
a
1
1
+
=，j
y
i
x
b
2
2
+
=
所以)
)(
(
2
2
1
1
j
y
i
x
j
y
i x
b
a+
+
=
⋅
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
j
y
y
j
i y
x
j
i
y
x
i
x
x+
⋅
+
⋅
+
=
又1
=
⋅i
i，1
=
⋅j
j，0
=
⋅
=
⋅i
j
j
i，所以b
a⋅
2
1
2
1
y
y
x
x+
=
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘
积的和.即b
a⋅
2
1
2
1
y
y
x
x+
=
向量垂直的判定
C
两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）
co s θ =
|
|||b a b
a ⋅⋅
讲解范例：
例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.
例2 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .
例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 课堂练习：
1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２
－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83
2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ） A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
3.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )=.
4.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-2
1
)在线段AB 的中垂线上，则x =. 小结 课后作业
教后 反思
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年级: 科目：数学 授课人：
2
2
222
1
2
12121y x y x y y x x +++=
课题点到直线的距离公式第课时
教学目标1.明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；
2.能利用向量减法的运算法则解决有关问题；理解向量加法的定义；
3.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。

重点向量的减法的定义，作两个向量的差向量中
心
发
言
人
雷俊侠
难点对向量减法定义的理解
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教学过程一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
2．平面向量数量积（内积）的定义：
3.平面两向量数量积的坐标表示
二、讲解新课：
平面内两点间的距离公式
设)
,
(y
x
a=，则2
2
2|
|y
x
a+
=或2
2
|
|y
x
a+
=.
（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标
分别为)
,
(
1
1
y
x、)
,
(
2
2
y
x，那么
2
2
1
2
2
1
)
(
)
(
|
|y
y
x
x
a-
+
-
=(平面内两点间的距离
公式)
平面点到直线的距离公式
例1如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，
使∠B = 90︒，求点B和向量AB的坐标.
C
例2 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，
求k 值.
课堂练习：
1.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）
A.)54,53(或)53,54(B .)54,53(或)5
4,53(-- C.)54,53(-或)53,54(-
D.)54,53(-或)5
4,53(- 2.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )=. 3.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-2
1
)在线段AB 的中垂线上，则x =.
46.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为.
小结 课后作业
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课题第二章小结第课时
教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
5. 向量的坐标概念和坐标表示法
6. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
7. 数量积（点乘或内积）的概念，²=||||cos=x x+y y注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
重点①求模长；②求夹角；③判垂直中
心
发
言
人
雷俊侠
难点①求模长；②求夹角；③判垂直
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教学过程一、复习引入：
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.
反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角
形法则（首尾相接）。

4. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
5. 向量的坐标概念和坐标表示法
6. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量
积）
7. 数量积（点乘或内积）的概念，²=||||cos
=x x+y y注意区别“实数与向量的乘法；向量与
向量的乘法”
二、讲解新课：
例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜
｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜
a b a bθ1212
a b a bθ
1212
a b a
b a b a b
例2 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=， 且||=2，||=1，||=3，用与表示
三、巩固训练
1.下面5个命题中正确的有（ ）
①=²=²； ②²=²=；③²（+）=²+²； ④²（²）=（²）²； ⑤
.
A..①②⑤
B.①③⑤
C. ②③④
D. ①③ 2.下列命题中，正确命题的个数为（）
①若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=|| ③··=|| ④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A.B.C.D ，必有+=+ A 1 B 2 C 3 D 4
教后 反思
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OA a OB b OC c a b c a b c i j a b ⇒a c b c a c b c ⇒a b a b c a c b c a b c a b c b
a a
b a 2
=
⋅a b a b a b a b e a e a a e a a a a 3
a b a c c b AC BD BC AD。