九年级数学反比例函数的图象与性质6
反比例函数的图像和性质
> y >y．
1 2
3 （2）已知 x1，y1 和 x2，y2 是反比例函数 y 的两对自变 x 量与函数的对应值．若 x1 x2 0，则 0 > y1 > y2．
2．已知（ x1，y1 ），（ x2，y2），（ x3，y3 ）是反比例函数
2 的图象上的三个点，并且 y1 y2 y3 0 ，则 y x x1，x2，x3 的大小关系是（ C ）
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2 -3
有两条曲线共同组成 一个反比例函数的图像， 叫双曲线。
-4 -5 -6
反比例函数图像的两个分支关于 原点对称，反比例函数的图像(2个分 支作为一个整体)是一个中心对称图 形。
列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
… - -3 -2 -1 … 0 … 1 2 3 6 … 6 6 x Y= … - -2 -3 -6 … / … 6 3 2 1 … 1 · x
则y1与y2的大小关系(从大到小)
为
y2＞ y1
.
当k<0时:
在每一个象限内，y随x的增大而增大
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 1＜0＜x2 A(x1,y1),B(x2,y2)且x
k4 都在反比例函数 y y x(k＜0) 的图象上, x
则y1与y2的大小关系(从大到小)
为
y1 ＞0＞y2
性 质
1.反比例函数的图象是双曲线;
2.反比例函数图象无限向 x，y 轴逼近，但总不相交； 3.反比例函数自身都是中心对称图形,对称中心是坐 标原点.
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ x y y
北师大版九年级数学上册说课稿：6.2 反比例函数的图象与性质
北师大版九年级数学上册说课稿：6.2 反比例函数的图象与性质一. 教材分析北师大版九年级数学上册第六章《反比例函数的图象与性质》是本章的重要内容。
本节内容是在学生已经掌握了比例函数的基础上进行学习的，通过本节内容的学习，使学生能够掌握反比例函数的图象与性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。
教材从学生已有的知识出发，通过观察实例，引导学生发现反比例函数的图象与性质，培养学生从实际问题中抽象出反比例函数模型解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了比例函数的知识，对于图象与性质的学习也已经有一定的基础。
但是反比例函数与比例函数在图象与性质上有很大的不同，学生可能难以理解反比例函数的图象是一条不间断的曲线，以及反比例函数的性质。
因此，在教学过程中，需要教师通过实例，引导学生观察、分析、归纳出反比例函数的图象与性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解反比例函数的图象是一条不间断的曲线，能够掌握反比例函数的性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察实例，学生能够从实际问题中抽象出反比例函数模型，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生在学习过程中，能够体验到数学与生活的紧密联系，增强学生对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握反比例函数的图象与性质。
2.教学难点：学生能够理解反比例函数的图象是一条不间断的曲线，以及反比例函数的性质。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用讲授法、引导发现法、实例分析法等教学方法，结合多媒体课件、反比例函数模型等教学手段，引导学生观察、分析、归纳出反比例函数的图象与性质。
六. 说教学过程1.导入：通过出示实例，引导学生观察反比例函数的图象，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍反比例函数的定义，引导学生发现反比例函数的图象与性质。
3.实例分析：通过分析实例，引导学生归纳出反比例函数的性质。
6.2反比例函数的图象与性质(教案)
一、教学内容
6.2反比例函数的图象与性质：本节课我们将学习反比例函数的图象特点及其性质。内容包括：
1.反比例函数的定义：y = k/x（k≠0）；
2.反比例质：
a.图象在第一、三象限；
b.图象关于原点对称；
c.当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限；
3.提高学生的参与度，通过设立奖项、小组竞赛等形式，激发学生的学习兴趣。
4.加强课堂提问和反馈，及时了解学生的学习情况，帮助他们巩固所学知识。
在今后的教学中，我会不断总结经验，努力提高教学质量，让每一位学生都能在学习反比例函数的过程中，感受到数学的魅力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图象性质这两个重点。对于难点部分，如反比例函数图象的走势和性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示反比例函数图象的绘制及其性质。
2.教学难点
-反比例函数图象的理解：学生需要理解反比例函数图象为双曲线，且曲线与坐标轴无交点。
-反比例函数性质的掌握：如何记住并理解在不同象限内，函数值的变化规律。
-图形变换的应用：将反比例函数图象进行平移、缩放等变换时，如何快速判断变换后的图象。
举例：
a.难点一：通过动态图象演示或手绘图象，帮助学生直观地理解反比例函数图象为双曲线，并解释为何曲线与坐标轴无交点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x（k≠0）的函数。它在描述现实生活中的反比关系方面具有重要意义。
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
北师大版九年级数学上册反比例函数的图象和性质教学课件
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于二、四象限. 其中正确的是___________(填序号).
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(2)S△AOB
y C
A
O
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B
D
x
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9. 如图，反比例函数 y 8 与一次函数 y =－x + 2 x
3.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,过点P分别
y
pN M ox
向x轴、y轴作垂线,若阴影
部分面积为1,则这个反比 y 1
例函数的关系式是 .
x
北师大版九年级数学上册反比例函数 的图象 和性质 教学课 件
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11
4.如图所示，P1、P2、P3是双曲线上的三 个点，过这三点分别作y轴的垂线，得三
x
坐标轴的垂线（或平行线），与坐标轴所围成
的矩形的面积S矩形= |k|1．8
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数y 2
x
上,且y1<y2<0,(1)则x1___x2
(2)画出函数的大致图像，根据图像得，
若y＞1, 则x的取值范围_______
若2＜x＜ 4，则y的取值范围________
若-2＜y＜ 4，则x的取值范围__________
北师大版九年级数学上册反比例函数 的图象 和性质 教学课 件
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北师大版九年级数学上册反比例函数 的图象 和性质 教学课 件
A.S=1 B.1S2 C.S=2 D.S2
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6. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P
分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，
九年级数学辅导： 反比例函数的图像与性质
反比例函数图象及其性质【知识要点】反比例函数的基本性质：（1）反比例函数 的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。
（2）反比例函数 的图象，当k>0时，两支曲线分别位于一、三象限内，当k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
（3）因k≠0,x≠0故y≠0,所以它们都不与坐标轴相交。
（4）画图时注意其美观性（对称性、延伸性）：反比例函数的图象既是中心对称 图形，又是轴对称图形。
它们各自都有一个对称中心两条对称轴；图象分别都是由 两支曲线组成的，两个分支都无限趋近但永远不能与x 轴和y 轴相交。
【典型例题】 例1．指出下列关于x 的函数中，哪些是反比例函数，哪些不是反比例函 数？（1）x y 2-= （2）x y 32= （3）121+=x y （4）12+=x y （5）13--=x y例2．填空 （1）对于xy 2=，当0>x 时，y____0，这部分图象在第_________象限； 对于xy 2-=，当0<x 时，y____0，这部分图象在第_________象限。
（2）函数x y 10=的图象在第___象限内，在每一个象限内y 随x 的增大而______。
（3）函数x y 10-=的图象在第__象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而___。
例3、（1）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ）A ．B ．C ．D ．．0x <y x 34y x =-+123y x =--4y x =-12y x=【课型】新授课 【教学目标】 1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象； 2．体会函数的三种表示方法的互相转换，对函数进行认识上的整合.xky =x ky =（2）已知反比例函数的图象上有两点A （，），B （，）， 且，则的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．不能确定（3）反比例函数xky =，当0<k 时下面结论正确的是（ ） A ．y 取正值 C ．在每个象限内y 随x 的增大而增大 B ．y 取负值 D ．在每个象限内y 随x 的增大而减小（4）若点（，）、（，）和（，）分别在反比例函数 的图象上，且，则下列判断中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． （5）在反比例函数xk y 1+=的图象上有两点和， 若210x x <<时，y y 12>，则k 的取值范围是 （6）正比例函数y=k 1x(k 1≠0)和反比例函数y= (k 2≠0)的一个交点为(m,n), 则另一个交点为_ ____.（7）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质: 甲：函数的图象经过第二象限; 乙：函数的图象经过第四象限; 丙: 在每个象限内,y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: .例3．一个反比例函数在第三象限的图像如图所示，若A 是图像上任意 一点，AM ⊥ x 轴于M ，O 是原点，如果△AOM 的面积为3，求这个反 比例函数的解析式。
湘教版九年级数学《反比例函数的图象及性质》课件
行程问题建模过程
匀速直线运动问题
根据速度、时间和路程之间的反 比例关系，建立反比例函数模型 ，解决匀速直线运动中的追及和 相遇问题。
变速直线运动问题
通过速度和时间的变化规律，建 立反比例函数模型，分析物体1 2 3
电阻、电压与电流关系
在电路中，电阻、电压和电流之间存在反比例关 系。已知其中两个量，可以利用反比例函数求解 第三个量。
REPORTING
两者图象位置关系分析
当反比例函数比例系数$k_1$和 一次函数斜率$k_2$同号时，两 图象在第一、三象限内有两个交
点；
当$k_1$和$k_2$异号时，两图 象在第二、四象限内有两个交点
；
无论$k_1$和$k_2$取何值，反 比例函数的图象都不可能经过原 点，而一次函数的图象必定经过
描绘出函数的图象。
连接完成后，可以检查一遍曲 线的光滑性和准确性，如有需
要可以进行微调。
XXX
PART 03
反比例函数性质分析
REPORTING
增减性判断方法
观察法
通过观察反比例函数的图象，可以直接判断出函数在各象限内的增减性。
解析法
利用反比例函数的解析式，可以推导出函数在各象限内的增减性。具体地，当$k>0$时，函数图象在第一、三象 限内，且在这两个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k<0$时，函数图象在第二、四象限内，且在这两个象 限内，$y$随$x$的增大而增大。
反比例函数的图象与坐标轴没有交点。这是因为当$x=0$时，函数值$y$不存在 ；同样地，当$y=0$时，对应的$x$值也不存在。
虽然反比例函数的图象与坐标轴没有交点，但是它们可以无限接近坐标轴。具体 地，当$x$趋近于正无穷或负无穷时，函数值$y$趋近于零；同样地，当$y$趋近 于正无穷或负无穷时，对应的$x$值也趋近于零。
北师大版九上数学6.2《反比例函数的图象与性质》知识点精讲
知识点讲解反比例函数的性质（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点。
比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。
在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变。
用描点法画反比例函数的图象步骤：列表---描点---连线。
（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确。
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
视频讲解反比例函数中的面积类型视频讲解图文解析教学设计【教材分析】《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对k＞0和k＜0时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质疑、讨论、交流、总结中增强学生对图象的感知能力，加深对反比例函数性质和几何意义的理解和掌握。
注意数形结合以及分类思想运用。
【学情分析】特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步体会函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图象和性质做好知识上和方法上的铺垫．学生对于画函数图象已经积累了一定的经验，所以画函数图象的过程不仅在于“画”，更在于“探究”．为引导学生体会函数三种表示方法之间的联系和转化积累经验．九年级的学生已经具备了研究函数图象性质的许多方法，但是学习能力有所不同数形结合的抽象能力存在较大差异．所以需要教师在教学中不仅关注教法，更关注学法指导．同时，因为反比例函数较为抽象，所以学生学完性质直接应用的难度很大．这就需要教师精心设计教学方案帮助学生理解和掌握反比例函数的性质。
反比例函数的图象与性质定
奇偶性
反比例函数是奇函数，因为对于所 有 x，都有 f(-x) = -f(x)。
无界性
由于反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象在 x = 0 处无 界。
反比例函数的性质
01
02
03
分母不为零
反比例函数的分母不能为 零，因此其定义域为 x ≠ 0。
无界性
反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象 在 x = 0 处无界。
当$x<0$时，反比例函数的图象位于 第三象限，与直线$y=kx+b$相交于 一点，这一点也是它们的切点。
与二次函数的关系
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$的函数，其 中$a, b, c$是常数且$a neq 0$
。
反比例函数的图象是一个双曲 线，分布在第一和第三象限。
二次函数的图象是一个抛物线 ，可以开口向上或向下。
反比例函数的图象与性质
目 录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象特点 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他函数的关系 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
反比例函数的值域
反比例函数是一种数学函数，其定义 为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
磁场强度与电流
在电磁学中，磁场强度与电流之间的关系可以用反比例函数 描述，通过分析反比例函数的特性，可以研究电磁感应和电 磁波的传播。
与其他数学知识的结合
代数方程
反比例函数可以与其他代数方程 结合，用于解决代数问题，例如 求解代数方程的根或解决代数不 等式问题。
6.2.2 反比例函数的图像和性质
课题：6.2.2 反比例函数的图象与性质课型：新授课年级：九年级教学目标：1．会画出反比例函数的图象，能根据图象探索并理解反比例函数的主要性质．2．提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想．会运用数形结合的思想方法解决反比例函数的有关问题．教学重点与难点：重点：探索反比例函数的主要性质.难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题．课前准备：多媒体课件、三角板．教学过程：一、感悟导入活动内容：回答下列问题.问题1.下列函数中，哪些是反比例函数？问题3. 你知道反比例函数的图象还有哪些特点吗？反比例函数还有其它的性质吗？处理方式：问题1由学生口答,并说出理由，借以复习反比例函数的定义；问题2让学在具体问题中加深对反比例函数定义以及图象的再认知．师及时给予指导纠错，再通过问题3引入本节课的内容．设计意图：反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．二、自主探究活动内容1：探究反比例函数图像的增减性（k＞0）观察反比例函数2yx=，4yx=，6yx=的图象，你能发现它们的共同特征吗?（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？处理方式：让学生课前预习并画好函数图像，课上由教师展示，让学生自主观察所画图像，并结合问题探究得出反比例函数性质.学生有可能总结为：当k＞0时, y的值随x值的增大而减小.这时教师可以提示：这样不够严谨，应强调“在每一个象限内”这个前提条件.然后动画演示几何画板课件,并总结结论: 当k＞0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x的增大而减小．（借助于下图进行说明）设计意图: 学生通过观察比较，总结出三个反比例函数图象的共同特征,在活动中放手让学生去观察，去类比，去感受，去总结，实现学生主动参与，探究新知的目的,培养学生“以图识性、以性画图”的能力；及时的小结有助于理清思路，培养学生的归纳能力和语言表达能力.活动内容2：探究反比例函数图像的增减性（k<0）处理方式：前面已经对0k >时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生观察课前预习时画好的函数图像，通过类比，分析、归纳、概括出0k <时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨．由于上面在总结k ＞0时的性质时，强调了“在每一象限内”，所以在总结k ＜0的性质时，学生比较容易想到“在每一象限内”.设计意图:通过对0k <时反比例函数图像特征的探究，培养学生利用数形结合探究问题的意识，发展学生类比分析问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上逐步提高．活动内容3：归纳性质从具体问题的分析进一步上升到理性的概括、归纳．教师要鼓励学生大胆表述自己的想法，语言即使不规范、不完整，教师也要给以充分的肯定、表扬，在讨论、交流的基础上使语言更加完善．最后由教师板书：当k ＞0时,在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大.设计意图：本环节主要是将知识进行系统的归纳、概括，通过讨论、交流，形成完整、规范的结论，可以培养学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力．三、巩固新知活动内容：做一做.y 随x y 随x2. 的增大而增大，则m 的取值范围3.点1,1()A x y ，2,2()B x y 1,2y y 的大处理方式：让学生独立完成，然后小组交流，再选派代表进行讲解，力争让所有学生都积极地投入到知识的学习中．设计意图：通过几个小题目的练习，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．问题3是一道易错题，不仅考察了性质中的“在每一象限内”这一条件，并且还蕴含着分类讨论思想，可以拓展学生思维的广度和深度．课堂上以小组合作讲解的形式，让每个学生都融入到表达与倾听中，可以调动每个学生的主观能动性．四、合作竞学活动内容：探究k 的几何意义 (课件展示问题)问题1. 如图1，在反比例函数xy 2=的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为多少?图1 图2问题2. 如图2， 在反比例函数xk y =的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为多少?图3 图4问题3. 如图3，在反比例函数xk y =图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为1S ；过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S ，1S 与2S 有什么关系? 为什么?问题4. 如图4，在反比例函数xk y =的图象上任取点P ，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，△OPF 的面积又是多少呢? 为什么?处理方式：（1）鼓励学生先独立思考,然后以小组为单位,讨论分析,动手计算，总结小组成果.教师一边巡视,一边加入到各个小组的学生讨论中. 四个问题层层推进，让不同层次的学生都有事可干．（2）充分讨论后可由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．在探究的基础上，对于一般的反比例函数xk y =，充分利用小组成员间的合作，探究、归纳出一般性的结论——矩形面积总等于k ，三角形的面积总等于k 21．（3）利用几何画板软件通过拖动改变P 点位置（如下图），直观感受所得结论的正确性．可以发现矩形与三角形的面积是一个定值，加深学生对所得规律的理解．设计意图: 课本中只给出了问题3. 考虑到如果直接探究函数xk y =，对于有些学生来说有一定的困难，所以为了突破这一难点，我先给出简单的反比例函数xy 2=，在探究了这个具体函数的基础上，再由特殊到一般，进一步探究xk y =，符合学生的认知规律．最后通过几何画板的动画演示，让学生更直观地理解矩形和三角形的面积与比例系数K 的对应关系，向学生渗透数形结合的思想方法.五、反思总结活动内容：本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?你有哪些感悟和收获？你还有什么困惑？处理方式：先由学生自由发言，畅谈收获．师引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结．最后课件展示以下表格，通过对比形式，引导学生小结正比例函数、反比例函数的性质．设计意图：小结能使学生养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．小结还能引导学生关注数学的学习过程，通过交流、反思，倾听其他同学的感悟和收获，可以取长补短，共同提高．六、布置作业必做题：课本157页，习题6.3第1题、第2题、第3题．。
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质在数学的世界里，函数就像是一座神秘的城堡，每一种函数都有着独特的特征和规律。
今天，咱们就一起来探索反比例函数这座城堡，深入了解一下反比例函数的图象和性质。
首先，咱们得知道啥是反比例函数。
一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是x 的反比例函数。
接下来，咱们重点聊聊反比例函数的图象。
反比例函数的图象是双曲线，它有两条分支。
这两条分支要么在一、三象限，要么在二、四象限，具体在哪个象限，得看常数 k 的正负。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。
在第一象限内，y 随 x 的增大而减小；在第三象限内，y 也随 x 的增大而减小。
打个比方，就好像你跑步的速度越快，所用的时间就越短。
这里的速度和时间就是成反比例关系，当速度快（k 大）的时候，时间就短（y 小），而且速度越来越快（x 增大），时间就越来越短（y 减小）。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
在第二象限内，y 随 x 的增大而增大；在第四象限内，y 也随 x 的增大而增大。
比如说，你背的东西越重，走得就越慢。
这里的重量和速度成反比例关系，重量越重（k 小），速度越慢（y 大），而且重量越来越重（x 增大），速度就越来越慢（y 增大）。
再来说说反比例函数图象的对称性。
这双曲线可神奇了，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x 。
对称中心呢，就是坐标原点（0，0）。
咱们再看看反比例函数的性质。
从增减性来说，刚才已经提到了，就不再啰嗦。
还有一点很重要，就是反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交。
为啥呢？因为当 x ＝ 0 时，这个函数就没有意义啦，分母不能为 0 嘛。
那知道了反比例函数的图象和性质有啥用呢？用处可大啦！比如说在实际生活中，我们计算工程的进度、计算电阻和电流的关系等等，都可能用到反比例函数。
北师大版九年级数学上册反比例函数的图像和性质课件(共41张)
为反比例函数，则m的值是
(C)
1 2
(D) 1
返回
2．如图，A为反比例函数 y k 图象上一点，AB⊥x轴
x 于点B，若 SAOB 3 则k为（ A）
(A) 6 (B) 3 (C) 3 D 无法确定
2
返回
3．函数y
k x
的图象经过（1，-1），则函
数 y kx 2 的图象是 （A ）
y
-2 O x
大，则m的取值范围是（ A）.
A、m<-1 B、m>-1 C、m>1
D、m<1
返回
性
y随x的增大而减小
例
函
位
置 二四象限
二四象限
数 的
K<0
增 减
y随x的增大而减小 在每个象限内，
区
性
y随x的增大而增大
分
对称性
轴对称 中心对称
轴对称 中心对称
专题一
反比例函数的图像和性质
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象散布在哪些象限?y随x的增大如何变化?
(2)点B(3，4)、C(
y＝
4 x
与y＝
2 x
在第一象限内的图象如图所示，作一条平
行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，
连接OA、OB，则△AOB的面积为( A )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
拓展提高
双曲线: y＝ 4 与y＝ 2
x
x
在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的
直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则
2.反比例函数的图象关于原点成中心对称.
九年级数学26.1.2反比例函数的图像和性质课件
同理，反比例函数的图像与y轴也没有交点。
与坐标轴的位置关系
反比例函数的图像总是无限接近于坐标轴，但永远不会与 坐标轴相交。这是因为当x趋近于0时，y的值会趋近于无 穷大或无穷小，但永远不会等于0。
04
反比例函数在实际问题中应用举例
面积问题建模与求解
矩形面积问题
给定矩形的面积和一边的长度，求另 一边的长度，可以通过反比例函数建 立数学模型进行求解。
列表法绘制步骤
列出函数值
在自变量的取值范围内，选取一 些具有代表性的点，计算出对应 的函数值$y$。
绘制表格
将自变量和对应的函数值列成表 格，方便后续绘图。
描点
在坐标系中，根据表格中的自变 量和函数值，描出对应的点。
确定自变量的取值范围
根据题目要求或实际情况，确定 自变量$x$的取值范围。
连线
用平滑的曲线将描出的点连接起 来，得到反比例函数的图像。
。
02
对称变换
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点$(x, y)$在图像上，则点$(-
x, -y)$也在图像上。
03
伸缩变换
当反比例函数的比例系数$k$发生变化时，图像会进行相应的伸缩变换
。具体来说，当$k$增大时，图像会向坐标轴靠近；当$k$减小时，图
像会远离坐标轴。
03
反比例函数性质分析
增减性判断方法
描点法绘制技巧
合理选择描点
在自变量的取值范围内，合理选 择一些具有代表性的点进行描点 ，这些点应该能够反映出函数的
变化趋势。
注意坐标轴的比例
在绘图时，要注意坐标轴的比例， 确保图像的准确性。
用平滑的曲线连接
在连接描出的点时，应该用平滑的 曲线连接，而不是折线。
北师大版九年级数学上册第六章《反比例函数的图像与性质》
x
应能用力新提知高之能力提升
➢ 2、已知点
、点
都在反比例
函数
的图象上.过点P分别作两坐标轴
的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是
；
过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的面积是 .求 、 、 的值.
应用能新力知提之升能力提升
于点B,随着自x变量 x 的增大，矩形OAPB的面积
（ A）
A．不变 C. 减小
B.增大 D.无法确定
应用新知之想一想做一做
2限.分如支图上，P的y(x,一y3x)个动是点反，比过例点函P数作的PA图垂P象A直在xx轴第轴于一于点点象AA，,
连接PO，三角形OAP的面为__________
应用新知之能力提升
的图象上，若
是 y1<y2 ．
，都在反比例函数 ，则 的大小关系
再探新知之想一想议一议
S与1 S 2有什么关系 ？以 y
2
x 为例
S1
•P
S1
Q • S2
S1 x1 y1 2
S2 x2 y2 2
S1 S2
再探新知之想一想议一议
反比例函数 y k
x
•P
S1
•Q
S2
R • S3
S1,S2有什么关系？为什么？
的图象上有三点
（－3,y1）, （－1,y2）, （2,y3）,则函数值y1,y2,y3的
大小关系是__y_3<__y_1_<__y_2_____.
例2 已知反比例函数 y a 2 xa26 ,y随x的
增大而减小，求a的值和表达式.
1.下列函数应：用①新y知之1 想；一② 想y 做 2一1x；做
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数图象和性质课件
在反比例函数中，自变量 $x$ 和因变量 $y$ 之间存在一种倒数关系。 当 $x$ 增大时，$y$ 减小；当 $x$ 减小时，$y$ 增大。这种关系反映 了反比例函数的基本特性。
函数值域及变化规律
函数值域：反比例函 数的值域为所有非零 实数。当 $k > 0$ 时 ，函数图象位于第一 、三象限；当 $k < 0$ 时，函数图象位于 第二、四象限。
变化规律
1. 当 $k > 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐增大到正无穷大 （或从负无穷大逐渐 减小到零）。
2. 当 $k < 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐减小到负无穷大 （或从正无穷大逐渐 增大到零）。
不具备单调性。
与一次函数比较
关系
一次函数 $y = ax + b$ (a ≠ 0) 和反比例函数无直接关联。
图象
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两条曲线。
性质
一次函数在其定义域内是单调的，而反比例函数在其定义域内不具备单调性。此外，一次 函数的值域为全体实数，而反比例函数的值域为除去使分母为零的点外的全体实数。
3. 在每个象限内，随 着 $x$ 的绝对值增大 ，函数值 $y$ 的绝对 值逐渐减小。
02
反比例函数图象绘制方法
列表法绘制步骤
确定自变量的取值范围，并在此范围 内选取若干个自变量的值。
列出表格，将自变量和对应的函数值 分别填入表格中。
根据反比例函数的解析式，求出与每 个自变量值对应的函数值。
根据表格中的数据，在坐标系中描出 各点，并用平滑的曲线连接各点，即 可得到反比例函数的图象。
(北师大版数学九上)第六章 反比例函数讲义
第六章 反比例函数第5讲 反比例函数图象、性质及应用一．知识梳理知识点1 反比例函数的定义与表达式： （1）一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数 （2）反比例函数有三种表达式： ①xk y =（0k ≠） ②1kx y -=（0k ≠） ③k y x =⋅（定值）（0k ≠） 知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式. 知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x ≠0，函数值y ≠0，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线. 在作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交.知识点4 反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号0k >0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小.②当0k <时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大.注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小，就会与事实不符的矛盾. ☆反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线xky =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xky =越靠近坐标原点. ☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x. ☆反比例函数（y=xk）的图像与正比例函数（y=ax ）的图像交于A(11y x ，),B(22y x ，)两点，那么这两点关于原点对称，即21-x x =，21-y y =.【补充】 中点坐标公式： 三点共线，且中间的点是中点，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22两个端点的纵坐标相加中间点的纵坐标两个端点的横坐标相加中间点的横坐标即若A(1x ，1y )，B(2x ，2y ),M(x ，y)在一条直线上，且M 为线段AB 的中点，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2y y y 2x x x 2121知识点5 反比例函数的应用（略）二.实战演练考点一反比例函数的概念及函数关系式的确定下列是反比例函数的有_____（填序号）①2xy-=；②xy21-=；③11-=xy；④21xy=⑤ xy=-3；⑥1--=xy考点二反比例函数的图像和性质1.反比例函数y=xa-1-2(a是常数)的图像分布在（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限2.(1)若A（x1，y1），b（x2，y2）是双曲线y＝x3上的两点，且x1＞x2＞0，则y1____y2．3.反比例函数y=xk的图像如右图所示，则k的值可能是（）A.-1B.1C.2D.34.正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=x2（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=x2（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．典例分析考点三 反比例函数的应用 1.已知点P(a ，b)在反比例函数xy 2=的图像上，若点P 关于y 轴对称的点在反比例函数xky =的图像上，则k 的值为_____. 2.李先生参加了清华同方电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付之后每月付款y 元，x 月结清余款．y 与x 的函数关系如图所示，试根据图象提供的信息回答下列问题．（1）确定y 与x 的函数关系式，并求出首付款的数目；（2）如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？考点四 一次函数与反比例函数综合问题 1.函数y=k(x-1)与xky -=在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）2.在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是_____（只写出符合条件的一个即可）.3.已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式．4.如图所示，直线xy 34=与双曲线x k y =（x ＞0）交于点A ，将直线x y 34=向右平移29个单位后，与双曲线x k y =（x ＞0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若BCAO=2，则k=____.1.已知函数|m |1xm y -=是y 关于x 的反比例函数，则m 的值是____. 2.在反比例函数xmy 21-=的图像上有A(11y x ，)，B(22y x ，)两点，当021＜＜x x 时，21y y ＜，则m 的取值范围是（ ）A.m ＜0 B.m ＞21 C.m ＜21D.m ＞03.反比例函数的自变量x 满足-2≤x ≤-21时，函数值-1≤y ≤-41，则它的解析式是（ ）A.x y 21=B.xy 21-= C.x y 8= D.x y 81-=4.如图所示，等边三角形OAB 的边OA 在x 轴上，双曲线y=x3在第一象限内的图像经过边OB 的中点C,则点B 的坐标是( , ).5.双曲线y=xk经过点（-3,4），则下列点在双曲线上的是____. A.(-2,3) B.(4,3) C.(-2,-6) D.(6，-2) 6.已知一次函数b kx y +=1与反比例函数xky =2在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当21y y ＜时，x 的取值范围是（ ）课堂训练A.x ＜-1或0＜x ＜3B.-1＜x ＜0或x ＞3C.-1＜x ＜0D.x ＞37.如图，直线y=33-x+b 与y 轴交于点A ，与双曲线xky =在第一象限交于B 、C 两点，且AB.AC=8，则k=_____.8.某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y （单位：天）与平均每天的工作量x （单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？9.已知反比例函数y ＝8m x-(m 为常数)的图象经过点A （－1，6） (1)求m 的值；(2)如图，过点A 作直线AC 与函数y ＝8m x-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标.1.已知一个反比例函数的图像位于第二、四象限内，点P(yx，)在这个反比例函数图像上，且yx＞-4，请你写出这个反比例函数的表达式______．（只写出符合题意的一个即可）2.若点（-2，）1y，（-1，2y），（1，3y）在反比例函数)0(＜kxky=图象上，则下列结论中，正确的是（）A.3y＞1y＞2y B.2y＞1y＞3y C.1y＞2y＞3y D.3y＞2y＞1y3.如图所示，点P(2,1)是反比例函数xky=的图像上的一点，则当y＜1时，自变量x的取值范围是（）A.x＜2 B.x＞2 C.x＜2且x≠0 D.x＞2或x＜04.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x2=x1+2，且211112+=yy，则这个反比例函数的表达式为______.5.如图所示，矩形ABCD的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=xkk122++的图象上，若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为_____.6.已知A(2,m-2)和B(m，4)均在反比例函数图像上，则m=___.7.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=x6的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2-x1）（y2-y1）的值为_____.8.如图，直线y=2x与双曲线y=x2在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO 绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为( )A.（1，0）B.（1，0）或（﹣1，0）C.（2，0）或（0，﹣2）D.（﹣2.1）或（2，﹣1）课后作业※9.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间（min ）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ） A ．7：20 B ．7：30 C ．7：45 D ．7：5010.某汽车油箱的容积为80升，小陈把油箱注满油后从县城载客到400千米外的省城，把客人送到目的地后马上按原路返回，请回答下列问题：（1）油箱注满后，汽车能够行驶的总路程a （单位：千米）与每千米平均耗油量b （单位：升）之间有怎样的函数关系？（2）小陈以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达省城，在返回走了一半路程时下起了雨，小陈降低了速度，此时每行驶1千米的耗油量增加了一倍，如果小陈一直以此速度行驶，油箱里的油是否能回到县城？如果不够用，至少还需加多少油？11.如图，已知反比例函数y=x2k和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+k ）两点，反比例函数和一次函数的图象交于A 、B 两点． (1)求反比例函数的解析式，和△AOB 的面积； (2)结合函数图象，直接写出不等式2x ＞76x 2k+-的解为_______；(3)在反比例函数图象上存在_____个点P ，使得OAB PAB S S △△2=．12.已知反比例函数x2ky =和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过(a,b)，（a+1,b+k ）两点.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；(3)利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.第6讲 |k|的几何意义一．知识归纳☆反比例函数xky =（0k ≠）中k 的几何意义： 如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，连接OP ， 则:OEPF S PE PF y x 矩形=⋅=⋅=k【补充】|k|的几何意义常见模型： 模型一：一点一垂线模型分析：如过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点(含原点)构成的三角形面积等于21|k|.特别补充：反比例函数图象上的两点与原点构成的三角形面积等于由这两点向x 轴作垂线构成的梯形面积.模型二：一点两垂线模型分析：如过反比例函数图象上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|.模型三：原点一垂线模型分析：过正比例函数与反比例函数的一个交点作坐标轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形的面积等于|k|.模型四：两点两垂线模型分析：反比例函数与正比例函数的两个交点的连线及由交点向不同坐标轴所作两条垂线围成的图形(或两交点及由交点向同一坐标轴所作两条垂线的垂足构成的图形)的面积等于2|k|.模型五：两点和一点模型分析：反比例函数与一次函数的交点和原点(或坐标轴上一点)所构成的三角形的面积，若两交点在同一支上，用减法；若两交点分别在两支上，用加法.模型六：两曲一平行模型分析：两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，求该两点与原点构成或坐标轴围成的图形面积，结合k的几何意义求解.模型七：与四边形组合模型分析：反比例函数图象与四边形结合，已知面积求值，或已知值求面积.通常会用到反比例函数图象上点的横纵坐标乘积相等.二.实战演练例1：下列图形中，阴影部分面积最大的是（）例2：如图所示，反比例函数y=xk(x＞0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4例3：如图，A、B两点分别在反比例函数xy1-=和xky=的图像上，连接OA、OB，若OA ⊥OB，OB=2OA，则k的值为（） A.-2 B.2 C.-4 D.4例4:如图，反比例函数y=xk（x＞0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A和对角线的交点E，点A的横坐标为3，对角线AC所在的直线交y轴于（0，6）点，则函数y=xk的表达式为_____．典例分析例5：如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=xk1(x＞0)的图象经过点C，反比例函数y=xk2(x＜0)的图象分别与AD，CD交于点E，F，若BEFS∆=7，21k3k+=0，则1k等于_______.例6：已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数xky=（k＞0）的图象与AC边交于点E.（1）用含k的代数式表示△AOE的面积是____，△BOF的面积是_____.（2）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由.1.如图所示是反比例函数xky1=和xky2=（k1＜k2）在第一象限的图像，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A，B两点，若2=AOBS△,则k2-k1的值是（）A.1B.2C.4D.8课堂训练2.如图，P(x ，y)是反比例函数xy 3的图象在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴于点A ， PB ⊥y 轴于点B ， 随着自变量x 的增大，矩形OAPB 的面积（ ） A ．不变 B.增大 C.减小 D.无法确定3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，A 、B 两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C 、D 两点在反比例函数y=xk(k ＜0)的图象上，则k=_____.4.如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，反比例函数y ＝xk（x ＞0）在第一象限内的图象经过点D ，且与AB 、BC 分别交于E 、F 两点，若四边形BEDF 的面积为1，则k 的值为_____．5.如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y=xk（k ＞0）在第一象限的图象经过A ，C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为_____.6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC边在x轴正半轴上，中线BD的反向延长线交于y轴负半轴于点E.双曲线xk y=一条分支经过点A，若S△BEC=4，则k=_______.1.如图所示，直线l和双曲线y=xk（k＞0）交于A,B两点，P是线段AB上的点（不与A、B 重合）.过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连接OA，OB，OP，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，△POE的面积为S3，则有（）A.S1＜S2＜S3B.S1＞S2＞S3C.S1＝S2＜S3D.S1＝S2＞S32.如图，在平面直角坐标系中，过点M(-3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数xy4=的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为______.3.某反比例函数xky=的图像上有三点A(1，4)，B（2，m），C（4，n），则△ABC的面积为_____.课后作业4.(1)如左下图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=xk（k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OAD 的面积为1，则k 的值为_______．(2)如右上图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B ．若反比例函数y ＝xk的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO=4，tan ∠BAO=2，则k 的值为______.5.如图，A 、B 两点分别在反比例函数x y 1-=和xky =的图像上，连接OA 、OB ，若OA ⊥OB ，OB=2OA ，则k 的值为（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.46.如图，A ，B 两点在反比例函数y=x k 1的图象上，C ，D 两点在反比例函数y=xk2的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC=2，BD=1，EF=3，则k 1﹣k 2的值是________.7.如图，在□OADB 中，对角线AB 、OD 相交于点C ，反比例函数y=kx （k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若平行四边形OADB 面积为12，则k 的值为______．8.如图所示，双曲线y=x2(x ＜0)经过四边形OABC 的顶点A ，C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 负半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .9.如图矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （-320，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_____.10.在平面直角坐标系中，点A （﹣3，4）关于y 轴的对称点为点B ，连接AB ，反比例函数y=（x ＞0）的图象经过点B ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点P 是该反比例函数图象上任意一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，点Q 是线段AB 上任意一点，连接OQ 、CQ ． （1）求k 的值；（2）判断△QOC 与△POD 的面积是否相等，并说明理由．。
反比例函数的图象和性质课件
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
九上数学 第27讲 第六章 6.2反比例函数性质和图像
第27讲 《反比例函数》培优训练6.2 反比例函数图像和性质【基础知识精讲】反比例函数y=kx （k ≠0）中k 的几何意义： 过函数 y=kx（k ≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S=∣xy ∣=∣k ∣；所得△POM 的面积S=21∣k ∣。
【例题巧解点拨】例1．正比例函数y=x 与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD •⊥x 轴于D ，如图1所示，则四边形ABCD 为_______．图1 图2 图3练习：如图2，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_____________________．例2.如图3，两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2018，在反比例函数y=6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2018，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2018个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2018分别作y 轴的平行线与y=3x的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2018（x 2018，y 2018），则y 2018=________．练习：1、如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、 B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．2、如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若 取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．例3．如图所示,直线122y x =+分别交x 轴、y 轴于A ，C 两点，P 是该直线上在第一象 限内的一 点，PB ⊥x 轴于B ，9ABPS =.(1)求P 点坐标; (2)双曲线ky x=经过点P ，能否在双曲线上PB 的右侧求作一点R ，作RT ⊥x 轴于T ，使△BRT 与△AOC 相似? 如能，求出点R 坐标；若不能，说明理由。
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回顾与思考2
“预见性”,猜一猜
给反比例函数“照相”
一般地, 如果两个变量 x, y之间的关系可以表示成 k y k为常数, k 0 的形式那么称 y是x的反比例函数 . x
反比例函数的图象又会是什么样子呢? 你还记得作函数图象的一般步骤吗?
用图象法表示函数关系时,首先在自变 量的取值范围内取一些值,列表,描点, 连线(按自变量从小到大的顺序,用一 条平滑的曲线连接起来).
驶向胜利 的彼岸
做一做
3
作反比例函数 y 的图象 x
x
y
“心动”不如行 动 4
1 2 1 2
列表(在自变量取值勤范围内取一些值,并计算相应的函数值)
-8 -4
-1
-3
4 3
-2
-2
-1
-4
1
4
2
2
3
4 3
4
1
8
1 2
4 1 2 x
-8
8
描点
驶向胜利 的彼岸
• 连线
x
列表(在自变量取值勤范围内取一些值,并计算相应的函数值) 1 1 x -8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 2 2 1 4 4 -1 -2 -4 -8 8 4 2 1 y 2 3 3 y
• 反比例函数的图象和性质 • 形状 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因 此称反比例函数的图象为双曲线; 驶向胜利 的彼岸 • 位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内 ; 当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内; • 任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k.
独立 作业
知识的升华
九年级数学(上)第五章 反比例函数
反比例函数的图象与性质(1)
回顾与思考 1
挑战“记忆”
你还记得一次函数的图象与性质吗?
• 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,称直线y=kx+b.
当k>0时,
y
b>0 b=0 o x
当k<0时,
y
b<0 b=0
o b<0
b<0
x
驶向胜利 的彼岸
• y随x的增大而增大; y随x的增大而减小.
• 列表时,自变量的值可以选取一些互为相反数的值, 这样既可简化计算,又便于对称性描点; • 列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这 样既可以方便连线(平滑的曲线),又较准确地表达 函数的变化趋势; • 描点时一定要养成按自变量从小到大的顺序 驶向胜利 的彼岸 依次画线,从中体会函数的增减性； • ……
8 7 6 5 4 3 2 1
● ●
8
1 2
描点
●
● ● ● ●
连线
-8●–7–6 –5–4 –3 -2-1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
● ●
-1 -2 -3 ●-4 -5 -6 -7 ● -8
x
驶向胜利 的彼岸
做一做 5
作反比例函数 y
“心动”不如行 动 4
x 的图象
你认为作比例函数图象时应注意哪些问题？
想一想
6
“行家”看门道
反比例函数的图象和性质
4 4 和y 的图象, x x 它们有什么相同点和不 同点? 观察并比较反比例函数 y
• 形状 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此 称反比例函数的图象为双曲线; • 位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;当 k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;
P137习题5.2
1题.
结束寄语
• 函数来自现实生活,函数是描述现实 世界变化规律的重要数学模型. • 函数的思想是一种重要的数学思想, 它是刻画两个变量之间关系的重要 手段.
驶向胜利 的彼岸
随堂练习 7
“试金石”
“双胞胎”之间的差异
2 2 下图给出了反比例函数 y 和y 的图象, x x 2 你知道哪一个是 y 的图象吗? 为什么? x
y
y 2 x y 2 x
y
o
x
o
x
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
反比例函数
一般地, 如果两个变量 x, y之间的关系可以表示成 k y k为常数, k 0 的形式那么称 y是x的反比例函数 . x