湖北省黄石三中年高一下册第二学期期中考试数学试题及答案【精选】.doc

卷I
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分
1.数列
K ,16
1
,81,41,21--的一个通项公式可能是 ( ) A ．n n 21)1(- B ．n n 21)1(- C ．n n 21)1(1-- D ．n n 21)1(1-- 2.设AB a =u u u r ，AD b =u u u r ，BC c =u u u r
，则DC u u u r 等于（ ）
A ．a b c -+
B ．()b a c -+
C ．a b c ++
D ．()b a c --
3.已知向量(3,4)a =，b =(sin α,cos α)，且a ∥b ,则tan α=（ ）
A ．
3
4
B ． 34-
C ． 43
D ． 43
- 4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且1234,2,a a a 成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2
＋c 2
－b 2
)·tan B ＝3ac ，则角B 的值为 ( )
A ．.π6
B ．π3
C ．π6或5π6
D ．π3或2π
3
6．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
等于( )
A ．3 3
B ．2393
C ．2633
D ．29
2
7．数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{
1
a n ＋1
}是等差数列，则a 4＝( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 8．符合下列条件的三角形ABC ∆有且只有一个的是（ ）
A ．1,2,30a b A ==
=︒ B ．1,2,3a b c ===
C ．1,45b c B ===︒
D ．1,2,100a b A ===︒
9．对任意两个非零的平面向量α和β，定义β
ββ
αβα••=O ，若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，
a 与
b 的夹角(0,)4
πθ∈，且b a O 和a b O 都在集合{n
2
|n ∈Z }中，则b a O ＝( )
A ．12
B ．1
C ．32
D ．52
10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n
(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3
＋…＋log 2a 2n －1＝( ) A ．(n －1)2
B ．n 2
C ．(n ＋1)2
D ．n (2n －1)
卷II
二、填空题：每小题5分，共25分
11．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________. 12．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为
__________．
13．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，且1,4,AB BC ==，则边BC 上的中线AD 的
长为__________；
14．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若32OA OB OC -+=u u u r u u u r u u u r
0，则AB BC
u u u r u u u r = .
15．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 三、解答题
16．（本题满分12分）已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，求向量AB →在CD →
方向上的
投影。

17．（本题满分12分）成等差数列的三个数的和等于18，并且这三个数分别加上1，3，17后就
成了等比数列，求这三个数排成的等差数列．
18．（本题满分12分）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π
2
．（Ⅰ）若a ⊥b ，
求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．
19. （本题满分12分）在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且acosC ＋1
2
c ＝b.
(1) 求角A 的大小；
(2) 若a ＝15，b ＝4，求边c 的大小．
20．（本题满分13分） 如图，某观测站C 在城A 的南偏西ο
20的方向上，由A 城出发有一公路，走向是南偏东ο
40，在C 处测得距C 为31公里的公路上B 处，有一人正沿公路向A 城走去，走了20公里后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21公里，问此人还需要走多少公里到达A 城．
21．（本题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2
，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝
b 1.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n
b n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
2019-2020高一下学期期中数学测试试卷答案 一、1-5 DAACD 6-10 BACCB
17、解：
设这三个数为,,a d a a d -+，则
2()()18(1)(17)(3)
a d a a d a d a d a -+++=⎧⎨-+++=+⎩，
----------------------------------------------------------6分 解得66
420a a d d ==⎧⎧⎨
⎨==-⎩⎩
或 所以
这
个
数
列
为
2,6,1026,6,14-：或---------------------------------------------------12分
18、解：
（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，
由此得 tan θ＝－1(－
π
2＜θ＜
π
2
)，所以 θ＝--－
π
4
；
------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得
｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π
4
)，
------9分
当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π
4时，|a ＋b |最大值为2＋1．--------12
分
19、解：(1) 用正弦定理，由acosC ＋12
c ＝b ，
得sinAcosC ＋1
2
sinC ＝sinB.
∵ sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ，------------------------------------4分 ∴ 1
2
sinC ＝cosAsinC. ∵ sinC ≠0，∴ cosA ＝1
2
.
∵ 0<A<π，∴ A ＝π
3
.
-----------------------------------------------------------------------------6分
(2) 用余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2
－2bccosA. ∵ a ＝15，b ＝4，
∴ 15＝16＋c 2
－2×4×c ×12
.
-------------------------------------------------------------------8分
即c 2
－4c ＋1＝0. 则c ＝2±3. -------------------------------------------------------------------------------------
-----12分
20、解：由题意得
km CD km BD km BC 21,20,31===βα=∠=∠=∠CDB ACD CAB ,,60设ο
在CDB ∆中由余弦定理得71
202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅-+=BD CD BC BD CD β ----5分
于是7
34cos 1sin 2
=-=ββ，则()()ο
οο60sin 4020sin sin -=--=ββα =
14
3
523712173460sin cos 60cos sin =
⋅+⋅=-οοββ。

-------------------------------10分
在ACD ∆中，由正弦定理得
)(1514
3
560sin 21sin sin km A CD AD =⋅=⋅=
ο
α 答：此人还得走15km 到
达
A
城
----------------------------------------------------------13分
21、解 (1)当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2
＝4n －2，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式， 故
{a n }
的
通
项
公
式
为
a n ＝4n －
2.------------------------------------------------------------------------4分
设{b n }的公比为q ，由已知条件b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝1
4，
∴
b n ＝
b 1q n
－1
＝2×
14
n －1
，即b n ＝
24
n －1
.
---------------------------------------------------------------6分
(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －22
4
n －1＝(2n －1)4n －1
，
∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝[1＋3×41
＋5×42
＋…＋(2n －1)4
n －
1
]．--------------------------------8分
4T n ＝[1×4＋3×42
＋5×42
＋…＋(2n －3)4n －1
＋(2n －1)4n
]．
两式相减得：。