辽宁省沈阳市同泽高级中学 2018年高二数学理月考试卷含解析

辽宁省沈阳市同泽高级中学 2018年高二数学理月考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知直线与平面，给出下列三个命题：
①若②若
③若④其中真命题的是（）
A．②③ B．②③④ C．②③④ D．①④
参考答案：
A
略
2. 设x∈R，则x>e的一个必要不充分条件是
A.x>1
B.x<1
C.x>3
D.x<3
参考答案：
A
略
3. 函数的值域为（）．
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
4. 某商场为了解毛衣的月销售量(件)与月平均气温(℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表：
由表中数据算出线性回归方程,气象部门预测下个月的月平均气温为6℃,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为
A.46
B.40
C.38
D.58
参考答案：
A
本题主要考查了线性回归直线方程,由题中的数据可知月平均气温的平均值为10,月平均销售量为38件,因为,线性回归直线方程一定过样本中心点(10,38),所以38＝－
2×10＋,解得＝58,所以当气温为6时,估计商场毛衣的销售量约为－2×6＋58＝46,故选A.
5. 设变量满足约束条件，则目标函数最大值为（）
A. B.0 C. D.4
参考答案：
D
略
6. 抛物线y2=4x的焦点坐标为（）
A．（0，1）B．（1，0）C．（0，）D．（，0）
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2，
∴焦点坐标为：（1，0）．
故选B．
7. 已知之间的几组数据如下表：
123456
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为
求得的直线方程为则以下结论正确的是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
8. 函数在区间上
A．有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值.
参考答案：
D
略
9. .如图是导函数的图象，在图中标记的点处，函数有极大值的是
（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
由导函数的图象，分析出函数y＝f（x）的单调性，进而根据极大值的定义得到答案．
【详解】由导函数的图象可得：在点左侧，此时函数y＝f（x）为增函数，在点右侧，
此时函数y＝f（x）为减函数.故当x＝x3时，函数y＝f（x）有极大值．
故选：B
【点睛】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于基础题．10. 在等差数列{an}中，若a2=3， a6＝11，Sn是数列{an}的前n项和，则S7的值为
( )
A．13 B．49 C．63 D．98
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若双曲线的离心率为2，则等于____________．
参考答案：
略
12. 设已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n2]上的最大值为4，则n+m= ．
参考答案：
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由题意可知﹣log2m=log2n，从而可得mn=1；从而解得．
【解答】解：∵y=log2x在其定义域上单调递增，
又∵f（x）=|log2x|，且m＜n，f（m）=f（n），
∴﹣log2m=log2n，
∴mn=1；
∵f（x）在区间[m，n2]上的最大值为4，
∴2log2n=4，
故n=4，m=，n+m=；
故答案为：．
【点评】本题考查了对数函数的性质应用及绝对值函数的应用．
13. 在各项为正数的等比数列{a n}中，已知a3+a4=11a2a4，且前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的11倍，则数列{a n}的通项公式a n= ．
参考答案：
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的11倍，得到前两项的关系，设a1=m，比例为k，求出k的值，进而求出m的值，即可确定出数列的通项公式．
【解答】解：由前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的11倍，得：a1+a2=11a2，即a2=0.1a1，
设a1=m，比例为k，可得k=0.1，
则有a3+a4=m（k2+k3）=11a2a4=11m2k4，即1+k=11mk2，
∴1.1=11m×0.01，即m=10，
则a n=10×0.1n﹣1=，
故答案为：
14. 过点（1，2）且与直线平行的直线的方程是______________．
参考答案：
15. 若复数_______
参考答案：
略
16. 一个三角形三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形的周长等于．
参考答案：
15
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】设三角形三边是连续的三个自然n﹣1，n，n+1，三个角分别为α，π﹣3α，
2α，由正弦定理求得cosα=，再由余弦定理可得（n﹣1）2=（n+1）2+n2﹣2
（n+1）n?，求得n=5，从而得出结论．
【解答】解：设三边长分别为n﹣1，n，n+1，对应的角为A，B，C，
由题意知C=2A，
由正弦定理得=
即有cosA=，
又cosA==
所以=，
化简为n2﹣5n=0，解得n=5，
所以三边分别为4，5，6，其周长=4+5+6=15．
故答案为：15．
17. 过和两点的直线斜率是__________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在中，分别是角A、B、C的对边，且
（1）求角B的大小；
（2）若，求的面积.
参考答案：
解析：（1）法1：由已知得
法2：由已知得
5分
（2）将代入中，得，
10分
19. (本题满分10分)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(C I M)∩N；
(2)记集合A＝(C I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a 的取值范围．
参考答案：
(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∴?I M＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴(?I M)∩N＝{2}．……………… 5分
(2)A＝(?I M)∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，∴B A，∴B＝?或B＝{2}，
当B＝?时，a－1>5－a，∴a>3；
当B＝{2}时，解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．……………… 10分
20. 已知函数f（x）=．
（1）若函数f（x）的曲线上一条切线经过点M（0，0），求该切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[﹣3，+∞）上的最大值与最小值．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，设切点是（a，），求出a的值，从而求出切线方程即可；
（2）求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最值即可．
【解答】解：（1）f′（x）=，
设切点是（a，），则k=f′（a）=，
故切线方程是：y﹣=（x﹣a）（*），
将（0，0）带入（*）得：a=1，
故切点是（1，），k=，
故切线方程是：y﹣=（x﹣1），
整理得：y=x；
（2）f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜0，
故f（x）在[﹣3，0）递减，在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
而f（﹣3）=9e3，f（0）=0，f（2）=，x→+∞时，f（x）→0，
故f（x）的最小值是0，最大值是f（﹣3）=9e3．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．21. 设全集是实数集R，A={x|2x2﹣7x+3≤0}，B={x|x2+a＜0}．
（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；
（2）若（?R A）∩B=B，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．
【分析】（1）A={x|≤x≤3}，当a=﹣4时，B={x|﹣2＜x＜2}，由此能求出A∩B和
A∪B．
（2）?R A={x|x＜或x＞3}，当（?R A）∩B=B时，B??R A，由此进行分类讨论能够求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A={x|≤x≤3}，
当a=﹣4时，B={x|﹣2＜x＜2}，
∴A∩B={x|≤x＜2}，
A∪B={x|﹣2＜x≤3}．…
（2）?R A={x|x＜或x＞3}，
当（?R A）∩B=B时，B??R A，
①当B=?，即a≥0时，满足B??R A；
②当B≠?，即a＜0时，B={x|﹣＜x＜}，
要使B??R A，需≤，解得﹣≤a＜0．
综上可得，实数a的取值范围是a≥﹣．…
22. （本小题满分14分）
已知椭圆过点，其焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点
处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为.当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
图（1）图（2）
参考答案：
（I）解：依题意得：椭圆的焦点为，由椭圆定义知：
，所以椭圆的方程为
. …………… 4分
（II）（ⅰ）设，则椭圆在点B处的切线方程为
令，，令，所以
…………… 5分
又点B在椭圆的第一象限上，所以
…………… 7分
，当且仅当
所以当时，三角形OCD的面积的最小值为
…………… 9分
（Ⅲ）设，则椭圆在点处的切线为：
又过点，所以，同理点也满足，
所以都在直线上，
即：直线MN的方程为……………12分
所以原点O到直线MN的距离，………… 13分
所以直线MN始终与圆相切. …………… 14分。