高考数学总复习 考前三个月 解答题滚动练8 理

解答题滚动练8
1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＋3
2＝2cos A .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围. 解 (1)根据倍角公式cos 2x ＝2cos 2
x －1， 得2cos 2
A ＋12＝2cos A ，
即4cos 2
A －4cos A ＋1＝0， 所以(2cos A －1)2
＝0，
所以cos A ＝12，又因为0＜A ＜π，所以A ＝π
3.
(2)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ，
得b ＝
2
3sin B ，c ＝2
3
sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋
23
(sin B ＋sin C )，
因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π
3，
所以l ＝1＋
23⎣
⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
B ＋π6，
因为0＜B ＜2π
3
，所以l ∈(2，3].
2.某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款额为2万元，贷款期限有6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的困难户中抽取了100户进行了调查统计，其贷款期限的频数如下表：
以上表各种贷款期限的频率作为2017年贫困家庭选择各种贷款期限的概率.
(1)某小区2017年共有3户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为12个月的概率；
(2)设给享受此项政策的某困难户补贴为ξ元，写出ξ的分布列，若预计2017年全市有3.6万户享受此项政策，估计2017年该市共要补贴多少万元. 解 (1)由已知一困难户选择贷款期限为12个月的概率是0.4，
所以小区2017年准备享受此项政策的3户恰有两户选择贷款期限为12个月的概率是
P 1＝C 23×0.42×0.6＝0.288.
(2)P (ξ＝200)＝0.2，P (ξ＝300)＝0.6，P (ξ＝400)＝0.2， 所以ξ的分布列是
ξ 200 300 400 P
0.2
0.6
0.2
E (ξ)＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
所以估计2017年该市共要补贴1 080万元.
3.(2017·北京丰台二模)如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2，∠DAB ＝60°，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF ⊥平面ABCD .
(1)若点G 是棱AB 的中点，求证：EG ∥平面BDF ； (2)求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；
(3)在线段FC 上是否存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ？若存在，求FH
HC
的值；若不存在，请说明理由.
(1)证明 由已知得EF ∥CD ，且EF ＝CD . 因为四边形ABCD 为等腰梯形，所以有BG ∥CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以BG ＝CD . 所以EF ∥BG ，且EF ＝BG ，
故四边形EFBG 为平行四边形，所以EG ∥FB . 因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ， 所以EG ∥平面BDF .
(2)解 因为四边形CDEF 为正方形，所以ED ⊥DC . 因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF ∩平面ABCD ＝DC ，
DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .
在△ABD 中，因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ＝2， 所以由余弦定理，得BD ＝3，所以AD ⊥BD . 在等腰梯形ABCD 中，可得DC ＝CB ＝1.
如图，以D 为原点，以DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，E (0，0，1)，B (0，3，0)，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2，32，1，
所以AE →＝(－1，0，1)，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32，1，DB →＝(0，3，0).
设平面BDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·DB →＝0，
n ·DF →＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
3y ＝0，
－12
x ＋3
2y ＋z ＝0，
取z ＝1，则x ＝2，y ＝0， 得n ＝(2，0，1).
设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AE →
，n 〉|＝|AE →
·n ||AE →|| n |＝1010，
所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为
1010
. (3)解 线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD .理由如下： 假设线段FC 上存在点H ，设H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32，t (0≤t ≤1)，
则DH →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2，32，t ，
设平面HAD 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·DA →＝0，m ·DH →＝0，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝0，－12
a ＋3
2b ＋tc ＝0，
取c ＝1，则a ＝0，b ＝－
2
3
t ，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，－23 t ，1.
要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需m ·n ＝0，
即2×0－
23
t ×0＋1×1＝0，此方程无解.
所以线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD .
4.已知函数f (x )＝a ln x ＋b (a ，b ∈R )，曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为x －y －1＝0. (1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )＋1
x
≥1；
(3)已知满足x ln x ＝1的常数为k .令函数g (x )＝m e x
＋f (x )(其中e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)，若x ＝x 0是g (x )的极值点，且g (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围. (1)解 f (x )的导函数f ′(x )＝a x
，
由曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为x －y －1＝0，知f ′(1)＝1，f (1)＝0，所以a ＝1，b ＝0.
(2)证明 令u (x )＝f (x )＋1x －1＝ln x ＋1
x
－1，
则u ′(x )＝1x －1x 2＝x －1
x
2，
当0＜x ＜1时，u ′(x )＜0，u (x )单调递减；当x ＞1时，
u ′(x )＞0，u (x )单调递增，所以当x ＝1时，u (x )取得极小值，也即最小值，该最小值为u (1)
＝0，
所以u (x )≥0，即不等式f (x )＋1
x
≥1成立.
(3)解 函数g (x )＝m e x
＋ln x (x ＞0)， 则g ′(x )＝m e x
＋1x
，
当m ≥0时，g ′(x )＞0，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，g (x )无极值，不符合题意； 当m ＜0时，由g ′(x )＝m e x ＋1x ＝0，得e x
＝－1mx
，
结合y ＝e x ，y ＝－1mx 在(0，＋∞)上的图象可知，关于x 的方程m e x
＋1x
＝0一定有解，其解为
x 0(x 0＞0)，且当0＜x ＜x 0时，g ′(x )＞0，g (x )在(0，x 0)内单调递增；
当x ＞x 0时，g ′(x )＜0，g (x )在(x 0，＋∞)内单调递减. 则x ＝x 0是函数g (x )的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，
x ＝x 0也是g ′(x )＝0在(0，＋∞)上的唯一零点，
即m 0e x
＝－1x 0
，则m ＝－10e x x 0
.
所以g (x )max ＝g (x 0)＝m 0e x
＋ln x 0＝－1x 0
＋ln x 0.
由于g (x )≤0恒成立，则g (x )max ≤0， 即－1
x 0
＋ln x 0≤0，
(*)
考查函数h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝1x ＋1
x
2＞0，
所以h (x )为(0，＋∞)上的增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－e ＜0，h (e)＝1－1e ＞0， 又常数k 满足k ln k ＝1，即－1
k
＋ln k ＝0，
所以k 是方程－1
x 0
＋ln x 0＝0的唯一根，
于是不等式(*)的解为x 0≤k ，
又函数t (x )＝－1e x x (x ＞0)为增函数，故m ＝－10e x x 0≤－1
e k k ，
所以m 的取值范围是⎝
⎛
⎦
⎥⎤－∞，－
1e k
k .。