巧借投影法，妙破高考题

系、面 积 转 化 以 及 三 角 函 数 的 公 式 应 用 等，有 效 借 助
数形直观加以合理有效转化与应用，合理求解．
例２ （２０２０年全国卷 Ⅲ 理科第６题）已知向量
犪，犫满足 犪 ＝５，犫 ＝６，犪·犫＝－６，则ｃｏｓ〈犪，犪＋犫〉
＝（ ）．
３１
１９
１７
１９
Ａ．－３５ Ｂ．－３５ Ｃ．３５ Ｄ．３５
一、数量积的求解
借助投影 法来破解 向量的数量积问 题，其 关 键
是利用投影的几何 意 义，将 平 面 向 量 的 投 影 作 为 一
个整体或转化为线 段 的 长 度 问 题，避 免 求 解 向 量 之
间的夹角问题，从而 得 以 直 观 操 作，合 理 转 化，巧 妙
求解．
例１ （２０２０年北京卷第１３题）已知正方形 犃犅犆犇
作犅犃 的延长线的垂线，垂足为
犉′，过点犆 作犃犅 的延长线的垂 线，垂足为犆′，过点 犘 作犃犅 的
垂线，垂足为 犘′，结合正六边形
犃犅犆犇犈犉 的性质可得 犃犉′ ＝
犅犆′ ＝２ｃｏｓ６０°＝１．
图３
当犘′为犃 时，犃→犘·犃→犅＝０；
当犘′位于点犃 的右侧时，结合平面向量的投影， 可知犃→犘·犃→犅 ＝ 犃犘′ · 犃犅 ＝２ 犃犘′ ∈ （０，６）；
教学 参谋 新颖试题 ２０２１年２月
巧借投影法，妙破高考题
? 甘肃省高台县第一中学 邢 军
平面向量的投影是平面向量的数量积的概念说 明与知识 链 接，具 有 非 常 明 显 的 几 何 意 义，是 数 量 积 概念的进 一 步 补 充、拓 展 与 延 伸．借 助 平 面 向 量 的 投 影，可 以 用 来 巧 妙 破 解 平 面 向 量 中 的 一 些 相 关 问 题， 直观有效，灵活多变．在２０２０年高考数学试卷中，平面 向量的投影法也是破解高考真题的一种基本技巧方 法，下面结合真题实例加以剖析．
的取值范围是（ ）． Ａ．（－２，６） Ｂ．（－６，２） Ｃ．（－２，４） Ｄ．（－４，６） 分析：结合平面几何作图分析，利用点 犘 在直线
犃犅 上的垂足犘′所处的位置加以分类讨论，结合平面
向量的投 影，分 别 确 定 数 量 积 的 取 值 范 围，进 而 加 以
综合分析即可．
解析：如图３所示，过点 犉
ｃｏｓ∠犃犗犇 ＝１ ３９ ５，即ｃｏｓ〈犪，犪＋犫〉＝１ ３９ ５．
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教学
２０２１年２月 新颖试题
参谋
故选 Ｄ． 点评：合理借助 投 影 法，可 以 把 对 应 的 平 面 向 量 的数量积问题转化为线段的长度问题，为进一步利用 平面几何知识解决相关向量的夹角问题提供条件．该 方法主要是结合平面几何图形特征，借助投影法加以 转化，利用平面几何性质来破解．
分析：结合平 面 几 何 作 图 分 析，利 用 平 面 向 量 的
投影来确定线段犗犆 的长度，进而通过勾股定理以及
中线性质来求解相应的线段的长度，并结合三角形的
等面积法加以应用，从而得以确定向量的夹角的余弦
值．
解析：如图２所示，设犗→犃 ＝ 犪，犗→犅 ＝犫，过点犃 作犅犗 的延长
线的垂线，垂足为 犆，连接 犃犅，
当犘′位于点犃 的左侧时，结合平面向量的投影， 可知犃→犘 ·犃→犅 ＝－ 犃犘′ · 犃犅 ＝－２ 犃犘′ ∈
（－２，０）． 综上分析，可知犃→犘·犃→犅 ∈ （－２，６）．
故选 Ａ．
点评：合理借助 投 影 法，可 以 把 复 杂 的 平 面 向 量
的数量积问题“形”化，借助平面几何图形加以直观分
面几何图 形 的 特 征，或 将 数 量 积 问 题 整 体 化，或 将 数
量积问题 线 段 长 度 化，进 而 数 形 结 合，结 合 平 面 几 何
图形中的相关知识加以综合与应用．
二、夹角的确定
借助投影法来破解向量夹角的确定问题，关键是
利用投影 的 几 何 意 义，利 用 线 段 的 长 度 求 值、比 值 关
的边长为２，点犘 满足犃→犘＝ １ ２（犃→犅＋犃→犆），则 犘→犇 ＝
；犘→犅·犘→犇 ＝
．
分析：利 用 平 面 向 量 的 中 线 定
理确定点犘 的位置，通过平面几何 中的勾股定理来求解线段的长度；
而结合正方形相邻边互相垂直的性
质，借 助 平 面 向 量 的 投 影 来 直 观 求
解对应的数理积问题．
图１
解析：如图１所示，由于点 犘 满足犃→犘 ＝ １ ２（犃→犅 ＋犃→犆），则点犘 是线段犅犆 的中点，且 犘犆 ＝１，则有
犘→犇 ＝ 槡２２ ＋１２ ＝槡５． 由于 犇犆 ⊥犅犆，结合平面向量的投影，可得犘→犅
·犘→犇 ＝－ 犘犅 · 犘犆 ＝－１．
故填答案：槡５，－１． 点评：合理借助 投 影 法，可 以 更 加 直 观 地 利 用 平
取线段犃犅 的中点犇，连接犗犇，
过点 犇 作 犗犅 的 垂 线，垂 足 为
犈，则点犈 为线段犅犆 的中点．由 于犪＋犫＝犗→犃 ＋犗→犅 ＝２犗→犇，则
图２
〈犪，犪＋犫〉＝∠犃犗犇，由于 犗犃 ＝５，犗犅 ＝６，犪·犫
＝－６，结 合 平 面 向 量 的 投 影，可 知 犗犆 ＝１，所 以
犃犆
＝ 槡５２ －１２
＝２槡６，槡 （ ） 犗犈 ＝１＋２６－１＝５ ２，可得 犗犇 ＝
（槡６）２ ＋
５２ ２
＝
７， ２
而
犛△犗犃犇
＝
１ ２
×５×
７ ２ｓｉｎ∠犃犗犇
＝
３５ ４
槡１－ｃｏｓ２∠犃犗犇
，犛△犗犃犇
＝
１ ２犛△犗犃犅
＝
１ ２
×
１ ２
×６
×２槡６＝３槡６，可得３４５ 槡１－ｃｏｓ２∠犃犗犇 ＝３槡６，解得
三、取值范围的转化
借助投影法来破解数量积取值范围的转化问题，
关键是利用投影的几何意义，有效转化相应的向量数
量积关系式，通过平面几何图形的直观来确定相应的
极端位置，进而用来解决一些向量数量积的取值范围
问题，处理起来更直观，更具可操作性．
例３ （２０２０年新高考山东卷第７题）已知犘 是边 长为２的正六边形 犃犅犆犇犈犉 内的一点，则犃→犘·犃→犅