2025年人教版八年级下册数学期末复习第十八章 平行四边形

【探究发现】 某数学兴趣小组尝试对上述问题进行变式，转换了问题
的背景图形，如图②，在等边三角形中，点，分别在边，
上（不与三角形顶点重合），且 = ，点为，的交点，请
将图形补充完整，并求∠的度数；
解：如图①，
∵ △是等边三角形，
∴ = ，∠ = ∠ = ∘ .
个动点， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为点，，则 +

=___.

[解析] 点拨：连接，
∵ 四边形是矩形，
∴ ∠ = ∘ ， = = ， = = = .
∵ = ， = ，
∴ =
∴ △ =
思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形中，点是对角线的中点.用尺规过点作
的垂线，分别交，于点，，连接，.（不写作法，保留
作图痕迹）
解：如图，即为所求.
（2）已知矩形，点，分别在，上，经过对角线的
中点，且 ⊥ .求证：四边形是菱形.
= ,
在△和△中，ቐ∠ = ∠,
= ,
∴ △≌△，∴ ∠ = ∠.
又∵ ∠ = ∠ + ∠，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ∘ .
【拓展提升】 利用“探究发现”的思路及结论，继续探究，尝试解决如


= ×
类型二 新定义
2.[2024⋅河北] 在平面直角坐标系中，我们把一个点
的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，
矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴
平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是
( B
A.点
（第2题）
)
B.点
C.点
D.点
[解析] 点拨：设(, )， = ， = ，
∵ 四边形是矩形，
∴ = = ， = = ，
∴ (, + )，( + , )，( + , + ).

易知
+
<


<
+

，且

+
<
+
，
+
∴ 该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.
类型三 开放性试题
3.[2024⋅上海普陀区三模] 如图，在四边形中， = ，
//（答案不唯一）
⊥ 于点.则添加一个条件：_______________________，可以使
四边形成为菱形.
（第3题）
4.[2024⋅宿迁] 如图，在四边形中，
//，且 = =

，是的中

点.下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接，则四边形是菱形；乙：
∴ △是直角三角形.（二者选择一个即可）
类型四 过程探究题
5.[2024⋅重庆] 在学习了矩形与菱形的相关知识后，
小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形
的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩
形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成
的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他的想法与
∵ ∠ = ∘ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∘ ，



= ，∴ = = ，



△ + △ = ⋅ +



+
⋅ =
× × = ，


∴ ×



∴ +


+ ×



= .



= ×

(

+ ) = ，


△
若连接，则△是直角三角形.
请选择一名同学的结论给予证明.
证明：选择甲：如图①，
∵
∴

= ，是的中点，


= = .

∵ //，∴ 四边形是平行四边形.
∵ = ，∴ 四边形是菱形.
选择乙：如图②，连接，，交于点，
∵ =
∴ =

，是的中点，


= = .

∵ //，∴ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形.
∵ = ，∴ 四边形是菱形，
∴ ⊥ ，∴ ∠ = ∘ .
∵ 四边形是平行四边形，
∴ //，∴ ∠ = ∠ = ∘ ，
பைடு நூலகம்是菱形.
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，
四边形是菱形
写出你猜想的结论：④___________________.
类型五 类比探究题
6.【问题原型】如图①，在正方形中，点，分别在边，
∘

上，且 = ，点为，的交点，则∠ =_____；
第十八章 平行四边形
类型一 数学文化
1.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，
最早是由三国时期数学家刘徽创建的.“将一个几
何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面
积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”
（第1题）
是该原理的重要内容之一，如图，在矩形
中， = ， = ，对角线与交于点，点为边上的一
∠ = ∠
证明：∵ 四边形是矩形，∴ //. ∴ ① _______________，
∠ = ∠.
= .∴ △≌△(). ∴ ③
∵ 点是的中点，∴ ②__________
=
__________.
又∵ = ，∴ 四边形是平行四边形.∵ ⊥ ，∴ 四边形
下问题：如图③，在菱形中，∠ = ∘ ，点，分别在边
，上，且∠ = ∠， = ，点为，的交点，求
∠的度数.
解：如图②，连接交于点.
∵ 四边形是菱形，
∴ = = ，//，//，∠ = ∠.