高考数学2.1合情推理与演绎推理专题1

高考数学2．1合情推理与演绎推理专题1
2020.03
1,已知)(x f 是定义在R 上的函数，对任意R x ∈均有)()1(x f x f -=+，
)1()1(x f x f +=-，且当[)2,0∈x 时，22)(x x x f -=。

①求证：)(x f 为周期函数； ②求证：)(x f 为偶函数；
③试写出)(x f 的解析式。

（不必写推导过程）
2,有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
b ⊆/平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论
显然是错误的，这是因为 （ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误
3,已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；
201110,,,a a a Λ是公差为d
的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列
（0≠d ）．
（1）若4020=a ，求d ；
（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；
（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3
d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
4,已知13a =，133
n n n a a a +=
+，试通过计算2a ，3a ，4a ，5a 的值，推测出n a ＝___________．
5,用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反
设正确的是（ ）。

A ．假设三内角都不大于60度；
B ．假设三内角都大于60度；
C ．假设三内角至多有一个大于60度；
D ．假设三内角至多有两个大于60度。

6,对“a,b,c 是不全相等的正数”，给出两个判断：
①0)()()(2
22≠-+-+-a c c b b a ；②a c c b b a ≠≠≠,,不能同时成立，
下列说法正确的是（ ）
A ．①对②错
B ．①错②对
C ．①对②对
D ．①错②错
7,一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。

8,已知函数)(x f =sin2x －2cos 2x ＋3，求：①函数的最大值及取得最大值时x 值得集合；②函数的单调递增区间；③满足)(x f 〉3的x 的集合。

9,设R y x b a ∈,,,，且122=+b a ,
122=+y x ,试证：1≤+by ax 。

10,在ΔABC 中，a=5，B=30°，A=45°，则b=（ ）
A ．2
2
5 B ．3
3
5 C ．2
6
5 D ．25
11,已知向量a 与b 的夹角为60°，|a| = 3，|b| =2，c = 3a + 5b ，d = ma －b ， c ⊥d ，求m 的值。

12,在△ABC 中，证明：2222
1
12cos 2cos b a b B a
A -=-。

13,类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边A
B 、A
C 互相
垂直，则三角形三边长之间满足关系：2
22BC AC AB =+。

若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 ．
14,已知q 是r 的必要不充分条件，s 是r 的充分且必要条件，那么s 是q 成
立的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充要条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
15,
()
:344,
(),x x y x y y x y ≥⎧⊗=⊗=⎨<⎩定义运算例如则下列等式不能成立的是
（ ）
A ．x y y x ⊗=⊗
B ．()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗
C ．222
()x y x y ⊗=⊗ D ．)()()(y c x c y x c ⋅⊗⋅=⊗⋅ （其中0>c ）
16,等差数列}{n a 中，已知前15项的和9015=S ，则8a 等于（ ）
A ．245
B ．12
C ．445
D ．6
17,从11=，)21(41+-=-,321941++=+-，)4321(16941+++-=-+-，…,
推广到第n 个等式为_________________________．
18,与函数x y =为相同函数的是（ ）
A ．2
x y = B ．x x y 2= C ．x e y ln = D ．x y 2log 2=
19,已知βαtan ,tan 是关于x 的一元二次方程
()02322=-+--m x m mx 的两个实根。

①求m 的取值范围； ②求()βα+tan 的取值范围。

20,用反证法证明：如果
21
>
x ，那么0122≠-+x x 。

21,不等式
0322
>-+x x 的解集是（ ） A ．{x|－1＜x ＜3＝ B ．{x|x ＞3或x ＜－1＝
C ．{x|－3＜x ＜1}
D ．{x|x>1或x ＜－3} 22,下面使用类比推理正确的是 （ ）． A ．“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”
B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”
C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b
c
c c +=+
（c ≠0）” D ．“
n n
a a
b =n
（b ）” 类推出“n
n
a a
b +=+n
（b ）” 23,当=n 1，2，3，4，5，6时，比较n
2和2n 的大小并猜想 （ ）
A ．1≥n 时，22n n >
B ． 3≥n 时，2
2n n > C ． 4≥n 时，22n n > D ． 5≥n 时，2
2n n >
24,设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则
=
+y c x a （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．不确定
25,已知
"1""1",,2
2≤+≤∈y x xy R y x 是则的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
26,已知数列{}n a 首项11=a ，且1
21+=-n n a a （n ≥ 2），则5a 的值等于（ ）
A ．7
B ．15
C ．30
D ．31
答案
1, ①：证明：[])()1(1)1()2(x f x f x f x f =+-=++=+ 所以函数)(x f 是周期为2的函数。

②：证明：[][])()2()1(1)1(1)(x f x f x f x f x f =+=++=+-=- 所以函数)(x f 是偶函数。

③：
[)),22,2(,1)12()(2
Z k k k x k x x f ∈+∈+---=
2, A 3, 解：（1）3,401010.
102010=∴=+==d d a a ．
（2）
()
)0(110102
22030≠++=+=d d d d a a ，
⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230
d a ，
当),0()0,
(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞．
（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，
公差为1的
等差数列，当1≥n 时，数列)
1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n
d 的等差数列．
研究的问题可以是： 试写出
)
1(10+n a 关于d 的关系式，并求
)
1(10+n a 的取值范围．
研究的结论可以是：由(
)3
23
304011010d d d d a a +++=+=，
依次类推可得
()
⎪⎩⎪
⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),
1(10,1,11101101
)1(10d n d d d d d a n n
n Λ
当0>d 时，
)
1(10+n a 的取值范围为),
10(∞+等．
4, 3
n
5, B 6, A 7, 14
8, 解：2
)42sin(222cos 2sin )(+-=+-=π
x x x x f
①当⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧∈+=∈Z k k x x x ,83π
π时， 22)(max +=x f
②函数的单调增区间为)(83,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ
（开闭无关） ③3)(>x f
即3
2)42sin(2>+-π
x 即
22)4
2sin(>
-
π
x
∴原不等式的解集为⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,24π
πππ 9, 证明:
2
22222222222))((1y b x b y a x a y x b a +++=++= 2
2222)(2by ax y b aybx x a +=++≥
故1≤+by ax
10, A
11, m=4229
12, 证明：222
222sin 21sin 212cos 2cos b B
a A
b B a A ---=-
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=222222sin sin 21
1b B a A b a 由正弦定理得：222
2sin sin b B
a
A = 22221
12cos 2cos b a b B a A -=-∴
13, 2
222ABD ACD ABC BCD
S S S S ∆∆∆∆++= 14, C 15, C 16, D
17, +-+-2
224321…)321()1()
1(121
n n n n +⋅⋅⋅+++⋅-=⋅-+++
19, 解①：
⎩⎨⎧
≥---≠0)2(4)32(02m m m m 解得：
49
≤
m 且0≠m
解②：Θ
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+
23-
=m
43)tan(≤
+∴βα且23
)tan(-≠+βα
即)tan(βα+的取值范围是
)
43
,23()23,(---∞Y 20, 假设0122
=-+x x ，则21±-=x
容易看出2121<
--，下面证明21
21<
+-。

要证：
21
21<
+-，
只需证：232<
，
只需证：
492<
上式显然成立，故有21
21<
+-。

综上，
2121<
±-=x 。

而这与已知条件21
>
x 相矛盾，
因此假设不成立，也即原命题成立。

21, A 22, C 23, D
25, B 26, D。