2024届重庆市合川区毕业升学考试模拟卷数学卷含解析

2024届重庆市合川区毕业升学考试模拟卷数学卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是( )
A．
4.5
0.51
y x
y x
=+
⎧
⎨
=-
⎩
B．
4.5
21
y x
y x
=+
⎧
⎨
=-
⎩
C．
4.5
0.51
y x
y x
=-
⎧
⎨
=+
⎩
D．
4.5
21
y x
y x
=-
⎧
⎨
=-
⎩
2．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）
A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．AD DC AB AC
=
3．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列运算正确的是（）
A．x3+x3=2x6B．x6÷x2=x3C．（﹣3x3）2=2x6D．x2•x﹣3=x﹣1
5．第四届济南国际旅游节期间，全市共接待游客686000人次．将686000用科学记数法表示为（）
A．686×104B．68.6×105C．6.86×106D．6.86×105
6．4的平方根是（）
A．2 B．±2 C．8 D．±8
7．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）
A．B．
C．D．
8．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）
A ．∠1=∠2
B ．∠3=∠4
C ．∠1+∠3=180°
D ．∠3+∠4=180°
9．如图所示，90,,E F B C AE AF ∠=∠=∠=∠=，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ∆≅∆，其中正确的是有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．正方形ABCD 和正方形BPQR 的面积分别为16、25，它们重叠的情形如图所示，其中R 点在AD 上，CD 与QR 相交于S 点，则四边形RBCS 的面积为（ ）
A ．8
B ．172
C ．283
D ．778
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，ABC ∆中，∠BAC 75=︒，7BC =，ABC ∆的面积为14，D 为BC 边上一动点（不与B ，C 重合），将ABD ∆和ACD ∆分别沿直线AB ，AC 翻折得到ABE ∆和ACF ∆，那么△AEF 的面积的最小值为____．
12．计算（a 3）2÷（a 2）3的结果等于________
13．如图，在△ABC 中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为_____．
14．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．
15．点A到⊙O的最小距离为1，最大距离为3，则⊙O的半径长为_____．
16．分解因式：a2b+4ab+4b=______．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象交于A（a，2），B（4，b）两点．求反比例函数的表达式；点C是第一象限内一点，连接AC，BC，使AC∥x轴，BC∥y 轴，连接OA，OB．若点P在y轴上，且△OPA的面积与四边形OACB的面积相等，求点P的坐标．
18．（8分）定义：在三角形中，把一边的中点到这条边的高线的距离叫做这条边的中垂距．例：如图①，在△ABC 中，D为边BC的中点，AE⊥BC于E，则线段DE的长叫做边BC的中垂距．
(1)设三角形一边的中垂距为d(d≥0)．若d=0，则这样的三角形一定是，推断的数学依据
是.
(2)如图②，在△ABC中，∠B=15°，AB=32，BC=8，AD为边BC的中线，求边BC的中垂距．
(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=1．点E为边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结AC．求△ACF中边AF的中垂距．
19．（8分）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
()1若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A ，B 两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A 型板材每张30元，B 型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？
()2若该工厂仓库里现有A 型板材65张、B 型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？
()3若该工厂新购得65张规格为33m ⨯的C 型正方形板材，将其全部切割成A 型或B 型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共______只.
20．（8分）已知()()
a b A b a b a a b =
---. （1）化简A ； （2）如果a,b 是方程24120x x --=的两个根，求A 的值．
21．（8分）如图，在四边形ABCD 中，点E 是对角线BD 上的一点，EA ⊥AB ，EC ⊥BC ，且EA=EC ．求证：AD=CD ．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2
y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，A 点的坐标为()1,0-．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC 的最大面积；
（3）若Q为抛物线对称轴上一动点，直接写出使QBC
∆为直角三角形的点Q的坐标．
23．（12分）当a=3，b=2时，求代数式
2
2222
2
a b b ab
a a
b b a b
+-
-
++-
的值．
24．阅读
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到
△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、A
【解题分析】
根据“用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【题目详解】
由题意可得，
4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩
， 故选A ．
【题目点拨】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
2、C
【解题分析】
结合图形，逐项进行分析即可.
【题目详解】
在△ADC 和△BAC 中，∠ADC=∠BAC ，
如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线； ②AD DC AB AC
=， 故选C ．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的条件，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
3、C
【解题分析】
∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，
∴△ACD ∽△ABC ， ∴12
AC AD AB AC ==， ∴2ACD ABC S AD S
AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2112ABC
S ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S △ABC =4，
∴S △BCD = S △ABC - S △ACD =4-1=1．
故选C
考点：相似三角形的判定与性质.
4、D
【解题分析】
分析：根据合并同类项法则，同底数幂相除，积的乘方的性质，同底数幂相乘的性质，逐一判断即可.
详解：根据合并同类项法则，可知x3+x3=2x3，故不正确；
根据同底数幂相除，底数不变指数相加，可知a6÷a2＝a4，故不正确；
根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可知(－3a3)2＝9a6，故不正确；
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，可得x2•x﹣3=x﹣1，故正确.
故选D.
点睛：此题主要考查了整式的相关运算，是一道综合性题目，熟练应用整式的相关性质和运算法则是解题关键.
5、D
【解题分析】
根据科学记数法的表示形式(a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数)可得:
686000=6.86×105，
故选：D．
6、B
【解题分析】
依据平方根的定义求解即可．
【题目详解】
∵（±1）1=4，
∴4的平方根是±1．
故选B．
【题目点拨】
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
7、C
【解题分析】
试题分析：∵抛物线向右平移1个单位长度，∴平移后解析式为：，∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：．故选C．
考点：二次函数图象与几何变换．
8、D
【解题分析】
分析：依据AB ∥CD ，可得∠3+∠5=180°，再根据∠5=∠4，即可得出∠3+∠4=180°．
详解：如图，∵AB ∥CD ，
∴∠3+∠5=180°，
又∵∠5=∠4，
∴∠3+∠4=180°，
故选D ．
点睛：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
9、C
【解题分析】
根据已知的条件，可由AAS 判定△AEB ≌△AFC ，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．
【题目详解】
解：如图：
在△AEB 和△AFC 中，有
90B C E F AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△AEB ≌△AFC ；（AAS ）
∴∠FAM=∠EAN ，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN ，
即∠EAM=∠FAN ；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；
故正确的结论有：①③④；
故选C．
【题目点拨】
此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，做题时要从最容易，最简单的开始，由易到难．
10、D
【解题分析】
根据正方形的边长，根据勾股定理求出AR，求出△ABR∽△DRS，求出DS，根据面积公式求出即可．【题目详解】
∵正方形ABCD的面积为16，正方形BPQR面积为25，
∴正方形ABCD的边长为4，正方形BPQR的边长为5，
在Rt△ABR中，AB=4，BR=5，由勾股定理得：AR=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠BRQ=90°，
∴∠ABR+∠ARB=90°，∠ARB+∠DRS=90°，
∴∠ABR=∠DRS，
∵∠A=∠D，
∴△ABR∽△DRS，
∴AB AR DR DS
=，
∴43
1DS =，
∴DS=3
4
，
∴∴阴影部分的面积S=S正方形ABCD-S△ABR-S△RDS=4×4-1
2
×4×3-
1
2
×
3
4
×1=
77
8
，
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，能求出△ABR 和△RDS 的面积是解此题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、4.
【解题分析】
过E 作EG ⊥AF ，交FA 的延长线于G ，由折叠可得∠EAG ＝30°，而当AD ⊥BC 时，AD 最短，依据BC ＝7，△ABC 的面积为14，即可得到当AD ⊥BC 时，AD ＝4＝AE ＝AF ，进而得到△AEF 的面积最小值为：12AF×EG ＝12
×4×2＝4.
【题目详解】
解：如图，过E 作EG ⊥AF ，交FA 的延长线于G ，
由折叠可得，AF ＝AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD ，∠DAC ＝∠FAC ，
∵∠BAC ＝75°，
∴∠EAF ＝150°，
∴∠EAG ＝30°，
∴EG ＝12AE ＝12AD ， 当AD ⊥BC 时，AD 最短，
∵BC ＝7，△ABC 的面积为14，
∴当AD ⊥BC 时， 1142
BC AD ⋅=， 即：14274AD =⨯÷=AF AE ==，
∴114222
EG AE ==⨯=. ∴△AEF 的面积最小值为：
12AF×EG ＝12
×4×2＝4， 故答案为：4.
【题目点拨】
本题主要考查了折叠问题，解题的关键是利用对应边和对应角相等．
12、1
【解题分析】
根据幂的乘方, 底数不变, 指数相乘; 同底数幂的除法, 底数不变, 指数相减进行计算即可.
【题目详解】
解：原式=6601a a a ÷==
【题目点拨】
本题主要考查幂的乘方和同底数幂的除法,熟记法则是解决本题的关键, 在计算中不要与其他法则相混淆. 幂的乘方, 底数不变,指数相乘; 同底数幂的除法, 底数不变, 指数相减.
13、1.1．
【解题分析】
分析：由将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，可得AD=AB ，又由∠B=60°，可证得△ABD 是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
详解：由旋转的性质可得：AD=AB ，
∵∠B=60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴BD=AB ，
∵AB=2，BC=3.1，
∴CD=BC-BD=3.1-2=1.1．
故答案为：1.1．
点睛：此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
14、72°
【解题分析】
首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE ，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得
∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到
∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．
【题目详解】
∵五边形ABCDE 为正五边形，
∴AB=BC=AE ，∠ABC=∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，
∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，
故答案为72°．
【题目点拨】
本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键
15、1或2
【解题分析】
分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．
【题目详解】
点在圆内，圆的直径为1+3=4，圆的半径为2；
点在圆外，圆的直径为3−1=2，圆的半径为1，
故答案为1或2.
【题目点拨】
本题考查点与圆的位置关系，关键是分类讨论：点在圆内，点在圆外.
16、b （a+2）2
【解题分析】
根据公式法和提公因式法综合运算即可
【题目详解】
a 2b+4ab+4b=22(44)(2)
b a a b a ++=+.
故本题正确答案为2(2)b a +.
【题目点拨】
本题主要考查因式分解.
三、解答题（共8题，共72分）
17、 (1) 反比例函数的表达式为y ＝（x ＞0）;(2) 点P 的坐标为（0，4）或（0，﹣4）
【解题分析】
（1）根据点A （a ，2），B （4，b ）在一次函数y ＝﹣x +3的图象上求出a 、b 的值，得出A 、B 两点的坐标，再运用
待定系数法解答即可；
（2）延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，构建矩形OECF，根据S四边形OACB＝S矩形OECF﹣S△OAE﹣S△OBF，设点P（0，m），根据反比例函数的几何意义解答即可．
【题目详解】
（1）∵点A（a，2），B（4，b）在一次函数y＝﹣x+3的图象上，
∴﹣a+3＝2，b＝﹣×4+3，
∴a＝2，b＝1，
∴点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，1），
又∵点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）；
（2）延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，
∵AC∥x轴，BC∥y轴，
则有CE⊥y轴，CF⊥x轴，点C的坐标为（4，2）
∴四边形OECF为矩形，且CE＝4，CF＝2，
∴S四边形OACB＝S矩形OECF﹣S△OAE﹣S△OBF
＝2×4﹣×2×2﹣×4×1
＝4，
设点P的坐标为（0，m），
则S△OAP＝×2•|m|＝4，
∴m＝±4，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
【题目点拨】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法
求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18、（1）等腰三角形；线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等；（2）1；（3）9 5 .
【解题分析】
试题分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质即可判断．
（2）如图②中，作AE⊥BC于E．根据已知得出AE=BE，再求出BD的长，即可求出DE的长．
（3）如图③中，作CH⊥AF于H，先证△ADE≌△FCE，得出AE=EF，利用勾股定理求出AE的长，然后证明△ADE∽△CHE，建立方程求出EH即可．
解：（1）等腰三角形；线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等
（2）解：如图②中，作AE⊥BC于E．
在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=15°，AB=3 ，
∴AE=BE=3，
∵AD为BC边中线，BC=8，
∴BD=DC=1，
∴DE=BD﹣BE=1﹣3=1，
∴边BC的中垂距为1
（3）解：如图③中，作CH⊥AF于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠EHC=∠ECF=90°，AD∥BF，
∵DE=EC，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，
在Rt△ADE中，∵AD=1，DE=3，
∴AE= =5，
∵∠D=EHC ，∠AED=∠CEH ，
∴△ADE ∽△CHE ，
∴ = ， ∴ = ， ∴EH= ，
∴△ACF 中边AF 的中垂距为
19、（1）最多可以做25只竖式箱子；（2）能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只；（3）47或1．
【解题分析】
()1表示出竖式箱子所用板材数量进而得出总金额即可得出答案；()2设制作竖式箱子a 只，横式箱子b 只，利用A
型板材65张、B 型板材110张，得出方程组求出答案；()3设裁剪出B 型板材m 张，则可裁A 型板材()6593m ⨯-张，
进而得出方程组求出符合题意的答案．
【题目详解】
解：()1设最多可制作竖式箱子x 只，则A 型板材x 张，B 型板材4x 张，根据题意得
3090410000x x +⨯≤ 解得252539
x ≤． 答：最多可以做25只竖式箱子．
()2设制作竖式箱子a 只，横式箱子b 只，根据题意，
得26543110
a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：530a b =⎧⎨=⎩
． 答：能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只．
()3设裁剪出B 型板材m 张，则可裁A 型板材()6593m ⨯-张，由题意得：
2659343a b m a b m +=⨯-⎧⎨+=⎩
， 整理得，1311659a b +=⨯，()111345b a =-．
竖式箱子不少于20只，
4511a ∴-=或22，这时34a =，13b =或23a =，26b =．
则能制作两种箱子共：341347+=或232649+=．
故答案为47或1．
【题目点拨】
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，列出等式．
20、（1）a b ab +；（2）-13
. 【解题分析】
（1）先通分，再根据同分母的分式相加减求出即可；
（2）根据根与系数的关系即可得出结论．
【题目详解】
（1）A =a b a b -（）﹣b a a b -（）
=22
a b ab a b --（）
=a b ab
+； （2）∵a ，b 是方程24120x x --=的两个根，∴a +b =4，ab =－12，∴41123a b A ab +=
==--． 【题目点拨】
本题考查了分式的加减和根与系数的关系，能正确根据分式的运算法则进行化简是解答此题的关键．
21、证明见解析
【解题分析】
根据垂直的定义和直角三角形的全等判定，再利用全等三角形的性质解答即可．
【题目详解】
∵EA ⊥AB ，EC ⊥BC ，
∴∠EAB=∠ECB=90°，
在Rt △EAB 与Rt △ECB 中
{EA EC EB EB
==， ∴Rt △EAB ≌Rt △ECB ，
∴AB=CB ，∠ABE=∠CBE ，
∵BD=BD ，
在△ABD 与△CBD 中
{AB CB
ABE CBE BD BD
=∠=∠=，
∴△ABD ≌△CBD ，
∴AD=CD ．
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的判定及性质，根据垂直的定义和直角三角形的全等判定是解题的关键．
22、（1）223y x x =--；（2）
P 点坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 758；（3）Q
⎛ ⎝⎭
或⎛ ⎝⎭或()1,2或()1,4-． 【解题分析】
（1）根据待定系数法把A 、C 两点坐标代入2y x bx c =++可求得二次函数的解析式；
（2）由抛物线解析式可求得B 点坐标，由B 、C 坐标可求得直线BC 解析式，可设出P 点坐标，用P 点坐标表示出四边形ABPC 的面积，根据二次函数的性质可求得其面积的最大值及P 点坐标；
（3）首先设出Q 点的坐标，则可表示出QB 2、QC 2和BC 2，然后分∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三种情况，求解即可.
【题目详解】
解：（1）∵A(-1,0)，()0,3C -在2y x bx c =++上，
103b c c -+=⎧∴⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩
， ∴二次函数的解析式为223y x x =--；
（2）在223y x x =--中，令0y =可得2023x x -=-，解得3x =或1x =-，
()3,0B ∴，且()0,3C -，
∴经过B 、C 两点的直线为3y x =-，
设点P 的坐标为()
223x x x --，，如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，与直线BC 交于点E ，则(),3E x x -，
ABC BCP ABPC S S S ∆∆=+四边形()211433322x x =⨯⨯+-⨯239622x x =-++2
3375228x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴当32x =时，四边形ABPC 的面积最大，此时P 点坐标为315,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴四边形ABPC 的最大面积为758
； （3）()222314y x x x =--=--，
∴对称轴为1x =，
∴可设Q 点坐标为()1,t ，
()3,0B ，()0,3C -，
()2222134BQ t t ∴=-+=+，()222213610CQ t t t =++=++，218BC =，
QBC ∆为直角三角形，
∴有90BQC ∠=︒、90CBQ ∠=︒和90BCQ ∠=︒三种情况，
①当90BQC ∠=︒时，则有222BQ CQ BC +=，即22461018t t t ++++=，解得317t -+=或317t --=，此时Q 点坐标为317⎛-+ ⎝⎭或317⎛-- ⎝⎭
； ②当90CBQ ∠=︒时，则有222BC BQ CQ +=，即22418610t t t ++=++，解得2t =，此时Q 点坐标为()1,2； ③当90BCQ ∠=︒时，则有222BC CQ BQ +=，即22186104t t t +++=+，解得4t =-，此时Q 点坐标为()1,4-；
综上可知Q 点的坐标为317⎛-+ ⎝⎭或317⎛-- ⎝⎭
或()1,2或()1,4-． 【题目点拨】
本题考查了待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，注意分类讨
论思想的应用.
23、1b a b
++,6﹣ 【解题分析】
原式=()()()()2b a b a b a b a b a b -+++-+ =11b b a b a b a b
++=+++，
当，b=2时，
6
==- 24、（1）2＜AD ＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF ；理由见解析.
【解题分析】
试题分析：（1）延长AD 至E ，使DE=AD ，由SAS 证明△ACD ≌△EBD ，得出BE=AC=6，在△ABE 中，由三角形的三边关系求出AE 的取值范围，即可得出AD 的取值范围；
（2）延长FD 至点M ，使DM=DF ，连接BM 、EM ，同（1）得△BMD ≌△CFD ，得出BM=CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得出BE+BM ＞EM 即可得出结论；
（3）延长AB 至点N ，使BN=DF ，连接CN ，证出∠NBC=∠D ，由SAS 证明△NBC ≌△FDC ，得出CN=CF ，∠NCB=∠FCD ，证出∠ECN=70°=∠ECF ，再由SAS 证明△NCE ≌△FCE ，得出EN=EF ，即可得出结论． 试题解析：（1）解：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，如图①所示：
∵AD 是BC 边上的中线，
∴BD=CD ，
在△BDE 和△CDA 中，BD=CD ，∠BDE=∠CDA ，DE=AD ，
∴△BDE ≌△CDA （SAS ），
∴BE=AC=6，
在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB ﹣BE ＜AE ＜AB+BE ，
∴10﹣6＜AE ＜10+6，即4＜AE ＜16，
∴2＜AD ＜8；
故答案为2＜AD ＜8；
（2）证明：延长FD 至点M ，使DM=DF ，连接BM 、EM ，如图②所示：
同（1）得：△BMD ≌△CFD （SAS ），
∴BM=CF ，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF=EF；理由如下：
延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，
∴∠NBC=∠D，
在△NBC和△FDC中，
BN=DF，∠NBC =∠D，BC=DC，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，
∴∠BCE+∠FCD=70°，
∴∠ECN=70°=∠ECF，
在△NCE和△FCE中，
CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE，
∴△NCE≌△FCE（SAS），
∴EN=EF，
∵BE+BN=EN，
∴BE+DF=EF．
考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理.。