沪科版高中物理选修(35)1.3《动量守恒定律的案例分析》word教案

1.3 动量守恒定律的事例剖析
内容：
动量守恒定律的应用
重点：
（一）动量守恒定律的“三合用”“三表达”
动量守恒定律的内容：一个系统不受外力或所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。

因动量是状态量，只需系统知足动量守恒条件，整个过程系统的总动量都应是守恒、不变的。

我们
应用此定律只需考虑初、末两状态即可，即。

所以，应用动量守恒定律解题，可将复杂
的物理过程隐含在内，进而将问题简化，使动量守恒定律成为解决力学识题的有力工具。

“三合用”以下三种状况可应用动量守恒定律解题。

1.若系统不受外力或外力之和为零，则系统的总动量守恒
[ 例 1] 如图 1 所示，一车厢长度为、质量为M ，静止于圆滑的水平面上，车厢内有� 质量为m 的物体以初速度向右运动，与车厢往返碰撞n 次后静止于车厢中，这时车厢的速度为（）
A.，水平向右
B. 零
C.
D.
分析：当物体在车厢内运动及与车厢壁碰撞过程中，物体及车厢构成的系统所受外力有重力
和支持力，协力为零，故系统总动量守恒。

系统的初动量为，当物体静止于车厢中时，两者拥有相同的速度，设为，由动量守恒定律得
，解得，C 对。

2.若系统所受外力之和不为零，则系统的总动量不守恒，但假如某一方向上的外力之和为零，则
该方向上的动量守恒。

[ 例 2] 一门旧式大炮，炮身的质量为M ，射出炮弹的质量为m，对地的速度为，方向与水平方向
成角，若不计炮身与水平川面的摩擦，则炮身退后速度的大小为（）
A. B. C.t D.
分析：大炮在射出炮弹的过程中，系统所受外力有重力和支持力，如图 2 所示，因
炮弹在炮筒内做加快运动，加快度的方向与水平方向成角斜向上，竖直分加快度
（向上），这也是系统在竖直方向上的加快度，所以，系统的外力之和不为零，
总动量不守恒。

但系统在水平方向不受外力，所以水平方向动量守恒。

设炮身退后的速度大小为，规定炮身运动的反方向为正方向，在水平方向应用动量守恒定律得
，解得。

3.若系统所受外力之和不为零，但外力远小于内力，能够忽视不计，则物体互相作用过程动量近
似守恒。

如碰撞、爆炸等问题。

[ 例 3] 质量为M 的木块放在水平川面上，处于静止状态，木块与地面间动摩擦因数为，一颗质量为 m 的子弹水平射入木块后，木块沿水平川面滑行了距离后停止，试求子弹射入木块前速度。

分析：子弹射入木块过程中，木块受地面的摩擦力为，此力即为子弹与木块构成的系统的合外
>>，摩擦力可忽视不计，系统的动量近似守
力，不为零。

但子弹与木块间的互相作使劲
恒。

设子弹射入木块后，子弹与木块的共同速度为，由动量守恒定律得①今后子弹与木块一同做匀减速直线运动②
由运动学公式得：③
由①②③解得
本题②③式亦可用动能定理求解。

“三表达”�� 动量守恒定律有三种常用的数学表达式
（1）系统的初动量等于末动量，即
（2）若 A 、 B 两物体构成的系统在互相作用过程中动量守恒，则（“ � ”表示与方向相反）
[ 例 4] 质量相等的三个小球a、 b、 c 在圆滑的水平面上以相同的速率运动，它们分别与本来静止的
三个球 A 、 B、 C 相碰（ a 与 A 碰， b 与 B 碰， c 与 C 碰）。

碰后， a 球持续沿本来的方向运动， b 球静止不动， c 球被弹回而向反方向运动。

这时， A 、 B 、 C 三球中动量最大的是（）
A. A 球
B. B 球
C. C 球
D. 因为 A 、B、C 三球的质量未知，没法判断
分析：由题意可知，三球在碰撞过程中动量均守恒，a、 b、 c 三球在碰撞过程中，动量变化的大小
关系为：>> 。

由动量守恒定律知，，。

所以 A、 B、 C 三球在碰撞过程中动量变化的大小关系为：> >
又 A 、 B、 C 的初动量均为零，所以碰后A、 B、 C 的动量大小关系为> > ，选项 C正确。

3. 若 A 、 B 两物体互相作用过程中动量守恒，则（、分别为此过程中 A 、 B 位移的大小）
[ 例 5] 一平板小车静止在圆滑水平面上，车的右端安有一竖直的板壁，车的左端站有一持枪的人，
这人水平持枪向板壁连续射击，子弹所有嵌在板壁内未穿出，过一段时间后停止射击。

则（）
A.停止射击后小车的速度为零
B.射击过程中小车未挪动
C.停止射击后，小车在射击以前地点的左方
D.停止射击后，小车在射击以前地点的右方
所以，停分析：在发射子弹的过程中，小车、人、枪及子弹构成的系统动量守恒，
止射击后小车的速度为零，选项 A 正确。

又射击过程子弹向右挪动了一段位移，则车、人、枪必向左挪动一段位移，设子弹的质量
为 m，车、人、枪的质量为M ，由动量守恒定律得，选项 C 正确，本题答案A、 C。

（二）均匀动量守恒
若系统在全过程中动量守恒（包含某一方向上动量守恒），则这一系统在全过程中的均匀动量也必
守恒。

假如物系统是由两个物体构成的，且互相作用前两物体均静止，互相作用后均发生运动，则
使用时应明确：一定是相对同一参照物位移的大小，当切合动量守恒定律的条件，而又仅波及位移
而不波及速度时，往常可用均匀动量求解。

[例 6] 载人气球本来静止于高的高空，气球的质量为M ，人的质量为m，若人沿软梯滑至地
面，则软梯起码为多长?
分析：气球和人本来静止在空中，说明系统所受合外力为零，故系统在人下滑过程中动量守恒，人
着地时软梯起码应接触地面，设软梯长为，人沿软梯滑至地面的位移是，气球的位移是，由均匀动量守恒，则有：，所以有：，所以软梯起码为
长。

（三）掌握临界条件巧用动量守恒定律
动量守恒定律是力学中的一个重要规律。

在运用动量守恒定律解题时，常会碰到互相作用的几个物
体间的临界问题，求解这种问题要注意剖析和掌握有关的临界条件，现把与应用动量守恒定律解题
有关的临界问题作初步的剖析和议论。

1.波及弹簧的临界问题：
关于由弹簧构成的系统，在物体间发生互相作用过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两头的两个
物体的速度必相等。

[例 7] 如图 3 所示，在圆滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为的 A、B 两物体以的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为的物体 C 静止在前面。

A 与 C 碰撞后将粘在一同运动，
在此后的运动中，弹簧能达到的最大弹性势能为多少？
剖析：A、 B 以的速度向右运动，并与 C 发生碰撞。

因为碰撞时间很短，可以为碰撞仅发生
在A 与 C 之间，碰后 A 与 C 拥有共同速度，由动量守恒定律有：，得
A 和 C 碰后归并为一个物体，因为物体
B 的速度大于 A 和
C 的速度，弹簧将被压缩。

接着，物体 B 做减
速运动， A 和 C 做加快运动。

当三个物体速度相同时，弹簧的压缩量最大，此时弹簧的弹性势能达到最
大。

由动量守恒定律有：
得：
弹簧拥有的最大弹性势能为：
2.波及斜面的临界问题
在物体滑上斜面（斜面放在圆滑水平面上）的过程中，因为弹力的作用，斜面在水平方向将做加快
运动。

物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向拥有共同速度，物体在竖直方向
的分速度等于零。

[例 8] 如图 4 所示，质量为的滑块静止在圆滑的水平面上，滑块的圆滑弧面底部与桌面相切，
向滑块滚来，设小球不可以超出滑块，求小球滑到最高点时的速度大小
一质量为的小球以速度和
此时滑块速度大小。

剖析：由临界条件知，小球抵达最高点时，小球和滑块在水平方向应拥有相同的速度。

由动量守恒
定律得：
，即
3.波及摆的临界问题
装在车内的摆（由一段绳索和小球构成）随车运动时，小球上涨到最高点的临界条件是小球和小车
的速度相等。

[例 9] 如图 5 所示，甲、乙两完整相同的小车，质量均为，乙车内用细绳吊一质量为的小
与乙车相碰，碰后连为一体，当小球摆到最高点时，甲车和小
球，当乙车静止时，甲车以速度
球的速度各为多大？
剖析：甲车与乙车发生碰撞，因为碰撞时间很短，当甲、乙两车碰后速度相等时，乙车发生的位移可
略去不计，这样，小球并未参加碰撞作用，取甲、乙两车为研究对象，运用动量守恒定律得：
① 接着，甲、乙两车合为一体并经过绳索与小球发生作用，车将向右做减速运动，
小球将向右做加快运动并上摆。

当小球和车的速度相同时，小球抵达最高点。

对两车和小球应用动
量守恒定律得：②
解以上①②两式得：
4.波及追碰的临界问题
两个在圆滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度一定大于乙
物体的速度，即>。

而甲物体恰好追不上乙物体的临界条件是=。

[ 例 10] 甲、乙两个儿童各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车的总质量共为
，乙和他的冰车的总质量也是，甲推着一个质量为的箱子，和他一同
以大小为的速度滑行，乙以相同大小的速度迎面滑来，为了防止相碰，甲忽然将箱子
沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙快速把它抓住。

若不计冰面的摩擦力，求甲起码要以多大的速度
（有关于冰面）将箱子推出，才能防止与乙相撞。

剖析：当甲把箱子推出后，甲的运动存在三种可能：①持续向前，方向不变；②停止运动；③反向运动。

以上三种推出箱子的方法，由动量守恒定律可知，第一种推法箱子获取的速度最小，若
这种推法能实现目标，则箱子获取的速度最小，设箱子的速度为，取甲运动方向为正方向，则对甲和箱子在推出过程运用动量守恒定律：
①
箱子推出后，被乙抓住，为防止甲、乙相撞，则乙一定退后，对乙和箱子运用动量守恒定律得：
②
要使甲、乙不相撞，并使推出箱子的速度最小的临界条件为：
解以上三式得：
= ③
5.波及子弹打木块的临界问题：
子弹打木块是一种常有的习题模型。

子弹恰好击穿木块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速
度相同。

[ 例 11] 如图 6 所示，静止在圆滑水平面上的木块，质量为、长度为。

�颗质量为的子弹从木块的左端打进。

设子弹在打穿木块的过程中遇到大小恒为的阻力，要使子弹恰好从木块
的右端打出，则子弹的初速度应等于多大？
剖析：取子弹和木块为研究对象，它们所遇到的合外力等于零，故总动量守恒。

由动量守恒定律
得：①
要使子弹恰好从木块右端打出，则一定知足以下的临界条件：②
依据功能关系得：③
解以上三式得：
【典型例题剖析】
[例 1] 量也为以下图，质量为M 的足够长的木板
M 的木块 B 轻轻放在 A 的上表面上，
A 以速度 v 沿斜面匀速下滑，在其下滑过程中将一质
A 、
B 之间无摩擦，求：
（1）当 B 的速度为时 A 的速度；（2）当 B 的速度为时 A 的速度。

分析：木板 A 能在斜面上匀速下滑，说明斜面与 A 之间摩擦因数为。

（1）当 B 放到 A 上后 A 与斜面之间的摩擦力增大了， A 将做减速运动，但关于 A 、 B 构成的系统仍有。

系统的合外力为零，动量守恒，有
得，当 B 的速度为时，A的速度为。

（2）关于 A 、 B 构成的系统，依据动量守恒定律，当 B 的速度为v 时 A 的速度为零，但当 A 的速
度等于零以后，系统与斜面之间的摩擦力将由滑动摩擦力变成静摩擦力
系统的合外力不再为零，今后 B 在 A 上加快运动 A 的速度一直为零，所以当 B 的速度为 2v 时， A 的速度为零。

本题也可用牛顿第二定律求解，请同学们自己试一试。

[ 例 2] 以下图，在圆滑的水平面上有一质量为的小车经过一根不行伸长的轻绳与质
量为的拖车相连结，质量为的物体放在拖车的水平车板上与车板之间的动
摩擦因数为，开始时物体和拖车都静止，绳索废弛，某时辰小车以速度向右运动，求：
（1）三者以同一速度行进时的车速v 的大小。

（2）若物体不可以从拖车上滑落，到三者速度相等时物体在拖车平板上滑行的距离。

分析：所构成的系统合外力为零，所以动量守恒，有
，∴。

因为轻绳不行伸长，当绳索被拉直的瞬时与便有了相同的速度（此时因为惯性还处于静
止状态），在绳索被拉直的瞬时发生了一个显然的动量改变量，说明与之间的作使劲很
大，远大于与之间的摩擦力，所以与构成的系统在绳索被拉直的这极短的时间内动量
守恒。

，解得与在绳索拉直的瞬时获取的共同速度。

今后与构成的整体在摩擦力的作用下做匀减速直线运动，其加快度为
速度由减到 v 过程中发生的位移为。

在摩擦力的作用下做匀加快直线运动其加快度为，速度由0 增至 v 过程中
发生的位移为。

所以到三者速度相等时物体在拖车平板上滑行的距离为。

本题在计算时也可选拖车为参照物，则物体相对拖车做初速度为，加快度为
，末速度为0 的匀减速直线运动，其位移为。

本题还能够用能量的看法求解到三者速度相等时物体在拖车平板上滑行的距离，同学们能够在复习
过能量的看法后再用相应的方法求解本题。

【模拟试题】
1. 在质量为的小车中挂有一单摆，摆球的质量为小车和单摆以恒定的速度v 沿圆滑水平川
面运动，与位于正对面的质量为列哪个或哪些状况是可能发生的（的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下）
A. 小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变成，知足
B. 摆球的速度不变，小车和木块的速度变成和，知足
C. 摆球的速度不变，小车和木块的速度都变成，知足
D. 小车和摆球的速度都变成，木块的速度变成，知足
2.半径相等的两个小球甲和乙，在圆滑水平面上沿同向来线相向运动，若甲球的质量大于乙球的
质量，碰撞前两球的动能相等，碰撞后两球的运动状态可能是（）
A.甲球的速度为零而乙球的速度不为零
B.乙球的速度为零而甲球的速度不为零
C.两球的速度均不为零
D.两球的速度方向均与原方向相反，两球的动能仍相等
3. 在圆滑水平面上，动能为，动量的大小为的小钢球 a 与静止小钢球 b 发生碰撞，碰撞前后球 a 的运动方向相反，将碰撞后球 a 的动能和动量的大小分别记为、球 b 的动能和动量的大小分别记为、，则必有（）
A. B. C. D.
4.在圆滑水平冰面上，甲、乙两人各乘一小车，两人质量相等，甲手中另持一小球，开始时甲、乙
均静止，某一时辰，甲向正东方向将球沿着冰面推给乙，乙接住球后又向正西方向将球回推给甲，这
样推接数次后，甲又将球推出，球在冰面上向东运动，但已经没法追上乙，此时甲的速率
、乙的速率及球的速率V ，三者之间的关系为（）
A. B.
C. D.
5. 放在圆滑水平面上的M 、 N 运动将绳拉断，那么在绳拉断后，两物体，系于同一根绳的两头，开始时绳是松驰的，
M 、 N 可能的运动状况是（）
M 、 N 反方向
A. M 、 N 同时都停下来，
B. M 、 N 仍按各自本来的运动方向运动
C.此中一个停下来，另一个反方向运动
D.此中一个停下来，另一个按本来方向运动
6. 某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪（不包含子弹）及靶的总质量为，枪内有n 颗子弹，每颗子弹的质量为，枪口到靶的距离为L ，子弹水平射出枪口有关于地的速度为，在发射后一发子弹时，前一发子弹已射入靶中，在射完n 颗子弹时，小船退后的距离为（）
A.0B. C. D.
7. 质量分别为和的两个粒子发生碰撞，碰撞前后两粒子都在同向来线上，在碰撞过程中损
失的动能为定值，今要求碰撞前两粒子的总动能为最小，则碰撞前两粒子的速度大小和方向如
何？
8. 以下图，水平面放一质量为 0.5kg 的长条形金属盒，盒宽，它与水平面间的动摩擦因数是，在盒的 A 端有
一个与盒质量相等的小球。

球与盒无摩擦，此刻盒的 A 端快速打击一下金属盒，给盒以的向右的冲量，设球
与盒间的碰撞没有能量损失，且碰撞时间极短，求球与盒构成的系统从开始运动到完整停止所用时间。

（）
9. 一玩具车携带若干质量为的弹丸，车和弹丸的总质量为，在半径为以速率做匀速圆周运动，若小车每转一周便沿运动方向相对地面以恒定速度R 的水平圆滑轨道上u 发射一枚弹丸，
求：
（1）起码发射多少颗弹丸后小车开始反向运动？
（2）写出小车反向运动前发射相邻两枚弹丸的时间间隔的表达式。

10. 以下图，一块足够长的木板，放在圆滑水平面上，在木板上自左向右放有序号为1、 2、3,, n 号的木块，所有木块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数都相同，开始时，木板静止不
动，第 1、 2、 3,, n 号木块分别以初速度,, 同时运动，方向向右，木板的质量与所有木块的总质量相等最后所有木块与木板以共同的速度匀速运动，试求：
（1）所有木块与木板一同匀速运动的速度；
（2 ）第 1 号木块与木板恰好相对静止时的速度；
（3 ）第 2 号木板在整个过程中的最小速度。

【试题答案】
1. BC
2. AC
3. ABD
4. D
5. ABD
6. C
7. ，
8. 1s
9.；且
10.（ 1）；；（2）；（3）。