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n阶行列式的计算方法与技巧
毕业论文n阶行列式的计算方法与技巧
学生姓名：孙辉学号：092086120 系部：理学系
专业：信息与计算科学
指导教师：高玉洁
二零一四年六月
诚信声明
本人郑重声明：本论文及其研究工作是本人在指导教师的指导下独立完成的，在完成论文时所利用的一切资料均已在参考文献中列出.
本人签名：年月日
毕业设计〔论文〕任务书
设计〔论文〕题目：n阶行列式的计算方法与技巧
系部：理学系专业：信息与计算科学学号：102086116
学生：孙辉指导教师〔含职称〕：高玉洁〔讲师〕
1．课题意义及目标
通过论文的写作，稳固相关的根底知识，及独立开展科研工作的能力，为以后的学习和工作打下良好的根底.
收集n阶行列式的相关文献，通过典型例子对n阶行列式的一些常规计算技巧和方法进行分析、归纳，总结出具有显著特点的n阶行列式的最正确计算方法. 2．主要任务
〔1〕学习行列式的定义、性质及常用的计算方法并查阅相关文献；
〔2〕通过典型例子阐述定义法、降阶法；
〔3〕通过典型例子阐述升阶法、递推法、拆开法；
〔4〕通过典型例子阐述归纳法、利用范德蒙德行列式法.
3．主要参考资料
［1］张卿，孙兰敏.计算n阶行列式的方法［J］.开封大学学报，1998(02)：34-38.［2］杨立英，李成群.n阶行列式的计算方法与技巧［J］.广西师范学院学报(自然科学版)，2006(01)：98-105.
［3］王萼芳，石生明.高等代数〔第三版〕［M］.北京：高等教育出版社，2003. 4．进度安排
设计〔论文〕各阶段名称起止日
1 学习行列式的相关知识并收2021-1-10至
2 举例说明定义法、降阶法2021-2-26至
3 举例说明升阶法、递推法、2021-3-25至
4 举例说明归纳法、利用范德2021-4-25至
5 按照学院的格式要求完成毕2021-5-25至
审核人：年月日
n阶行列式的计算方法与技巧
摘要：本文通过实例总结了n阶行列式的几种常用的计算方法：定义法、三角形法、升〔降〕阶法、拆开法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法，并总结出具有典型特点的n阶行列式的较合理的计算方法.
关键词：n阶行列式，方法，技巧
Method and technique of n order determinant calculation Abstract：Examples this paper sums up the determinant of the calculation method of several kinds of commonly used methods: definition method, the triangle method, rise (drop) method, the open method, recursive method, induction, the use of vandermonde determinant method, and summarizes the typical characteristics of order determinant calculation method is more reasonable.
Key words：N order determinant，the determinant nature，methods，skills
目录
1 前言 0
1.1 选题背景与意义 0
1.2 国内外研究现状 0
1.3 研究目的 (1)
2 行列式的定义与性质 (2)
(2)
(2)
3 n阶行列式的计算方法 (2)
2.2 行列式的性质： (2)
3.2 三角形法 (5)
3.3 升(降)阶法 (6)
3.3.1 升阶法 (6)
3.3.2 降阶法 (8)
3.4 递推法 (9)
3.5 拆开法 (11)
3.6 归纳法 (12)
3.7 利用范德蒙德行列式法 (13)
4 结论 (14)
参考文献 (15)
致谢 (16)
1 前言
选题背景与意义
行列式是高等代数的一个重要内容，在数学理论上有十分重要的地位，早在17世纪末和18世纪初，行列式就在解线性方程组中出现.1772年法国数学家范德蒙德〔1735～1796〕首先把行列式作为专门理论,独立于线性方程之外进行研究.到了19世纪，是行列式理论形成和开展的重要时期.奥古斯丁·路易·柯西在1812年首先将“determinant〞一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中.柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家〔垂直线记法是阿瑟·凯莱二次曲线和二次型的研究中使用行列式作为二次曲线和二次型划为标准型的判别依据，卡尔·魏尔斯特拉斯和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了-矩阵的行列式以及初等因子卡尔·雅可比发现了一些特殊结果，1839年，欧仁·查尔·卡塔兰〔Eugene Charles Catalan〕发现了所谓的雅可比行列式.1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的论文，讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系.19世纪中叶出现了行列式的大量定理.因此，到19世纪末行列式根本面貌已经勾画清楚.
而今随着科学的开展，行列式被应用于如电子工程、控制论、数学物理方程及数学研究等更多领域.在应用行列式解决一些实际问题的过程中，行列式的计算必不可少，而n阶行列式因为阶数较高、构造复杂，加大了计算难度.目前n阶行列式的计算方法非常多，每一种方法都有他们各自的极其独特之处，然而在实际的计算过程中不同的方法往往适合于不同特征的n阶行列式，因此总结不同特点的n阶行列式的较适用的方法显得非常重要.
1.2 国内外研究现状
行列式的计算一直是代数研究的一个重要课题，国内外学者专家已经总结了很多常用的技巧及方法，研究成果颇为丰硕.代东岩、王萼芳、黄海英、王丽霞等学者对行列式的一些计算方法做出的归纳，其中有几种是目前较常用的方法，主要有定义法
三角化法、升〔降〕阶法、递推法、、数学归纳法等，而几种尚未被广泛使用的方法主要有超范德蒙行列式法、微积分法、软件法、按拉普拉斯定理展开等.这些行列式的计算方法常常被用来求解线性方程组、求解几何图形方程、求逆矩阵证明微分中值定理、证明等式和不等式、证明Lagrange 中值定理、证明柯栖中值定理，还被用于向量积、混合积、多项式理论中.
1.3 研究目的
通过典型例题介绍n阶行列式的一些最常用的计算方法：定义法、三角形法，升〔降〕阶法、拆开法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法，并在n阶行列式的计算过程中，归纳总结出具有不同特点的n阶行列式的较适用的计算方法.
2 行列式的定义与性质
说到行列式，大家并不陌生，简单来说
nj j j j j j j j j nn
n n n
n n a a a a a a a a a a a a D n n
...)
1(...............
......21)
...( (2)
1
22221
112112121τ∑-=
=
其中12(...)n j j j τ为排列12...n j j j 的逆序数.
2.2 行列式的性质：
性质 1〔对称性〕行列式的专职行列式与原行列式相等.
从这个性质可以知道如果行列式对行而言具有的性质，那么对列而言也具有相同的
性质.反过来也是如此，因此下面的几个性质只对列来表达.
性质 2〔多重线性〕行列式的多重线性是指下面两条 （1） n k k αβαα......1+=n k
n k αβαααα............11+
〔2〕n k
n k a a αααααα (11)
=
性质 3 〔交错性〕对换行列的任意两列所得行列式与原行列式绝对值相等，符号相反.
性质 4 如果行列式的一列是另一列的a 倍，那么行列式为零.特别是，如果行列式有一列为零，或者有不同的两列相同，那么行列式为零.
性质 5 〔初等变换性质〕通常说的初等变换有三种：一列乘以非零数；对换不同的两列；这两种前面都提到了，下面一种是：一列乘以非零数加到另一列.
n
i k n i k k a ααααααααα..................11=+
性质 6 用一个数来乘行列式的某一行〔即用此数乘这一行的每个元素〕就等于
用这个数乘此行列式[6].即：
nn
n n pn p p n nn
n n pn p p n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a ....................................
(2)
1
21112112
1
2111211=
对于n 阶行列式的计算，阶数不定，我们需要找到一些适合其本身的计算方法，不仅会提高我们的解题效率，还会增加我们解题的正确率.
例1 求
n
n ...
1
..................0 (40010)
...03010...0021 (4321)
的值.
解：方法一：第二列⨯
2
1
，第三列31⨯，依次，然后加到第一列，得：
n
n n D n 0
..................0 (4000)
...0
3
00 (0020)
...432)2(--=
)2(!--=n n
方法二：将第一列第n 行展开得：
111234...111 (12)
0 0
1
0 0
(1)(1)!030...0010...0..............................000...000 0
n n n D n n ++=-=-⋅
1(1)!(1)1!n n n n +=-⋅⋅-⨯=-
1
...001...............0 (3010)
...0211 (321)
2--=n n n D 111...1110 0
!!(3)001...0...............
000...1n n n ==--
12!!(3)!(2)D D n n n n n +=---=--
方法三：
...
4320 (40)
2
...4300...4321---------=n n n D n
0...432..................032...402...430-------------=n n
n D n 0...432..................032 (40)
2
...430)1(1n n
n n --=0...111...............1 (0111)
...1
1
1...110!)1(1⋅⋅--n n
每一次减去第一列，得
1
...0
00...............0...1000 (0101)
...112!)1(1 0
01...............0 (1)
010 0
111 (1)
10!)1(11----⋅-=---⋅-=--n n n D n n n =-⋅--⋅⋅--=1
(000)
...............
0 (10)
(010)
1...112)21(!1)1(n n n n )2(!--n n 通过求解，我们不难发现，方法一是计算又快、效率又高的解题方法.所以，在计算n 阶行列式时，选取适宜的计算方法显得尤为重要.
3 n 阶行列式的计算方法
3.1 定义法
一般来说利用行列式的定义求解n 阶行列式的值很繁琐，但是对一些特殊的有规律的行列式还是很有用的，往往能够收到意想不到的效果.对于这种行列式一般有一些特征：
〔1〕只有对角线的元素不为零，或者行列式为上、下〔反上、下〕三角形行列式；〔2〕〔12......j j nj a a a 〕，中必有一个元素等于零，或者有很多项为零；
〔3〕i j
ij ij a c b -=等等.
例2[1]
计算n 阶行列式0
0...0100...2001 (00)
(00)
n D n n
=
-.
解：根据行列式的定义，行列式展开后每一项都有n 个元素相乘，而且这n 个元素要位于n D n D 中只有一个1·2·3···〔n-1〕·n 这一项行标为自然顺序，列标构成
的排列为n ·〔n-1〕···2·1，其反序数为2
)1(-n n ，故!)
1(2
)1(n D n n n --=.
所谓三角形法即通过行列式的行变换和列变换，使得行列式变成如下形式：位于主对角线一侧的所有元素全等于零，这样得到的行列式等于主对角线元素的乘积，对于次对角线的情形，行列式的值等于2
)1()
1(--n n 与次对角线上所有元素的乘积.
例3
[2]
计算n 阶行列式1
23.........
...............
...n n
a x x x x
a x x D x
x a x
x
x
x
a =()i a x ≠.
解：从第2行起，每行减去第一行
112312...
11......0()()...()
1...1...0 (1)
...
...
...
1
n n n a x x x
a x
a x a x a x D a x a x a x -----=-----
从第二列开始，每一列都加到第一列，化成上三角形行列式
1
...
00...............0 (1000)
(010)
......)
(322111
1x a x x a x x a x x
a x
x a x x a a x a D n n n i n ----++-+--=∏= 11212()()...()(
...)n n a x x
a x a x a x a x a x a x
=---+++--- 化三角法一般只能针对一些有规律的、能通过简单初等行列变换变成三角形行列式，或变成爪型行列式，其它的一些行列式就不是很适用.其自身也有一定的缺陷，就是灵活性较差，过于死板.
3.3 升阶、降阶法
3.3.1 升阶法
升阶法，在运算中可以通过加一行一列，使行列式在原来的根底上增加一阶，同时保证行列式的值不变，从而使行列式的计算变得容易.
例4
[3]
计算n 阶行列式
12
1
11...1111...
11......
.........11 (1111)
...
1
1n n n
a a D a a -++=++
解：加边，使得
1
21111...10111...10111 (1)
...............
...
0111 (10)
1
1
1...1n n
a a D a ++=
+ 将第一行的〔-1〕倍分别加到其他各行，得
1
21111...1100 0
100...0..................
1000 (01)
0...n n
a a D a --=--
n D 为一个爪型行列式，从第二列开始，将各列的1/a 〔i=1,2，...，n 〕倍加
到第一列得
12121111 (1)
1
1...
1
00...0000...0..................0001 (00)
0...n
n n
a a a a a D a +
+++=
=12121121111
...(1......)...(1)n
n n i n a a a a a a a a a a
=++++=+∑
例5 计算行列式123
1231231
2
3
1...1...
1...............
...
...1n n n n n
a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=
++
解：利用加边法计算：
1
23
1231231
2
3
1000...001...
01...01 0
...1n n n n
n
a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=
++1231...1100 (01)
10
...
1001...0 (1)
...
1
n a a a a --=
--
12311...0100...00010...0..................
...
1
n
i
n i a a a a a =+=
∑1231...n a a a a =+++++
由此可知：加边法适用于某一行或某一列只有一个不相同的元素，也可用于其列或行的元素分别为n-1个元素的倍数的情况.
3.3.2 降阶法
运用行列式按行〔列〕展开的相关定理使高阶行列式转化为低阶行列式来计算其值.
例6
[4]
计算n 阶行列式
0 (000)
...0
..................000 0
0 0
n x y x
y D x y
y
x
=
解：根据行列式按行展开定理，将n D 按第一行展开，那么
...000...000...000...00..............................00...00 0
0 0
0 0
n x y y x x D x y x y x y x
y
x
=-
0...000 (00)
...............00...0...0n y x x y x y y x
=-
将后面的行列式按第一列展开，那么 1(1)n n n n D x yy -=--
10...00...00(1)...............00 (00)
0...
n n n y x y x y y x
y
+=+-
例7 利用降阶定理
0 (00)
...0
..................0...............n a b a
b D a b b a
=
解：按照第一列展开所得
11
1
...00 0
0 0
(1)(1)..................0......0...n n a
b b a b D a b a b a a b
++=⨯-+⨯- n n n n n n b a b b a a 1111)1()1(+-+--+=⨯-+⨯=
当行列式某行〔列〕有很多零，非零元的代数余子式比较容易求解时，可利用降阶法来求解[6].一般在选择某一行〔列〕展开时，都会选择第一行〔列〕或最后一行〔列〕进行展开，求解.
3.4 递推法
设法找出n 阶行列式n D 与低阶行列式的关系以此类推来计算行列式的值.
例8
[4]
计算n 阶行列式
(001)
...
00.........
...
...
00 0
...1n D αβ
αβαβαβαβ
αβ
++=
++
解：将n D 按第一行展开后，再将第二个行列式按第一列展开得
12()n n n D D D αβαβ--=+-，即112()n n n n D D D D αβα----=-， 此式对一切n 都成立，故递推得
2312334()()n n n n n n D D D D D D αβαβα------=-=-
22221()[()()]n n n D D βαβαβαβααββ--=-=+--+= 〔3.1〕 在上式中，βα,的地位等同，故同理可得
n n n D D αβ=--1 〔3.2〕
βα⨯-⨯)1()2(，得 11
)(++-=-n n n D βα
βα
故 β
αβα--=++1
1n n n D .
例9[5] 证明：
121211
2
2
110...0001...
......
...............(2)000...1...n n n n n n n n n x x D x a x a x a x a n x a a a a a x
-------==+++++≥-+ 证明：将n D 按第1列展开得
11
2
32
110 (0010)
...0
1 (00)
1 (00)
...
...............(1)...............000 (10)
0 (1)
...n n n n n n x x x D x a x x a a a a a x
+-------=+---+
1-+=n n xD a
由此得递推公式：1-+=n n n xD a D ，利用此递推公式可得
112()n n n n n n D a xD a x a xD ---=+=++
212111......n n n n n n n a a x x D a a x a x x ----=++==++++
对n 阶行列式n D 与1-n D 或21--n n n D D D 、与之间的一种关系，称为递推公式，再由递推公式求出n D 的方法称为递推式法.这种方法的适用范围是，除主对角线及其上条对角线和最后一行元素或最后一列外，其余元素都是零.这种行列式，可用递推法求解.
3.5 拆开法
由行列式拆项性质可知，将行列式拆成假设干个行列式之和，然后进行计算，，这个方法称为拆开法.
例10
[3]
计算n 〔n ≥2〕阶行列式
11
121212221
2
12...12...............12...n n n n n n n
x y x y n x y x y x y n x y D x y x y n x y ++++++=
+++
解：将n D 按第一列拆成两个行列式的和，即
121111212222122221
212...2 (1)
2...2...........................12...2...n n n
n n n n n
n n n n
x y n x y x y x y n x y x y n x y x y x y n x y D x y n x y x y x y n x y ++++++++=
+++++
上式等号右端的第一个行列式：第i 列减去第一列的i 倍，第i 列再提取公因式
i y ；第二个行列式；提出第一列的公因子i y ，再分别减去第一列的i 倍〔i=2，3....，
n 〕，那么得到
11122
2
231
1...2 (1)
...2...........................1...2...n n
n n
n x x x n x x x n
D y y y y x x x n
=+
n 2212130n 2()()n D D x x y y ≥===--当时，；当时，
在行列式中，每一个元素都是由a+b 的形式构成的时，便可使用拆项法来求解.
3.6 归纳法
利用数学归纳法来计算证明某些n 阶行列式. 例11
[4]
证明
cos 10 (001)
2cos 1
...
00012cos ...00cos ...............
...000...2cos 10
...1
2cos n D n αααααα
=
=.
证明：当n=1时，1cos D α=，等式成立， 当n=2时，222cos 1cos2D αα=-=，等式成立， 设当n=k 时，等式成立．
按最后一行展开得122cos n n n D D D α--=-
由归纳法假设，12cos(1),cos(2)n n D n D n αα--=-=-，
2cos cos(1)cos(2)n D n n ααα=--- [cos cos(2)]cos(2)cos n n n n αααα=+---= 故等式成立.
假设要证的结果时，包含正数n 的公式，可用数学归纳法证明.
例12[5]
计算行列式
1222211
22
12
1212
1122
1
1...111...
1.........
...
...
...n n n
n n n n n n n n
x x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=
++++++
解：把第1行的-1倍加到第2行，把新的第2行的-1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n-1行的-1倍加到第n 行，便得范德蒙德行列式
1
22
22121
1
11
1211...1......()......
...
...
...n n i j n i j n n n n
x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏
范德蒙德行列式的结构特点： ① 第一行或者第一列所有元素均为1.
② 后一行〔一列〕与前一行〔一列〕的比为i x ③ i x 的指标数从0逐行〔列〕递增至n-1. 满足以上三点要求的行列式，可用此方法求解.
4 结论
行列式的计算方法多种多样，每种方法都有各自的特点.文中所提到的，也只是平时比较常用的几种方法.不同的题目可能会用到不同的计算方法，至于采用哪种方法进行计算还要视具体的题目而定.行列式的计算虽然不是非常简单，但是方法和技巧却不是很复杂，只要我们多观察行列式的特点，就能找到适合的方法.
我们在计算行列式的时候，不应该只满足其中一种算法，而应该多了解一些其他的算法.这样我们队问题才有更深刻的理解，碰到了不熟悉的行列式也能从中找到解决问题的方法.
参考文献
[1] 张卿,孙兰敏. 计算n阶行列式的方法[J].开封大学学报，1998(02).
[2] 杨立英,李成群. n阶行列式的计算方法与技巧[J]. 广西师范学院学报(自然科学版)，2006(01).
[3] 代冬岩. N阶行列式的计算方法和技巧. 哈尔滨职业技术学院学报. 2021.
[4] 王丽霞. N阶行列式的几种常见的计算方法. [J] 山西大同大学学报〔自然科学版〕. 2021〔04〕
[5] 黄海英. 计算n阶行列式的方法举例[J].科技信息，2021(27) .
[6] 王萼芳，石生明.高等代数〔第三版〕［M］.北京：高等教育出版社，2003.
[7] 李茂林，n阶行列式计算方法的探讨[J].南开大学滨海学院.2021.
[8] 古家虹，关于行列式的计算方法[J].广西大学学报〔自然科学版〕.2005.
[9] 周家华，n阶行列式的计算方法[J].上海应用技术学院学报〔自然科学版〕.2004.
[10] 孙信秀，n阶行列式的计算方法与技巧[J],科技信息.2021.
[11] 陈会平，浅谈n阶行列式计算方法的研究[J].科技信息.2007.
[12] 陈林，求n阶行列式的几种方法和技巧[J].科技信息.2007.
致谢
本文是在我的论文指导老师高玉洁老师的悉心指导下完成的.在整个论文实验和论文写作过程中，老师对我进行了耐心的指导和帮助，提出严格要求，引导我不断开阔思路，为我答疑解惑，鼓励我大胆创新，使我在这一段珍贵的时光中，既增长了知识、开阔了视野、锻炼了心态，又培养了良好的实验习惯和科研精神.在此，我向我的指导老师表示最诚挚的谢意！
在论文即将完成之际，我的心情久久无法平静，从开始选题到顺利论文完成，有不知多少多少可敬的师长、同学、朋友给了我无数的帮助.感谢太原工业学院在我四年的大学生活当中对我的教育与培养，感谢太原工业学院理学系所有专业老师，没有你们的辛勤劳动，就没有我们今日的满载而归.同时也要感谢理学系1020861全体同学，正是由于你们的帮助和支持，我才能一个一个克服困难、解明疑惑，直至本文顺利完成，在这里请接受我诚挚的谢意！最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们！。