高中数学 考前归纳总结 立体几何中的探索问题

一、探索点的位置
例1.如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD=DC=4， AD=2，E 为PC 的中点, 在线段AC 上是否存在一点 M ，使得PA//平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若 不存在，请说明理由.
解：取AC 中点M ，连结EM 、DM ， 因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，
所以EM//PA ，
又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ， 所以PA//平面EDM 所以.52
1
==
AC AM 即在AC 边上存在一点M ，使得PA//平面EDM ，AM 的长为5.
例2.如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，
13AA =，D 为AC 的中点,
（2）求二面角C BD C --1的余弦值； （3）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得 1BDC CP 面⊥？请证明你的结论. 解：（1）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2），
C （0，3，0），A （2，3，0），
D （1，3，0）， 11(0,3,2),(1,3,0)
C B C
D ∴==
设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则
11
0,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，
取11(1,,)32
n =-，易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量.
1112cos ,7n C C n C C n C C
=
=-
⨯.
C 1
A 1
C B 1
A
B
D
A
A
C
z
x
y
C
B
1
B
D
∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为
27.
（2）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.
设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-，
则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3(3)0,
23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩
. 解之3,
73y y =⎧⎪
⎨
=⎪⎩
∴方程组无解.
∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1.
二、探索结论的存在性
例3.如图，已知三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，D 为AB 中点，M 为PB 的中点，且2AB PD =． （1）求证：DM ∥PAC 面；
（2）找出三棱锥P ABC -中一组面与面垂直的位 置关系，并给出证明（只需找到一组即可） （1）证明：依题意 D 为AB 的中点，M 为PB 的中点 ∴ DM // PA 又,
∴
（2）平面PAC
平面PBC (或平面PAB
平面PBC)
证明：由已知AB ＝2PD ，又D 为AB 的中点
所以PD ＝BD 又知M 为PB 的中点
∴
，由（1）知 DM // PA
∴
又由已知，且
故
∴平面PAC
平面PBC 。

例4.已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点，是否不论点E 在何位 置，都有BD⊥AE？证明你的结论。

解： 不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE 。

证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形
∴BD ⊥AC ∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC- 又∵AC
PC C = ∴BD ⊥平面PAC
∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC
∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE 三、针对性练习
1. 四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA= AB =1，AD =2， 点M 是PB 的中点，点N 在BC 边上移动．
证明，无论N 点在BC 边上何处，都有PN ⊥AM.
证明：
1PA AB ==，M 是PB 的中点， PB AM ⊥∴.
又⊥PA 平面ABCD ， ⊂BC 平面ABCD ， BC PA ⊥∴.
又AB BC ⊥ ， PA AB A =， ⊥∴BC 平面PAB . 又⊂AM 平面PAB , BC AM ⊥∴.
⊥∴AM 平面PBC . 又⊂PN 平面PBC ， ∴AM PN ⊥. 所以无论N 点在BC 边的何处，
都有AM PN ⊥. 2.在四棱锥P
ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC
BD
O ,在棱PC 上是否存在点
12
1
12
1E
D
C
B
A
P
N
E
A
B
C
D
P
M
M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD ，若存在，求PM PC
的值；若不存在，说明理由.
解：不存在. 下面用反证法说明.
假设存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD . 在菱形ABCD 中，BC ∥AD ， 因为 AD
平面PAD ，BC
平面PAD ，
所以 BC ∥平面PAD .
因为 BM 平面PBC ，BC 平面PBC ，
BC
BM
B ，
所以 平面PBC ∥平面PAD .
而平面PBC 与平面PAD 相交，矛盾.
3. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝6，AC ＝3，
AB ＝2，BC ＝1，D 是棱CC 1的中点, 在棱AB 上是否存在一点E ， 使DE ∥平面AB 1C 1？证明你的结论；
解: 当点E 为棱AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1. 证明如下：取BB 1的中点F ，连接EF ，FD ，DE . ∵E 、F 分别为AB 、BB 1的中点， ∴EF ∥AB 1. ∵AB 1⊂平面AB 1C 1，EF ⊄平面AB 1C 1，∴EF ∥平面AB 1C 1.
同理可证FD ∥平面AB 1C 1.
∵EF ∩FD ＝F ，∴平面EFD ∥平面AB 1C 1. ∵DE ⊂平面EFD ，∴DE ∥平面AB 1C 1.
41．如图，四棱锥S ABCD -2倍，P 为
侧棱SD 上的点。

（1）求证：AC SD ⊥；
（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ， 使得//BE 平面PAC 。

若存在，求:SE EC 的值； 若不存在，试说明理由。

1.解法一：
M
B
C
D
O
A
P
S
P
D
C
A
（1）；连BD ,设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，
OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图。

设底面边长为a ，则高SO =。

于是),(,0,0)S D ，,0)C ，,0)OC =
则(,0,)22
SD a =-
- 0OC SD ⋅=， 故OC SD ⊥, 从而AC SD ⊥
(2) 由题设知，平面PAC 的一个法向量(
,0,)22
DS a a =，平面DAC 的一个法向
量)0,0,
)2OS a =，设所求二面角为θ，则cos 2OS DS OS DS
θ⋅==, 所求二面角的大小为0
30
（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法
向量，且,0,),(0,,)2222
DS a CS a a =
=-（
设,CE tCS = 则(,(1),)222
BE BC CE BC tCS a a t at =+=+=-- 而1
03BE DC t ⋅=⇔=
即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥ 而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面
解法二：（1）连BD ，设AC 交BD 于O ，由题意SO AC ⊥。

在正方形ABCD 中，
AC BD ⊥，所以AC SBD ⊥平面,得AC SD ⊥.
(2) 设正方形边长a ，则SD =。

又2
OD =
，所以060SOD ∠=, 连OP ，由（Ⅰ）知AC SBD ⊥平面,所以AC OP ⊥,
且AC OD ⊥,所以POD ∠是二面角P AC D --的平面角。

由SD PAC ⊥平面,知SD OP ⊥,所以0
30POD ∠=,
即二面角P AC D --的大小为0
30。

(3）在棱SC 上存在一点E ，使//BE PAC 平面
由（2）可得PD =
，故可在SP 上取一点N ,使PN PD =, 过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E 。

连BN 。

在BDN 中知//BN PO ，又由于//NE PC , 故平面//BEN PAC 平面，得//BE PAC 平面, 由于21SN NP =：：,故21SE EC =：：
.。