2019-2020学年浙江省绍兴市越城区绍初集团九年级下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年浙江省绍兴市越城区绍初集团九年级第二学期期
中数学试卷
一、选择题
1．（4分）下列实数中，无理数是（）
A．0B．C．﹣2D．
2．（4分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）
A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103 3．（4分）正十边形的外角和为（）
A．180°B．360°C．720°D．1440°
4．（4分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆锥B．三棱锥C．圆柱D．三棱柱
5．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是（）
A．x≠2B．x≥2C．x≤2D．x＞2
6．（4分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a＞﹣2B．a＜﹣3C．a＞﹣b D．a＜﹣b
7．（4分）如图，∠1＝∠2，DE∥AC，则图中的相似三角形有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
8．（4分）在1﹣7月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水果每
斤利润最大的月份是（）
A．3月份B．4月份C．5月份D．6月份
9．（4分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，可得m的取值范围为（）
A．＜m≤B．≤m＜C．0＜m＜D．0＜m≤
10．（4分）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（2，﹣4），则坐标原点为（）
A．O1B．O2C．O3D．O4
二.填空题（共6小题，每题5分）
11．（5分）如果反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而．（填“增大”或“减小”）12．（5分）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．13．（5分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是．（写出所有正确答案的序号）
14．（5分）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点
B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜
180），如果EF⊥AB，那么n的值是．
15．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．
16．（5分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是．
三.解答题（共8小题，17-19题每题8分，20-22每题10分，23题12分，24题14分）
17．（8分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．
18．（8分）已知代数式（x﹣2）2﹣2（x+）（x﹣）﹣11．
（1）化简该代数式；
（2）有人不论x取何值该代数式的值均为负数，你认为这一观点正确吗？请说明理由．19．（8分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，求图1中菱形的面积．
20．（10分）如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，
1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，求路灯的高．
21．（10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
22．（10分）某“爱心义卖”活动中，购进甲、乙两种文具，甲每个进货价高于乙进货价10元，90元买乙的数量与150元买甲的数量相同．
（1）求甲、乙进货价；
（2）甲、乙共100件，将进价提高20%进行销售，进货价少于2080元，销售额要大于2460元，求有几种方案？
23．（12分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠
ABC＝150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个面积为2的平行四边形，求CD的长．
24．（14分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A （2，2），对称轴是直线x＝1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标．
参考答案
一.选择题（共10小题，每题4分）
1．（4分）下列实数中，无理数是（）
A．0B．C．﹣2D．
解：0，﹣2，是有理数，
是无理数，
故选：B．
2．（4分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）
A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103
解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．
故选：C．
3．（4分）正十边形的外角和为（）
A．180°B．360°C．720°D．1440°
解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°．
故选：B．
4．（4分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆锥B．三棱锥C．圆柱D．三棱柱
解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：D．
5．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是（）
A．x≠2B．x≥2C．x≤2D．x＞2
解：根据题意得：2﹣x≠0，
解得：x≠2．
故函数y＝中自变量x的取值范围是x≠2．
故选：A．
6．（4分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a＞﹣2B．a＜﹣3C．a＞﹣b D．a＜﹣b 解：A、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；
B、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；
C、如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故a＜﹣b，故此选项错误；
D、由选项C可得，此选项正确．
故选：D．
7．（4分）如图，∠1＝∠2，DE∥AC，则图中的相似三角形有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
解：∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，∠EDA＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△CAD，
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠EDB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠EDB，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴△ABD∽△CBA，
故选：C．
8．（4分）在1﹣7月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（）
A．3月份B．4月份C．5月份D．6月份
解：由图象中的信息可知，3月份的利润＝7.5﹣5＝2.5元，
4月份的利润＝6﹣3＝3元，
5月份的利润＝4.5﹣2＝2.5元，
6月份的利润＝3﹣1.2＝1.8元，
故出售该种水果每斤利润最大的月份是4月份，
故选：B．
9．（4分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，可得m的取值范围为（）
A．＜m≤B．≤m＜C．0＜m＜D．0＜m≤
解：如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，对称轴x＝1，
∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），
当抛物线经过（﹣1，0）时，m＝，
当抛物线经过点（﹣2，0）时，m＝，
∴m的取值范围为＜m≤．
故选：A．
10．（4分）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（2，﹣4），则坐标原点为（）
A．O1B．O2C．O3D．O4
解：如图所示，在平面直角坐标系中，画出点A（﹣4，2），点B（2，﹣4），点A，B 关于直线y＝x对称，
则原点在线段AB的垂直平分线上（在线段AB的右侧），
如图所示，连接AB，作AB的垂直平分线，则线段AB上方的点O1为坐标原点．
故选：A．
二.填空题（共6小题，每题5分）
11．（5分）如果反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．（填“增大”或“减小”）
解：∵反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），
∴k＝2×3＝6＞0，
∴在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．
故答案为：减小．
12．（5分）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为
﹣1或2或1．
解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2﹣4ac＝16﹣4（a﹣1）×2a＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝2，
当函数为一次函数时，a﹣1＝0，解得：a＝1．
故答案为：﹣1或2或1．
13．（5分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是①②．（写出所有正确答案的序号）
解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，
圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
故答案为：①②．
14．（5分）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点
B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜
180），如果EF⊥AB，那么n的值是135．
解：如图1，延长EF交AB于H，
∵EF⊥AB，∠A＝45°，
∴∠ACH＝45°，
∴∠ACE＝135°，
∴n＝135；
如图2，
∵∵EF⊥AB，∠A＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴n＝360﹣45＝315，
∵0＜n＜180，
∴n＝315不合题意舍去，
故答案为：135．
15．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．
解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝12﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
x＝，
如图2，四边形DGFE是正方形，
过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，
设ED＝x，
S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，
12×5＝13CP，
CP＝，
同理得：△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
x＝，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），
故答案为：．
16．（5分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是2．
解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝2，连接FD，AF．
∴CD＝4，CF＝2，CB＝8，
∴CD2＝CF•CB，
∴＝，
∵∠FCD＝∠DCB，
∴△FCD∽△DCB，
∴＝＝，
∴DF＝BD，
∴BD+AD＝DF+AF，
∵DF+AD≥AF，AF＝＝2，
∴BD+AD的最小值是2，
故答案为2．
三.解答题（共8小题，17-19题每题8分，20-22每题10分，23题12分，24题14分）17．（8分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．
解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．
18．（8分）已知代数式（x﹣2）2﹣2（x+）（x﹣）﹣11．
（1）化简该代数式；
（2）有人不论x取何值该代数式的值均为负数，你认为这一观点正确吗？请说明理由．解：（1）原式＝x2﹣4x+4﹣2（x2﹣3）﹣11
＝x2﹣4x+4﹣2x2+6﹣11
＝﹣x2﹣4x﹣1；
（2）这个观点不正确，
理由是：反例：当x＝﹣1时原式的值为2．
19．（8分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，求图1中菱形的面积．
解：如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
设OA＝x，OB＝y，
由题意得：，
解得：，
∴AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×4＝12．
20．（10分）如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，
1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，求路灯的高．
解：如图，在Rt△CDE中，CD＝DE＝1.8m，
在Rt△MNF中，MN＝NF＝1.5m，
∵∠CDE＝∠MNF＝90°，
∴∠E＝∠F＝45°，
∴AB＝EB＝BF，
∴DB＝AB﹣1.8，BN＝AB﹣1.5，
∵DN＝2.7m，
∴2AB﹣1.8﹣1.5＝2.7，
∴AB＝3（m），
∴路灯的高为3m．
21．（10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DAB＝∠DCB＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝BD＝＝5，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴AC＝＝5，
答：AC＝5，AD＝5；
（2）直线PC与⊙O相切，理由是：
连接OC，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴∠BAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠OCD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠CEP＝∠COB+∠OCD＝15°+60°＝75°，
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠CEP＝75°，
∴∠OCP＝∠OCD+∠ECP＝15°+75°＝90°，
∴直线PC与⊙O相切．
22．（10分）某“爱心义卖”活动中，购进甲、乙两种文具，甲每个进货价高于乙进货价10元，90元买乙的数量与150元买甲的数量相同．
（1）求甲、乙进货价；
（2）甲、乙共100件，将进价提高20%进行销售，进货价少于2080元，销售额要大于2460元，求有几种方案？
解：（1）设乙进货价x元，则甲进货价为（x+10）元，由题意得
＝
解得x＝15，
经检验x＝15是原方程的根，
则x+10＝25，
答：甲进货价为25元，乙进货价15元．
（2）设进甲种文具m件，则乙种文具（100﹣m）件，由题意得
解得55＜m＜58
所以m＝56，57
则100﹣m＝44，43．
有两种方案：进甲种文具56件，则乙种文具44件；或进甲种文具57件，则乙种文具43件．
23．（12分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个面积为2的平行四边形，求CD的长．
解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，当四边形ABCE为平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCE是菱形，
∵∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，BC∥AN，
∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，
则∠NAD＝60°，
∴∠AND＝90°，
∵四边形ABCE面积为2，
∴设BT＝x，则BC＝EC＝2x，
故2x2＝2，
解得：x＝1（负数舍去），
则AE＝EC＝2，EN＝＝，
故AN＝2+，
则AD＝DC＝4+2．
如图2，当四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∵∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，
∴∠ADB＝∠BDC＝15°，
∵BE＝DE，
∴∠AEB＝30°，
∴设AB＝y，则BE＝2y，AE＝y，
∵四边形BEDF面积为2，
∴AB×DE＝2y2＝2，
解得：y＝1，故AE＝，DE＝2，
则AD＝2+，
综上所述：CD的值为：2+或4+2．
24．（14分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A
（2，2），对称轴是直线x＝1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标．
解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴x＝﹣＝1，即＝1，解得b＝2．
∴y＝﹣x2+2x+c．
将A（2，2）代入得：﹣4+4+c＝2，解得：c＝2．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2．
配方得：y＝﹣（x﹣1）2+3．
∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
（2）如图所示：过点A作AG⊥BM，垂足为G，则AG＝1，G（1，2）．
∵M（1，m），G（1，2），
∴MG＝m﹣2．
∴cot∠AMB＝＝m﹣2．
（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，
∴抛物线向下平移了3个单位．
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x﹣1，PQ＝3．
∵OP＝OQ，
∴点O在PQ的垂直平分线上．
又∵QP∥y轴，
∴点Q与点P关于x轴对称．
∴点Q的纵坐标为﹣．
将y＝﹣代入y＝﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1＝﹣，解得：x＝或x＝．∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．。