八年级(下)学期 第一次段考数学试卷

一、选择题
1．如图，在等边△ABC中，AB＝15，BD＝6，BE＝3，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（）
A．8 B．10 C．43D．12
2．如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观察图案.下列关系式中不正确的是（）
A．B．
C．D．
3．如图，是一长、宽都是3 cm，高BC＝9 cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC＝
2
BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是()
3
A．2B．3C．10 cm D．12 cm
4．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直 a上找一点M，在直线b上找一点N，满足
线b的距离为3，AB30
MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
5．ABC 三边长为a 、b 、c ，则下列条件能判断ABC 是直角三角形的是（ ） A ．a ＝7，b ＝8，c ＝10 B ．a ＝41，b ＝4，c ＝5 C ．a ＝3，b ＝2，c ＝5
D ．a ＝3，b ＝4，c ＝6
6．如图，分别以直角ABC ∆三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1
S =（ ）
A ．9
B ．5
C ．53
D ．45
7．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ︒
∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①1
2
CE BE =
；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．①⑤
D ．③④
8．在ABC ∆中，::2BC AC AB =则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
9．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，设正方形ADOF 的边长为x ，则210x x +=（ ）
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
10．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）
A ．
33
2
cm B ．4cm
C ．32cm
D ．6cm
二、填空题
11．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝12，BC ＝5，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的最小值为 ．
12．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为_______________． 13．如图，Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，1
3
CD BC =
，1
3
CE AC =
，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________
14．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.
15．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．
16．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.
17．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．
18．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2． 19．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知25AB = ，24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位．
20．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中
90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.
三、解答题
21．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）． （1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值； （2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．
22．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-
（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．
（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．
（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，
64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．
23．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是
ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，
设出发的时间为ts ．
（1）则BC =____________cm ；
（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?
（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
24．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．
（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =； （2）延长BD 与EF 交于点G ． ①如图2，求证：60BGE ∠=︒；
②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．
25．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E . （1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）； （2）设,BC m AC n ==
①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由. ②若线段2AD EC =，求
m
n
的值.
26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:
(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;
(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2
a b +的值.
27．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；
（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；
（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．
①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．
28．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4， （1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒）， ①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；
②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
图1 图2 备用图
29．在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （m ，0）在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB 对称，点D 在线段AB 上．
（1）如图1，若m ＝8，求AB 的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．
30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）AE＝（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是度；
（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；
（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；
（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
首先利用等边三角形的性质和含30°直角三角形的运用，判定△DPE≌△FDH，
△DF2Q≌△ADE，然后利用全等三角形的性质，得出点F运动的路径长.
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，过点F作FH⊥BC于H，如图所示：
则BE′=1
2
BD=3，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE
BE
，
∵△DPF为等边三角形，∴∠PDF=60°，DP=DF，∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
90
PED DHF
EDP DFH
DP FD
︒⎧∠=∠=
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DPE≌△FDH（AAS），
∴FH=DE
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为
当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，
当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则四边形DF1F2Q是矩形，∵∠BDE=30°，∠ADF2=60°，
∴∠ADE+∠F2DQ=180°﹣30°﹣60°=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠F2DQ=∠DAE，
在△DF2Q和△ADE中，
2
2
2
F QD DEA90
F DQ DAE
DF AD
︒⎧∠=∠=
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DF2Q≌△ADE（AAS），
∴DQ=AE=AB﹣BE=15﹣3=12，
∴F1F2=DQ=12，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为12，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是作好辅助线. 2．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用勾股定理和正方形的面积公式，对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取.【详解】
A中，根据勾股定理等于大正方形边长的平方，它就是正方形的面积，故正确；
B中，根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到，正确；
C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；
D中,根据A可得，C可得，结合完全平方公式可以求得
，错误.
故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理.在A、B、C选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义，对于D选项是由A、C选项联立得出的.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
将图形展开，可得到安排AP较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可．
【详解】
解：(1)如图1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，
在Rt△ADP中，AP=22
+＝310cm
39
((2)如图2， AC=6cm，CP=6cm，
Rt△ADP中，22
+62
66
综上，蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是2cm．
故选A．
【点睛】
题考查了平面展开--最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直
线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．
【详解】
过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．
又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．
∵AE＝2+3+4＝9，AB230
=，∴BE2239
=-=．
AB AE
∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B22
=+=8．
'A E BE
所以AM+NB的最小值为8．
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．
5．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理逆定理对每个选项一一判断即可．
【详解】
A、∵72+82≠102，∴△ABC不是直角三角形；
B、∵52+42＝41)2，∴△ABC是直角三角形；
C、∵223252，∴△ABC不是直角三角形；
D、∵32+42≠62，∴△ABC不是直角三角形；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理逆定理，熟记定理是解题关键．
6．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理与正方形的性质解答．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，
∵S 1=AB 2，S 2=BC 2，S 3=AC 2，
∴S 1=S 2+S 3．
∵S 2=7，S 3=2，
∴S 1=7+2=9．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
7．B
解析：B
【分析】
根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．
【详解】
解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=︒∠=∠，
∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；
∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE
∴Rt BEH Rt DEC ≅，∴BH=CD=AB ，③正确；
∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，
∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，
∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确
故选B ．
【点睛】
本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据题意设出三边分别为k 、k k ，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又有BC 、AC 边相等，所以三角形为等腰直角三角形．
【详解】
设BC 、AC 、AB 分别为k ，k k ，
∵k 2+k 2=k ）2，
∴BC 2+AC 2=AB 2，
∴△ABC 是直角三角形，
又BC=AC ，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的判定，利用设k法与勾股定理证明三角形是直角三角形是难点，也是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，整理方程即可．
【详解】
解：设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE＋CE＝BD＋CF＝10，
在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，
即（6＋x）2＋（x＋4）2＝102，
整理得，x2＋10x﹣24＝0，
∴x2＋10x＝24，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.
【详解】
∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由AD＝AD，
所以，Rt△ACD≌Rt△AED，
所以，AC=AE.
∵E为AB中点，∴AC=AE=1
AB，
2
所以，∠B=30° .
∵DE为AB中线且DE⊥AB，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE=1
2
BD=
3
2
,
∴BE=
2
2
3
3
2
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
33
cm.
故选A.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
二、填空题
11．
【解析】
试题分析：作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，
连接AB′、BE，则BE+ED=B′E+ED=B′D的值最小．∵点B关于AC的对称点是B′，BC=5，
∴B′C=5，BB′=10．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴22
AC BC
+，
∵S△ABB′=1
2•AB•B′D=
1
2
•BB′•AC，∴B′D=
B1012120
1313
B AC
AB
'⋅⨯
==,∴BE+ED= B′D=
120
13
.
考点：轴对称-最短路线问题.
12．32或42
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案
【详解】
当△ABC是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴2222
13125
CD AC AD
-=-=,
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴2222
15129
BD AB AD
=-=-,
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC的周长=4+15+13=32；
当△ABC是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴2222
13125
CD AC AD
=-=-=，
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴2222
15129
BD AB AD
=-=-=，
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC的周长=14+15+13=42；
综上，△ABC的周长是32或42，
故答案为：32或42.
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.
13．5
3
或
20
3
【分析】
根据折叠后点C的对应点H与AC的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出各边的长，再根据折叠的性质与勾股定理列出对应的方程即可求出结论．
【详解】
解：①当折叠后点C的对应点H在AC的下方时，如下图所示
∵Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，
根据勾股定理可得BC=2210AB AC += ∵13CD BC =
，13CE AC =， ∴13CD BC ==103，13
CE AC ==83 ∵DE AC ⊥
根据勾股定理可得DE=222CD CE -=
由折叠的性质可得：DH=CD=
103，CP=PH ∴EH=DH －DE=43
设CP=PH=x ，则EP=CE －CP=83
－x 在Rt △PEH 中，EP 2＋EH 2=PH 2
即（83－x ）2＋（43
）2=x 2 解得：x=53
即此时CP=
53； ②当折叠后点C 的对应点H 在AC 的上方时，如下图所示
根据折叠的性质可得DH=CD=103，CP=PH ∴EH=DH ＋DE=163
设CP=PH=y ，则EP= CP －CE =y －83
在Rt △PEH 中，EP 2＋EH 2=PH 2
即（y －83）2＋（
163）2=y 2 解得：y=203
即此时CP=203
． 综上所述：CP=
53或203． 故答案为：
53或203
． 【点睛】 此题考查的是勾股定理和折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、折叠的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
14．5
【分析】
设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值
【详解】
如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10
设绳索x 尺，则OA=OB=x
∴OC=x+1-5=x-4
在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2
∴222
(4)10x x =-+
得x=14.5（尺）
故填14.5 ,
【点睛】
此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 15．
65
【分析】
由“SAS”可证ABD ≌ACE ，DAF ≌EAF 可得BD CE =，4B ∠∠=，DF EF =，由勾股定理可求EF 的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD 的长．
【详解】
解：如图，连接EF ，过点A 作AG BC ⊥于点G ，
AE AD ⊥，
DAE DAC 290∠∠∠∴=+=，
又
BAC DAC 190∠∠∠=+=，
12∠∠∴=，
在ABD 和ACE 中 12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ABD ∴≌()ACE SAS ．
BD CE ∴=，4B ∠∠=
BAC 90∠=，AB AC =，
∴B 345∠∠==
4B 45∠∠∴==，
ECF 3490∠∠∠∴=+=，
222CE CF EF ∴+=，
222BD FC EF ∴+=，
AF 平分DAE ∠，
DAF EAF ∠∠∴=，
在DAF 和EAF 中
AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DAF ∴≌()EAF SAS ．
DF EF ∴=．
222
∴+=．
BD FC DF
22222
∴=+=+=，
DF BD FC68100
=
∴DF10
∴=++=++=，
BC BD DF FC610824
⊥，
=，AG BC
AB AC
1
BG AG BC12
∴===，
2
∴=-=-=，
DG BG BD1266
∴22
=+=
AD AG DG65
故答案为65
【点睛】
考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16．100
【解析】
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线：
第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是90cm和50cm，
则所走的最短线段AB==10cm；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是110cm和30cm，
所以走的最短线段AB==10cm；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是80cm和60cm，
所以走的最短线段AB==100cm；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为100cm．
点睛：本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．
17．120 13
【解析】
∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴B点，C点关于AD对称，
如图，过C作CF⊥AB于F，交AD于E，
则CF=BE+FF的最小值，
根据勾股定理得，AD=12，
利用等面积法得：AB⋅CF=BC⋅AD，
∴CF=BC AD
AB
⋅
=
1012
13
⨯
=
120
13
故答案为120 13
.
点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF⊥AB时，CF有最小值是解题的关键.
18．8或10或12或25 3
【详解】
解：①如图1：
当BC=CD=3m时，AB=AD=5m，AC⊥BD，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
×6×4=12（m2）；
②如图2：
当AC=CD=4m时，AC⊥CB，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
×4×4=8（m2）；
③如图3：
当AD=BD 时，设AD=BD=xm ，
在Rt △ACD 中，CD=（x-3）m ，AC=4m ，
由勾股定理，得AD 2=DC 2+CA 2，即(x-3)2+42=x 2，
解得x=256， 此时等腰三角形绿地的面积：
12BD·AC=12×256×4=253（m 2）； ④如图4，
延长BC 到D ，使BD=AB=5m ，
故CD=2m ，
此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12
×5×4=10（m 2）； 综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m 2或12m 2或10m 2或
253m 2． 点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．
19．49
【分析】
先计算出BC 的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.
【详解】
∵∠ACB=90︒，25AB = ，24AC =,
∴22222252449BC AB AC =-=-=,
∴阴影部分的面积=249BC =，
故答案为：49.
【点睛】
此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图
形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键.
20．3
【分析】
根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.
【详解】
解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ≅≅,
∵15cm BC =，20cm AC =，
∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=，
∵90ACB ∠=︒，
∴'A M AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），
∴25,AB cm = 利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有222(257)5m m +-=，
解得3m =，
所以MB '的长为3.
【点睛】
本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.
三、解答题
21．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194
时，△BCP 为等腰三角形． 【分析】
（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12
t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，求得194
t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程
2234352
t --=
⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，
4AC cm ∴=，
（1）设存在点P ，使得PA PB =，
此时2PA PB t ==，42PC t =-，
在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，
即：222(42)3(2)t t -+=， 解得：2516t =， ∴当2516
t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，
此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，
在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，
即：222(24)1(72)t t -+=-，
解得：83
t =， 当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，
∴当83
t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，
当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，
PC BC ∴=，即423t -=，
12
t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，
CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，
如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，
1322BE BC ∴=
=， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194
t =， PB BC =②，即2343t --=，
解得：5t =，
PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，
12
BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，
由射影定理得；2BC BF AB =⋅，
即2234352
t --=⨯， 解得：5310t =
， ∴当15319,5,2104
t =或时，BCP 为等腰三角形． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
22．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =73
【分析】
(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【详解】
(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,
在Rt AOC ∆中,
AO 2-OC 2=AC 2
因为81AB AC ∇=
所以AO 2-OC 2=81
所以AC 2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,
在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,
在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,
∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =
12
AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =
222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,
在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=
+=
∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;
(3)作BD ⊥CD,
因为24ABC S ∆=,8AC =,
所以BD=26ABC S AC ∆÷=,
因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,
所以AO 2-OC 2=-64,
所以OC 2-AO 2=64,
由因为AC 2=82=64,
所以OC 2-AO 2= AC 2
所以∠OAC=90°
所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯
÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=
所以BC=2OC=273,
在Rt △BCD 中,
CD=()2222276163BC BD -=-=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=22228610AD BD +=+=
【点睛】
考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.
23．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；
（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．
【详解】
（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =
-=-=(cm )．
故答案为：12；
（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，
∴PC = PA =t ，PB =16-t ． 在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即222
1216)t t +-=（，
解得：t=25 2
．
∵Q从B到C所需的时间为12÷2=6(s)，25
2
＞6，
∴此时，点Q在边AC上，CQ=
25
21213
2
⨯-=(cm)；
（3）分三种情况讨论：
①当CQ=BQ时，如图1所示，
则∠C=∠CBQ．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10，
∴BC+CQ=22，
∴t=22÷2=11(s)．
②当CQ=BC时，如图2所示，
则BC+CQ=24，
∴t=24÷2=12(s)．
③当BC=BQ时，如图3所示，
过B 点作BE ⊥AC 于点E ，
则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯=
==， ∴CE 2222483612()55
BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，
∴CQ =2CE =14.4，
∴BC +CQ =26.4，
∴t =26.4÷2=13.2(s )．
综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
24．（1）见解析；（2）①见解析；②2．
【分析】
（1）当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，然后由等边三角形的性质可得∠CBD 的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F 的度数，于是可得∠CBD 与∠F 的关系，进而可得结论；
（2）①过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则易得△AHE 是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF ，∠BHE =∠ECF =120°，BH =EC ，于是可根据SAS 证明△BHE ≌△ECF ，可得∠EBH =∠FEC ，易证△BAE ≌△BCD ，可得∠ABE =∠CBD ，从而有∠FEC =∠CBD ，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE =∠BCD ，进而可得结论； ②易得∠BEG =90°，于是可知△BEF 是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE 和BF 的长，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM 、MC 、CF 、FN 、CN 、GN 的长，进而可得△GCN 也是等腰直角三角形，于是有∠BCG =90°，故所求的△BCG 的面积=
12
BC CG ⋅，而BC 和CG 可得，问题即得解决． 【详解】 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，
当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，∴1302
DBC ABC ∠=∠=︒，
∵CF CD =，∴∠F =∠CDF ，
∵∠F +∠CDF =∠ACB =60°，∴∠F =30°，
∴∠CBD =∠F ，∴BD DF =；
（2）①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，AB=AC ，
过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则∠AHE =∠ABC =60°，∠AEH =∠ACB =60°，
∴△AHE 是等边三角形，∴AH=AE=HE ，∴BH =EC ，
∵AE CD =，CD=CF ，∴EH=CF ，
又∵∠BHE =∠ECF =120°，∴△BHE ≌△ECF （SAS ），
∴∠EBH =∠FEC ，EB=EF ，
∵BA=BC ，∠A =∠ACB =60°，AE=CD ，
∴△BAE ≌△BCD （SAS ），∴∠ABE =∠CBD ，∴∠FEC =∠CBD ，
∵∠EDG =∠BDC ，∴∠BGE =∠BCD =60°；
②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，
∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，
∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE 3
∴BF 226BE =232GF =，
过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形， ∴6BM ME MF ===
∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =266262CF ==
∴26231CN FN ===， ∴)
2323131GN GF FN CN =-=-==， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ， ∴62CG CF ==
∴△BCG 的面积=
116262222BC CG ⋅==． 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．
25．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512
m n = 【分析】
（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；
（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案；
②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.
【详解】
（1）解：作图，如图所示：
（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.
理由如下：依题意得， BD BC m ==，
在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒
222BC AC AB ∴=+
22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+
222AD m AD n ∴+-
)()
2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-
0=；
∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根
②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ====
2AD EC =
2233
AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=
222BC AC AB ∴+=
2
2223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493
m n n mn m +=++ 25493
n mn = 512
m n ∴= 【点睛】
本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.
【分析】
（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；
（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；
（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.
【详解】
解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．
（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×
12
ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，
即 a 2+b 2= c 2．
（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,
∴ 2ab=12.
∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.
【点睛】
本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.
27．（1）假；（2）∠A ＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析
【分析】。