福建省南平市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

福建省南平市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试
题
一、单选题
1．已知复数52i
z =-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．如图，水平放置的
用斜二测画法画出的直观图为A B C '''V ，其中45x O y '''∠=︒，1O B O C ''''==，O A ''=，则ABC V 中，AC =（ ）
A ．2 B
C D ．4
3．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“至多有一枚硬币正面朝上”，事件B =“两枚硬币正面均朝上”，事件C =“两枚硬币正面均朝下”，则（ ）
A ．A 与C 对立
B ．B 与
C 不互斥 C ．A 与B 对立
D ．B 与C 对立
4．已知向量()1,1a =r ，()0,b t =r ，若()2a a b ⊥+r r r ，则b =r （ ）
A B ．1 C D ．2
5．已知α，β为两个不重合的平面，l ，m 为两条不同的直线，（ ）
A ．若l m P ，//m α，则l α∥
B ．若l m ⊥，m α⊥，则l α∥
C ．若m αβ=I ，l m P ，则l α∥
D ．若l β⊂，βα∥，则l α∥
6．在ABC V 中，2BD DC =u u u r u u u r ，点E 是线段AD 的中点，则BE =u u u r （ ）
A ．2136A
B A
C -+u u u r u u u r B ．5163AB AC -+u u u r u u u r C ．5163AB AC +u u u r u u u r
D ．1163
AB AC +u u u r u u u r 7．如图，在某座山的山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡从A 向上走了600米到达B 处，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高PQ =（ ）
A ．300米
B ．米
C ．
D ．
8．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA 若球O 与上底面1111D C B A 以及棱AB ，BC ，CD ，DA 均相切，则球O 的体积为（ ）
A ．121π6
B ．41π2
C ．25π
D ．125π6
二、多选题
9．某校统计100名学生体重，这些学生的体重数据（单位：kg ）全部介于45至70之间，将数据整理得到如下所示的频率分布直方图，则（ ）
A ．频率分布直方图中a 的值为0.08
B ．这100名学生中体重不低于55kg 的人数为
60 C ．这100名学生体重的第80百分位数为65 D ．这100名学生体重的众数小于平均数 10．已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，（ ）
A ．若sin sin A
B >，则A B >
B ．若AB
C V 是边长为2的正三角形，则2AB BC ⋅=u u u r u u u r
C ．若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰三角形
D ．若a =BC 的中线AD 长为1，则bc 的最大值为74
11．如图，圆锥的顶点为S ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，12AB =，12SA =，N 是底面
圆周上一点，2π3
AON ∠=，M 是线段SA 上的动点，则（ ）
A ．圆锥SO 的体积为
B ．当M 是SA 的中点时，线段MN 在圆锥底面上的射影长为
C ．存在点M ，使得MN SA ⊥
D ．直线MN 与平面SAB 所成角的正切值的最大值为2
3
三、填空题
12．已知向量()3,4=-r a ，()2,2b =r ，则a r 在b r 的投影向量的坐标是．
13．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为．
14．如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11A D ，11C D 的中点，则过M ，N ，B 三点的平面截此正方体所得截面的周长是．
四、解答题
15．已知复数i z a b =+（,R a b ∈，0a >），()2i z +为纯虚数，且z =
(1)求复数z ；
(2)若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值．
16．现有3个北方城市1A ，2A ，3A 和3个南方城市1B ，2B ，3B ，旅游爱好者甲计划从中任选2个城市旅游．
(1)求甲选择的2个城市均是北方城市的概率；
(2)若旅游爱好者乙也计划从这6个城市中选2个旅游，由于个人爱好，乙选择的2个城市均是北方城市的概率为13
，且甲、乙两人的选择互不影响，求甲、乙两人中至少有一人的选择为2个北方城市的概率．
17．已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，
且c o s 0a B B c b --=．
(1)求A ；
(2)
若a =ABC V
)224b c +，求ABC V 的周长． 18．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点．现将ADE V 沿DE 折起，得到四棱锥A BCDE -．
(1)证明：//BF 平面ADE ；
(2)当ACD V 为等边三角形时，证明：平面AEF ⊥平面BCDE ；
(3)在（2）的条件下，求二面角A DE C --的余弦值．
19．某校高一年级有男生200人，女生100人．为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm ），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39．下表是抽取的女生样本的数据：
记抽取的第i 个女生的身高为()1,2,3,,10i x i =⋅⋅⋅，样本平均数160x =，方差
()101022
22111110151010i i i i s x x x x ==⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∑∑．
3.9，215925281=，216928561=．
(1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在[]160,165范围内的人数；
(2)如果女生样本数据在()2,2x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差；
(3)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求的值μ，σ．。