【三维设计,广东(文)人教版】高考数学第一轮复习考案：第56课 立体几何中的翻折问题课件 文

（2）证明 AB 平面 BEF ；
（3）求多面体 E AFNM 的体积．
A
D
M
M
F
N
A
B N F
B
E
C
E
【解析】（1） MN ∥平面 AEF ，证明如下：
因翻折后 B 、 C 、 D 三点重合（如图），
B
M
N
A
F
E
∴ MN 为 ABF 的一条中位线， ∴ MN ∥ AF ， ∵ AF 平面 AEF ， MN 平面 AEF ∴ MN ∥平面 AEF ．
CD 2AB 4 ，AD 2 ，E 为 CD 的中点，将 BCE 沿 BE 折起，使得 CO DE ， 其中点 O 在线段 DE 内．
（1）求证： CO 平面 ABED ； （2）问 CEO (记为 )多大时， 三棱锥 C AOE 的体积最大? 最大值为多少?
C
D
E
C
A
B
D O
A
θE B
(2)由(1)知 CO 平面 ABED ，
∴ VC AOE
1 3
SAOE
OC
1 3
1 2
OE
AD OC
．
∵ CD 2AB 4 ， AD 2 ， CE 2，
得三棱锥 C AOE 中，
OE CE cos 2cos,OC CE sin 2sin,
∴VC AOE
2 sin 2
3
2， 3
当且仅当 sin 2 1, (0, π) ，即 π 时取等号，
2
4
（此时 OE 2 DE ， O 落在线段 DE 内）．
故当 π 时， 三棱锥 C AOE 的体积最大，最大值为 2 ．
4
3
归纳反思
翻折问题的关键在于抓住： 1．两图的特征关系． 2.哪些量在变，哪些量没变．
D
C
D
C
AE
F
B
E
F
G
【解析】（1）∵ DE AB ， CF AB ， AD 5， BC 4 2 ， DE 4 ， ∴ CF DE 4，∴ AE AD2 DE 2 3， BF BC2 CF2 4 ，
∴折叠完后 EG 3,GF 4 ，
又∵ EF 12 AE BF 5，∴ EG2 GF 2 EF 2 ，∴ EG GF ， 又∵ CF 平面 EGF ， GE 平面 EGF ， ∴ CF GE ， CF GF F ，∴ EG 平面 CFG ， ∵ EG 平面 DEG ，∴平面 DEG 平面 CFG ．
（2）∵ AB BE, AB BF ， BE BF B，
∴ AB 平面 BEF ． （3）∵ AB 4, BE BF 2 ，
∴ VA BEF
1(1 32
BE BF) AB
8 3
，
∴又 VE AFNM SAFNM 3 ，
VE ABF
SABF 4
∴VE AFNM
38 2． 43
【变式】（2012 深圳一模）如图，直角梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AD AB ，
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
（2）过 G 作 GO EF ， GO 即为四棱锥 G CDEF 的高，
D
C
EO F
G ∵ GO EF GGGF ，
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∴ 5GO 34， GO 12 ， 5
【解析】（1）证明：在直角梯形 ABCD 中， CD 2AB ， E 为 CD 的中点， 则 AB DE ，又 AB ∥ DE ， AD AB ，知 BE CD ．
∵ BE DE ， BE CE ， CE DE E ， ∴ BE 平面 CDE ． ∵ CO 平面 CDE ，∴ BE CO. 又 CO DE ， BE DE E ， ∴ CO 平面 ABED ．
A A
B
D
C
D
C
B
【解析】（1）∵折起前 AD 是 BC 边上的高， ∴当 ABD 折起后， AD DC, AD DB ， 又 DC DB D ，∴ AD ⊥平面 BDC ， 又∵ AD 平面 ABD，∴平面 ABD⊥平面 BDC ．
（2）由（1）知， DA DB , DA DC ， DB DC ,
∴ VCDEFG
VGCDEF
1 5512
3
5
20 ．
【例 2】（2012 珠海二模）在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 、F 分别为 BC 、
CD 的中点，M 、N 分别为 AB 、CF 的中点，现沿 AE 、 AF 、EF 折叠，
使 B 、 C 、 D 三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别 MN 与平面 AEF 的位置关系，并给出证明；
∵ DA DB DC 1，∴ AB BC CA 2 ，
SDAM
SDBC
SDCA
1 11 2
1， 2
SABC
1 2
2
2 sin 60
3, 2
∴三棱锥 D ABC 的表面积是 S 1 3 3 3 3 ．
2
2
2
【变式】（2012 江西高考）如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥ CD ，E, F 是线段 AB
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一2021/9/132021/9/132021/9/13 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/132021/9/13September 13, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/13
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 2:39:13 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/132021/9/132021/9/13Sep-2113-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/132021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021
上 的 两 点 ， 且 DE AB ， CF AB ， AB 12 ， AD 5 ， BC 4 2 ，
DE 4 ．现将 ADE ，CFB 分别沿 DE ，CF 折起，使 A, B 两点重合与点 G ， 得到多面体 CDEFG ． （1）求证：平面 DEG 平面 CFG ； （2）求多面体 CDEFG 的体积．
考纲要求
掌握平面图形翻折为立体图形的过程中，几何元素和几何关 系的变化情况．
典例剖析
【例 1】（2011 陕西高考）如图，在 ABC 中，ABC 45 ，BAC 90 ，
AD 是 BC 上的高，沿 AD 把 ABD 折起，使 BDC 90 ． （1）证明：平面 ABD⊥平面 BDC ； （2 ）设 BD 1，求三棱锥 D ABC 的表面积．