2020-2021学年北京师大附属实验中学八年级(上)期中数学试卷

2020-2021学年北京师大附属实验中学八年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分类．下面图标分别为厨余垃圾、可
回收物、有害垃圾、其他垃圾，其中不是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系xOy中，点P(−2,4)关于x轴的对称点的坐标是()
A. (2,4)
B. (4,−2)
C. (−4,2)
D. (−2,−4)
3.下列计算中，正确的是()
A. a3+a3=a6
B. a2⋅a5=a7
C. (2a)3=2a3
D. 3a8÷a2=3a4
4.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无
法判定△ABC≌△ADC的是()
A. CB=CD
B. ∠BAC=∠DAC
C. ∠BCA=∠DCA
D. ∠B=∠D=90°
5.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()
A. 3x+3y−5=3(x+y)−5
B. (x+1)(x−1)=x2−1
)
C. x2+2x+1=(x+1)2
D. x3+x=x2(x+1
x
6.下列命题中，不正确的是()
A. 有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B. 一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
C. 等腰三角形的对称轴是底边上的中线
D. 等边三角形有3条对称轴
7.若x+m与2−x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为()
A. −2
B. 2
C. 0
D. 1
8.已知a x=m，a y=n，则a2x+3y的值为()
A. 2m +3n
B. m 2+n 3
C. m 2n 3
D. m 2n 3 9. 如图，∠BAC =130°，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 等于( )
A. 50°
B. 75°
C. 80°
D. 105°
10. 如图，在△ABC 中，
AB =AC ，AD ，BE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上的一个动点，则下列线段的长等于CP +EP 最小值
的是( )
A. AC
B. AD
C. BE
D. BC
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 若(x −2)0=1，则x 的取值范围是______．
12. 计算：(1)(−3x 2)3= ______ ；
(2)−a 4÷a 3= ______ ．
13. 分解因式：8ab 3c +2ab = ______ ．
14. 如图，△ABC≌△DEF ，点F 在BC 边上，AB 与EF 相
交于点P.若∠DEF =37°，PB =PF ，则∠APF =______°.
15. 对于分式2x x−1，当x ______ 时，分式有意义；对于分式
x 2+x−6x−2，当x ______ 时，分式的值为零．
16. 约分：(1)
25a 2b 15a 3= ______ ； (2)x 2−3x x 2−6x+9= ______ ．
17. 如图，
∠AOB =30°，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OB 于D ，PC//OB 交OA 于C.若PC =10，则OC = ______ ，
PD = ______ ．
18.如果多项式9+mx+x2是完全平方式，那么m=______．
19.计算：2.02×522−2.02×482=______ ．
20.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,0)，B(0,3)，C(0,2)，点D在第二象限，且△
AOB≌△OCD.在坐标系中画草图分析可得：
(1)点D的坐标为______ ；
(2)点P在y轴上，且△PAC是等腰三角形，则∠CPA的大小为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
21.计算：
(1)7m(4m2p)2÷7m2；
(2)(y+2)(y−2)−(y−1)(y+5)．
四、解答题（本大题共7小题，共54.0分）
22.如图，点B在线段AD上，BC//DE，AB=ED，BC=DB.求证：∠A=∠E．
23.将下列各式因式分解：
(1)a4−16；
(2)−mp2+4mp−4m；
(3)(x−3)x2+9(3−x)；
(4)(m2+2m)2−2(m2+2m)+1．
24.已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹(不写作法)．
①在射线BM上作一点C，使AC=AB；
②作∠ABM的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．
(2)在(1)所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．
25.已知：在△ABC中，∠ACB<60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在线段BD
上(点E不与点B，D重合)，且∠EAB=2∠ECB．
(1)如图1，若∠ECB=26°，且EB=EC，则∠DEC=______ °，∠AEB=______
°.
(2)如图2．
①求证：AE+AB=BC；
②若∠EBC=30°，且AB=CE，求∠ECB的度数．
26.已知a，b，c满足a−b=12，ab+3c2+36=0．
(1)用含b的代数式表示a，则a=______ ；
(2)求2a+b+c的值．
27.数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观
推导和解释.如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片.用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)．
(1)若解释因式分解3a2+4ab+b2=(a+b)(3a+b)，需取A类、B类、C类卡片
若干张(三种卡片都要取到)，拼成一个长方形，请画出相应的图形；
(2)若取A类、B类、C类卡片若干张(三种卡片都要取到)，拼成一个长方形，使其
面积为5a2+mab+b2，则m的值为______ ，将此多项式分解因式为______ ．
(3)有3张A类，4张B类，5张C类卡片.从中取出若干张纸片，每种纸片至少取
一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(无空隙、无重叠地拼接)，则拼成的正方形的边长最长为______ ．
28.老师布置了这样一道作业题：
在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．
小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=
30°时(如图1)，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′(如图2)，然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．
(1)请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；
(2)结合小聪研究特殊问题的启发，请解决老师布置的这道作业题．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】D
【解析】解：点P(−2,4)关于x轴的对称点的坐标是(−2,−4)，
故选：D．
利用关于x轴的对称点的坐标特点可得答案．
此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
3.【答案】B
【解析】解：∵a3+a3=2a3，故选项A错误，
∵a2⋅a5=a7，故选项B正确，
∵(2a)3=8a3，故选项C错误，
∵3a8÷a2=3a6，故选项D错误，
故选：B．
．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意．故选C．
5.【答案】C
【解析】解：A、等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、等式的右边不是几个整式的积的形式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的意义(把一个多项式化成几个整式的积的形式，这个过程叫因式分解)逐个判断即可．
本题考查了因式分解的意义，能熟记因式分解的意义是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、一个三角形的外角是120°，
则内角为60°，
∴这个三角形是等边三角形，本选项说法正确，不符合题意；
B、一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，本选项说法正确，不符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，本选项说法错误，符合题意；
D、等边三角形有3条对称轴，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
根据等边三角形的判定定理、轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据多项式乘以多项式的法则，可表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，计算即可．
【解答】
解：根据题意得：
(x+m)(2−x)=2x−x2+2m−mx=−x2+(2−m)x+2m，
∵x+m与2−x的乘积中不含x的一次项，
∴m=2；
故选：B．
8.【答案】C
【解析】解：∵a x=m，a y=n，
∴a2x+3y=a2x⋅a3y=(a x)2⋅(a y)3=m2n3．
故选：C．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此解答即可．本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA=PB，QA=QC，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠BAC=130°，
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°−∠BAC=50°，
∴∠PAQ=∠BAC−(∠BAP+∠CAQ)=80°．
故选：C．
由MP和QN分别垂直平分AB和AC，根据线段垂直平分线的性质，可得PA=PB，QA= QC，继而可得∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°−∠BAC=50°，则可求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意转化思想的应用是关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接PB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
故选：C．
如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥BE，
可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
本题考查轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】x≠2
【解析】解：∵(x−2)0=1，
∴x−2≠0，
∴x≠2．
故答案为：x≠2．
根据零指数幂的意义直接解答即可．
本题主要考查零指数幂的意义，零指数幂：a0=1(a≠0)．
12.【答案】−27x6−a
【解析】解：(1)(−3x2)3=(−3)3⋅(x2)3=−27x6；
(2)−a4÷a3=−a4−3=−a．
故答案为：(1)−27x6；(2)−a．
(1)幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此解答即可；
(2)同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可．
本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
13.【答案】2ab(4b2c+1)
【解析】解：原式=2ab(4b2c+1)．
故答案为：2ab(4b2c+1)．
提取公因式2ab进行分解即可．
本题考查了提公因式法．解题的关键是熟练掌握提公因式法的运用．如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
14.【答案】74
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠E=∠B=37°，
∵PB=PF，
∴∠PFB=∠B=37°，
∴∠APF=37°+37°=74°，
故答案为：74．
根据全等三角形的性质可得∠E=∠B=37°，再根据等边对等角可得∠PFB=∠B=37°，再由三角形外角的性质可得∠APF的度数．
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
15.【答案】≠1=−3
【解析】解：由题意得：x−1≠0，
解得：x≠1；
由题意得：
x2+x−6=0，且x−2≠0，
解得：x=−3，
故答案为：≠1；=−3．
利用分式有意义的条件可得x−1≠0，根据分式值为零的条件可得x2+x−6=0，且x−2≠0，再解不等式即可．
此题主要考查了分式值为零和分式有意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
16.【答案】5b
3a
x x−3
【解析】解：(1)原式=5 a2⋅5b
5a2⋅3a =5b
3a
，
故答案为：5b
3a
；
(2)原式=x(x−3)
(x−3)2=x
x−3
，
故答案为：x
x−3
．
确定分子分母的公因式，然后再约分即可．
此题主要考查了约分，关键是正确确定分子分母的公因式．17.【答案】10 5
【解析】解：∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PC//OB，
∴∠CPO=∠BOP，∴∠CPO=∠AOP，
∴PC=OC，
∵PC=10，
∴OC=PC=10，
过P作PE⊥OA于点E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PD=PE，
∵PC//OB，∠AOB=30°
∴∠ECP=∠AOB=30°
PC=5，
在Rt△ECP中，PE=1
2
∴PD=PE=5，
故答案为：10，5．
求出∠COP=∠CPO=∠BOP，即可得出PC=OC，根据角平分线的性质得出PD=PE，求出PE，即可求出PD．
本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等．
18.【答案】±6
【解析】解：∵多项式9+mx+x2是完全平方式，
∴m=±6，
故答案为：±6
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19.【答案】808
【解析】解：2.02×522−2.02×482
=2.02×(522−482)
=2.02×(52+48)×(52−48)
=2.02×100×4
=808．
故答案为：808．
直接提取公因式2.02，再利用公式法分解因式计算即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．20.【答案】(−3,2)22.5°或45°或67.5°或90°
【解析】解：(1)正确画出△COD，
∵△AOB≌△OCD，
∴DC=BO，
∵B(0,3)，C(0,2)，
∴D(−3,2)；
(2)∵点A(2,0)，C(0,2)，
∴OA=OC=2，
∴∠ACO=∠CAO=45°，
当AC=AP时，∠CPA=∠ACP=45°；
当CA=CP时，∠CPA=∠CAP=1
2(180°−45°)=67.5°，或∠CPA=∠CAP=1
2
∠ACO=
22.5°；
当点O与点P重合时，PC=PA，∠CPA=∠COA=90°，
综上所述，∠CPA的大小为22.5°或45°或67.5°或90°
故答案为：(1)(−3,2)；(2)22.5°或45°或67.5°或90°．
(1)根据△AOB≌△OCD可得DC=BO，再根据B(0,3)，C(0,2)可得D点坐标；
(2)由点A(2,0)，C(0,2)，得到OA=OC=2，求得∠ACO=∠CAO=45°，当AC=AP时，当CA=CP时，当点O与点P重合时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
此题主要考查了全等三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
21.【答案】解：(1)7m(4m2p)2÷7m2
=7m⋅16m4p2÷7m2
=(7×16÷7)m1+4−2p2
=16m3p2；
(2)(y+2)(y−2)−(y−1)(y+5)
=y2−4−(y2+4y−5)
=y2−4−y2−4y+5
=−4y+1．
【解析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
(1)根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；
(2)根据平方差公式和多项式乘多项式可以解答本题．
22.【答案】证明：如图，∵BC//DE，
∴∠ABC=∠BDE．
在△ABC与△EDB中，
{AB=DE
∠ABC=∠BDE BC=BD
∴△ABC≌△EDB(SAS)，
∴∠A=∠E．
【解析】由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDB，则对应角相等：∠A=∠E．本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23.【答案】解：(1)原式=(a2+4)(a2−4)=(a2+4)(a+2)(a−2)；
(2)原式=−m(p2−4p+4)=−m(p−2)2；
(3)原式=(x−3)x2−9(x−3)=(x−3)(x2−9)=(x−3)(x+3)(x−3)=(x−
3)2(x+3)；
(4)原式=(m2+2m−1)2．
【解析】(1)利用平方差公式进行分解即可；
(2)首先提公因式−m，再利用完全平方公式进行分解即可；
(3)首先提公因式x−3，再利用平方差公式进行分解即可；
(4)利用完全平方公式进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
24.【答案】解：(1)如图所示：
(2)BD=DE，
证明：∵BD平分∠ABC，
∠ABC．
∴∠1=1
2
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠4．
∠4．
∴∠1=1
2
∵CE=CD，
∴∠2=∠3．
∵∠4=∠2+∠3，
∠4．
∴∠3=1
2
∴∠1=∠3．
∴BD=DE．
【解析】(1)①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM 的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；
∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC=∠4，∠2=∠3，(2)根据角平分线的性质可得∠1=1
2
然后再证明∠1=∠3，根据等角对等边可得BD=DE．
此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．
25.【答案】52 102
【解析】解：(1)∵BE=EC，
∴∠ECB=∠EBC=26°，
∴∠DEC=∠EBC+∠ECB=52°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=26°，
∵∠EAB=2∠ECB，
∴∠EAB=52°，
∴∠AEB=180°−∠ABE−∠BAE=180°−26°−52°=102°，故答案为52，102；
(2)如图2，在BC上截取BF=AB，连接EF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
在△ABE和△FBE中，
{AB=BF
∠ABE=∠FBE BE=BE
，
∴△ABE≌△FBE(SAS)，
∴AE=EF，∠BAE=∠BFE，∵∠EAB=2∠ECB，
∴∠BFE=2∠ECB，
∵∠BFE=∠BCE+∠FEC，∴∠BCE=∠FEC，
∴CF=EF=AE，
∴BC=BF+FC=AB+AE；
(3)如图3，连接AF，
∵∠EBC=30°，
∴∠ABC=2∠EBC=60°，又∵AB=BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴AF=BA，∠AFB=60°，∵AB=CE，
∴AF=CE，
在△AEF和△EFC中，
{AE=CF EF=EF AF=CE
，
∴△AEF≌△EFC(SSS)，
∴∠BCE=∠AFE，
∵∠BFE+∠AFE=∠AFB=60°，
∴2∠ECB+∠BCE=60°，
∴∠ECB=20°．
(1)由等腰三角形的性质可得∠ECB=∠EBC=26°，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解；
(2)①在BC上截取BF=AB，连接EF，由“SAS”可证△ABE≌△FBE，可得AE=EF，∠BAE=∠BFE，由外角的性质可得∠BCE=∠FEC，可证CF=EF=AE，可得结论；
②连接AF，可证△ABF是等边三角形，可得AF=BA，∠AFB=60°，由“SSS”可证△AEF≌△EFC，可得∠BCE=∠AFE，可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26.【答案】b+12
【解析】解：(1)∵a−b=12，
∴a=b+12，
故答案为：a=b+12；
(2)∵a=b+12，ab+3c2+36=0，
∴(b+12)b+3c2+36=0，
即(b+6)2+3c2=0，
又∵(b+6)2≥0，3c2≥0，
∴b=−6，c=0，
∴a=6，
∴2a+b+c=12−6+0=6．
(1)由a−b=12可得a=b+12；
(2)将a=b+12代入ab+c2+16=0得b2+12b+3c2+36=0；此时可发现b2+ 12b+36正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a 的值；然后代值运算即可．
此题考查了代数式求值，配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
27.【答案】(1)(1)如图所示；
(2)6；(5a+b)(a+b)
(3)a+2b
【解析】解：(1)见答案；
(2)由题意可得，m=6，
∴5a2+6ab+b2=(5a+b)(a+b)，
故答案为：(5a+b)(a+b)；
(3)3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，
4张边长分别为a、b(b>a)的矩形纸片的面积是4ab，
5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，
∵a2+4ab+4b2=(a+2b)2，
∴拼成的正方形的边长最长可以为(a+2b)，
故答案为：a+2b．
(1)根据题意可以画出相应的图形；
(2)根据题意和因式分解的方法可知m的值为6，然后对式子分解因式即可解答本题；
(3)根据3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b(b>a)的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，得出a2+4ab+4b2=(a+ 2b)2，再根据正方形的面积公式即可得出答案．
本题考查因式分解的应用和意义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28.【答案】解：(1)如图2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，…(1分)
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=15°，
在△ABD和△ABD′中，
{AB=AB
∠ABD=∠ABD′BD=BD′
，
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
在△AD′B和△AD′C中，
{AD=AD′D′B=D′C AB=AC
，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=1
2
∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°．
(2)解：第①种情况：当60°<α≤120°时，
如图3中，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=180−α
2=90°−α
2
，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=90°−α
2
−β，
同(1)可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°−α
2
−β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°−α
2−β+90°−α
2
=180°−(α+β)，
∵α+β=120°，
∴∠D′BC=60°，
由(1)可知，△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=1
2
∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°．
第②种情况：当0°<α<60°时，
如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．
同理可得：∠ABC=180°−α
2=90°−α
2
，
∴∠ABD=∠DBC−∠ABC=β−(90°−α
2
)，
同(1)可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=β−(90°−α
2
)，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC−∠ABD′=90°−α
2−[β−(90°−α
2
)]=180°−(α+β)，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同(1)可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°．
【解析】(1)如图2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形，再证明△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B=∠AD′C，由此即可解决问题．
(2)第①种情况：当60°<α≤120°时，如图3中，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，证明方法类似(1).第②种情况：当0°<α<60°时，如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′.证明方法类似(1)．
本题考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。