宁夏银川市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)试卷

银川一中2020届高三年级第一次月考
文 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．cos 2π8-sin 2π
8
=
A ．
2
1
B ．
23 C ．22
D ．2
1- 2．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}22
2
=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为 A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．若复数满足3
(1)12i z i +=-,则z 等于
A B ．32 C ．2 D ．1
2
4．在平面直角坐标系中, ,
,
,
是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在弧
上,
角α以Ox 为始边，则下列不等式成立的是
A. α<α<αtan sin coS
B. α<α<αcos sin tan
C. α<α<αsin cos tan
D. α<α<αtan sin cos 5．下列说法错误的是
A ．“若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若
2560x x -+=，则2x =”
B ．“3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件
C ．“x ∀∈R ，2560x x -+≠”的否定是“0x ∃∈R ，2
00560x x -+=” D ．命题：“在锐角ABC △中，sin cos A B <”为真命题 6．若,2sin )(tan x x f = 则)1(-f 的值为
A ．2sin -
B ．1-
C ．
2
1
D ．1
7．若函数)x (f 与=)x (g x
) 2
1 (的图象关于直线x y =对称, 则)x 4(f 2
-的单调递增区间是
A. ]2 ,2(-
B. ) ,0[∞+
C. )2
,0[ D. ]0 ,(-∞ 8
．已知函数π
3()cos()π)(0)22f x x x ωωω=-+<<
的图象过点5π
(,2)3
， 则要得到函数()f x 的图象，只需将函数2sin y x ω=的图象 A ．向右平移2π
3
个单位长度 B ．向左平移2π
3
个单位长度 C ．向左平移π
3
个单位长度
D ．向右平移
π
3
个单位长度 9．已知1tan 4tan θθ+
=，则2πcos 4θ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
A ．
1
2
B ．1
3
C ．
14 D ．15
10．设曲线x m x f cos )(=(m>0)上任一点(),x y 处切线斜率为()g x ，则函数()2y x g x =的
部分图象可以为
A ．
B ．
C ．
D ．
11．设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0
，则△ABC 的面积和△AOC 的面
积之比为( )
A ．3
B ．53
C ．2
D ．3
2
12
1x ，2x ，3x ，4x ，满足
1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===
围是 A ．()0,12
B ．()0,16
C ．()9,21
D ．()15,25
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若实数,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
则3z x y =+的最大值为 ．
14．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，
且()()2x f x g x x +=+，则()2log 5f =__________． 15．已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x ∈R,若函数f(x)在区间⎪⎭⎫
⎝
⎛-
4,3ππ内单调递增, 则ω的取值范围为 .
16．在锐角三角形ABC 中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC 的最小值是 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分) 17．（本小题满分12分）
已知A 、B 、C 的坐标分别为A )0,3( , B )3,0( , C )sin ,(cos αα , )2
3,2(ππ
∈α . (1) 若|AC ||BC | =, 求角α的值;
(2) 若1B -=⋅, 求α
+α
+αtan 12sin sin 22的值.
18.（本题满分12分）
已知函数a R x e ax x x f x
),()()(2
∈-=为实数. (1)当0=a 时,求函数)(x f 的单调增区间;
(2)若)(x f 在闭区间[-1,1]上为减函数,求a 的取值范围. 19.（本题满分12分）
在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且tan 21+tan A c
B b
=． （1）求角A ； （2
）若a =ABC ∆面积的最大值.
20.（本题满分12分）
已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (∈x R ，0>A ，0>ω，2
0π
ϕ<
<)图象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且2||=OQ ，25||=
，2
13||=． （1）求函数)(x f y =的解析式；
（2）将函数)(x f y =图象向右平移1个单位到函数
)(x g y =的图象，当]2,0[∈x 时，求函数
)()()(x g x f x h ⋅=的最大值．
21．（本题满分12分）
已知函数x x
n
mx x f ln )(--=
.,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值；
（3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点()21210,x x x x <<，求证：221>+x x . (二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t α
α
=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 0ρθθ-=． （1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点()0,1P ，点)
Q
，直线l 过点Q 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段
AB 的中点为M ，求PM 的值．
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数()23f x x x =-++． （1）求不等式()15f x ≤的解集；
（2）若()2x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．
银川一中2020届高三第一次月考数学(文科)参考答案
一．选择题：CBADD BCACD AA
二．填空题：13. 7； 14. 5
13
； 15.
(]1,0； 16. 8
三．解答题：
17. 解：(1)∵|AC ||BC | =, ∴点C 在x y =上, 则α=αcos sin .
),23,2(ππ∈α .4
5π
=α∴
(2) ),sin ,3(cos α-α=),3sin ,(cos B -αα=
,1)3(sin sin )3(cos cos -=-αα+-αα∴ 则3
2
cos sin =
α+α 原式＝.9
5cos sin 2-=αα
18. 解：（1）当a=0时，x e x x f 2)(=,x
e x x x
f )2()(/+=, 令0)(/
=x f ,得x=0或x=-2,由零点穿根法得f(x)的 单调递增区间为，
()()+∞-∞-,0,2,。

（2）[
]
x
e a x a x x
f --+=)2()(2
/
f(x)在区间【-1,1】上为减函数等价于[]0)(1,1/
≤-∈∀x f x 恒成立，
即，0)2(2
≤--+a a x x 恒成立， 设a x a x x g --+=)2()(2
⎩⎨
⎧≤≤-∴0
)1(0)1(g g 解之的.23≥a ,所以a 的 取值范围为⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞,23 19.解：（1）tan 21tan A c
B b +
= s i n c o s 2s i n
1s i n c o s s i n
A B C B A B ∴+= 即
sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C
B A B +=，
sin()2sin sin cos sin A B C B A B
+∴=，整理得1
cos 2A =
0,3
A π
π∴=
＜A ＜
（2）2222cos ,a b c bc A =+-
222221
22
a b c bc b c bc =
∴=+-⨯
=+-， 即2
2
32,b c bc bc bc bc =+-≥-=
当且仅当1=sin 2ABC b c bc bc A ∆==≤取最大值，从而S 20.解（Ⅰ）由余弦定理得5
1|
|||2cos ==
∠OQ OP POQ ，
∴5
2
sin =∠POQ ，得P 点坐标为)1,21
(．
∴ 1=A ，
6)212(42=-=ωπ
，3
π
ω=． 由1)6sin()21(=+=ϕπf ，20πϕ<<得3
π
ϕ=．
∴)(x f y =的解析式为)3
3
sin()(π
π
+
=x x f ．
（Ⅱ）x x g 3
sin
)(π
=，
x x x x x x g x f x h 3
cos 3sin 233sin 213
sin
)3
3
sin(
)()()(2π
πππ
π
π
+=
+
=⋅= 4
1)632sin(2132sin 43432cos 1+-=+-=
ππππ
x x x
． 当]2,0[∈x 时，]6
7,6[632π
πππ-∈-x ， ∴ 当2632πππ=-x ，即1=x 时4
3
)(max =x h ．
21.解析:（1）由'
2()n x f x x -=
，'
2(2)4
n f -=，
由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故
2
14
n -=，解得6n =
（3）若1n =时，()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<， 由11111()ln 0mx f x x x -=
-=，22221()ln 0mx f x x x -=-=，得1212
11
ln ln m x x x x =+=+， ∴212121ln x x x x x x -=，设211x t x =>，11ln t t tx -=，11ln t x t t -=，故21211(1)ln t x x x t t t
-+=+=，
∴2121
2(ln )22ln t t t x x t
--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'
2(1)()02t h t t
-=>， ∴()h t 在(1,)+∞递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=， 又2
1
1x t x =>，ln 0t >，故122x x +>成立..............12分
22.解（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin cos cos 0x y ααα-+=，
由2sin 0ρθθ-=
得22sin cos 0ρθθ-=， 所以曲线C
的直角坐标方程为2y =． （2）易得点P 在l
上，所以tan PQ k α==5π6
α=，
所以l
的参数方程为112x y t
⎧⎪⎪⎨==+⎪⎪⎩，
代入2y =中，得21640t t ++=，
设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t ， 则12
082
t t t +=
=-，所以08PM t ==． 23.解：（1）因为()213532 212x x f x x x x --<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪+>⎩
，，
，， 所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-； 当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤≤； 当2x >时，由()15f x ≤得27x <≤． 综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-． （2）由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+，
因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号， 所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5． 所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞．。