初中的数学动点问题归纳(K12教育文档)

初中的数学动点问题归纳(word版可编辑修改)
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动点问题
题型方法归纳
动态几何特点—---问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

) 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点
1、（2009年齐齐哈尔市)直线3
64
y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点
出发,同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．
(1）直接写出A B 、两点的坐标;
（2）设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； (3）当48
5
S =
时，求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．
解：1、A （8,0） B （0，6)
2、当0＜t ＜3时,S=t 2
当3＜t ＜8时，S=3／8(8—t)t
提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;
第（3）问是分类讨论:已知三定点O 、P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类----—①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线,③OP 为对角线、OQ 为
图（3）B
图（1）
B 图（2）
边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、(2009年衡阳市）
如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm,
∠ABC=60º．
(1）求⊙O的直径；
（2)若D是AB延长线上一点,连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；
（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B 点出发沿BC方向运动，设运动时间为)2
)(
(<
<t
s
t，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．
注意：第（3)问按直角位置分类讨论
3、（2009
重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)
y a x a
=-+≠经过点(2)
A-，0，抛物线的顶
点为D,过O作射线OM AD
∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．
(1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()
t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形?
(3)若OC OB
=，动点P和动点Q分别从点O和点B
长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止
运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意:发现并充分运用特殊角∠DAB=60°
当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

二、
特殊四边形边上动点
4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒
的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动,设P 、
Q 运动的时间为x 秒时,APQ △与ABC △重叠部分．．．．
的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：
（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；
（2)点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时
x 的值是 秒; （3）求y 与x 之间的函数关系式．
提示:第（3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ； 提醒-———— 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。

5、(2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（3-，4)，点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；
（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动,设△PMB 的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围)；
（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角,并求此时直线OP 与直线AC
所夹锐角的
注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；
第(3）问发现∠MBC=90°,∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中，
∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。

利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.
6、(2009年温州)如图,在平面直角坐标系中，点A（3，0）,B（33,2），C(0,2）．动点D 以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．
(1）求∠ABC的度数；
(2）当t为何值时，AB∥DF；
（3)设四边形AEFD的面积为S．
①求S关于t的函数关系式;
②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<23时,求m的取值范围(写出答案即可)．
注意：发现特殊性，DE∥OA
7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中,四
边形ABCO是菱形，且
∠AOC=60°，点B的坐标是(0,83),点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设(08)
t t
<≤秒后，
B
A
C D
P
O
Q
x
y
直线PQ 交OB 于点D.
（1）求∠AOB 的度数及线段OA 的长；
（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （3）当4
3,33
a OD ==
t 的值及此时直线PQ 的解析式； （4）当a 为何值时,以O,P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆相似？当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆不相似?请给出你的结论，并加以证明。

8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥,以O 为原点建立平面直角坐标系，
A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，
，，，,点D 为线段BC 的中点,动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒． （1）求直线BC 的解析式；
（2)若动点P 在线段OA 上移动,当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27
？
（3）动点P 从点O 出发,沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出
S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；
(4）当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形?请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由．
9、(09年黄冈市）如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛
物点线214
10189
y x x =
--与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连
结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P
以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每
秒
A B
D
C
O P y
A
B
D
C
O y （此题备用）
1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动，线段OC ,PQ 相交于点
D ,过点D 作D
E ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点
F ．设动点P,Q 移动的时间为t （单位:秒）
(1)求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
(2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程;
(3)当0＜t ＜9
2
时，△PQ F 的面积是否总为定值？若是,求出此定值， 若不是，请说明理由；
(4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程． 提示：第(3）问用相似比的代换，
得PF=OA （定值）.
第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ ，③QF=PF 。

三、
直线上动点
8、（2009年湖南长沙）如图,二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点,与
y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、
，、两点的坐标分别为(30)A -，
、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等． （1)求实数a b c ，，的值；
（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时,连结MN ,将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；
（3)在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ,使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标;
提示：第（2)问发现
特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM 为菱形；
第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后,按直角位置对应分类；先画出与△ABC 相似的△
BNQ ，再判断是否在对称轴上。

轴交于9、（2009眉山）如图，已知直线1
12
y x =+与y 轴交于点A ，与x B 、C 两
点D ，抛物线2
12
y x bx c =
++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于点，且B 点坐标为 （1，0）。

⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P 在x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

提示:第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形————①P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE 为直径画圆与x 轴交点即为所求点P,②A 为直角顶点时，过点A 作AE 垂线交x 轴于点P,③E 为直角顶点时，作法同②；
第（3）问,三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大.
10、（2009年兰州)如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4）, 点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上,从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动,同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设
运动的时间为t 秒．
（1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度
单位)关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；
（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；
(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时,OP 与PQ 能否相等,若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能,请说明理由．
注意：第（4)问按点P 分别在AB 、BC 、CD 边上分类讨论；求t 值时,灵活运用等腰三角形“三
线合一”。

11、（2009年北京市)如图,在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为
()6,0A -，()6,0B ,(0,43C ，延长AC 到点D ，使CD=1
2
AC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线
于点E.
（1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式;
(3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。

(要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明)
提示：第（２)问，平分周长时，直线过菱形的中心；
第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中
A
D
P
C
B Q 图1
D
A
P
C B
（Q ） 图2
图3
C
A
D
P
B
Q
直线与ｘ轴夹角为６０°。

见“最短路线问题”专题。

12、(2009年上海市)
已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3,AD ∥BC ，P 为
线段BD 上的动点，点Q 在射线
AB 上,且满足
AB
AD
PC PQ =
（如图1所示）． （1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长;
（2)在图8中,联结AP ．当3
2AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBC
S y S =△△，
其中APQ S △表示△APQ 的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域;
（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时(如图3所示），求QPC ∠的大小．
注意:第（2）问,求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量
的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。

当PC ⊥BD 时，点Q 、B 重合,x 获得最小值； 当P 与D 重合时，x 获得最大值。

第（3）问，灵活运用SSA 判定两三角形相似,即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA
来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP ＝∠BCP,得B 、Q 、C 、P 四点共圆也可求解.
13、(08宜昌）如图，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，P 是边AB(含端点)上的动点．过P 作BC 的垂线
PR ，R 为垂足，∠PRB 的平分线与AB 相交于点S ，在线段RS 上存在一点T ，若以线段PT 为一边作正方形PTEF ，其顶点E ，F 恰好分别在边BC ，AC 上． (1）△ABC 与△SBR 是否相似，说明理由;
(2）请你探索线段TS 与PA 的长度之间的关系；
（3）设边AB ＝1,当P 在边AB （含端点）上运动时,请你探索正方形PTEF 的面积y 的最小值和最大值．
提示：第(3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p 运动到使T 与R 重合时，PA=TS 为最大；当P 与A 重合时，PA 最小.此问与上题中求取值范围类似.
14、(2009年河北）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3,AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ,交折线QB -BC —CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． (1）当t = 2时,AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；
(2）在点P 从C 向A 运动的过程中,求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围)
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能,请说明理由；
（4)当DE 经过点C 时，请直接．．
写出t 的值．
提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t 值；有二种成立的情形，
ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ;
（４）按点P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t 值；有二种情形，
(第13题)
T
P
S
R E
A
B
C
F
(第13题) T
P
S
R E
A B
C F
ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t 时, ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．
15、（2009年包头）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =(2m >)与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标(用含m 的代数式表示）;
(3）在（2）成立的条件下,抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在,请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由． 提示：
第（2）问，按对应锐角不同分类讨论,有两种情形；
第（3）问，四边形ABEF 为平行四边形时，E 、F 两点纵坐标相等，且AB=EF ，对第（2)问中两种情形分别讨论。

四、
抛物线上动点
16、（2009年湖北十堰市)如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B (－3，0），与y 轴交于点C ． （1） 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标．
O
y
x
B E A
D
C
F
注意:第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标-———①C 为顶点时,以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P.
第（3）问方法一,先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二,先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组）,再求面积
17、(2009年黄石市)正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，D 在y 轴的负半轴上，AB 交y 轴正半轴于E BC ，交x 轴负半轴于F ，1OE =，抛物线24y ax bx =+-过A D F 、、三点． （1）求抛物线的解析式；
（2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ,交BC 所在直线
于N ,若3
2
FQN AFQM S S =△四边形，则判断四边形AFQM 的形状；
（3)在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点H ，使得AP PH ⊥且AP PH =，若存在,请给予严格证明，若不存在，请说明理由．
注意：第（2）问，发现并利用好NM∥FA且NM＝FA;
第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰.需分类讨论，先画出合适的图形,再证明
三年共同点：
①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三角形;
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式)；
④求直线、抛物线解析式；
⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。

“坐标几何题"（动点问题)分析
广东中考题（2003)。