专题24 与四边形有关的证明及计算巩固集训(解析版)

与四边形有关的证明及计算巩固集训
1.如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AE的长．
第1题图
【答案】解：(1)证明：如解图，∵四边形ABCD是平行四边形，
第1题解图
∴DF∥BE，而BE＝DF，连接DE与BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，∴BO＝DO;
(2)已知EF⊥AB于点E，
且EF交AD的延长线于点G，
FG＝1，又∠A＝45°，
∴AE＝GE，
而AD⊥BD，∴∠ABD＝45°，则∠FDO＝∠ABD＝45°，
而DF⊥GO，易得△DFG≌△DFO，∴FO＝GF＝1，
综上所述，OE＝OF＝1，
∴GE＝GF＋OF＋OE＝3，
则AE＝GE＝3.
2. 如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别相交于点E、F.
(1)求证：△BCF≌△BA1D；
(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并请说明理由．
第2题图
【答案】解：(1)证明：∵等腰△ABC旋转到△A1BC1，
∴∠CBF＝∠A1BD, △ABC≌△A1BC1，
∴BC＝A1B, ∠C＝∠A1，
∴△BCF≌△BA1D；
(2)菱形．理由如下：
∵∠C＝α，
∴∠C1＝∠A＝α，
∵△ABC逆时针旋转α度，
∴∠A1BD＝∠CBF＝α，
即∠CBF＝∠C1，∴A1E∥BC，
又∠A1BD＝∠A，∴A1B∥EC，
∴四边形A1BCE为平行四边形，
又BC＝A1B，
∴四边形A1BCE为菱形．
3. 如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.
(1)求证：△PHC≌△CFP；
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．
第3题图
【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，AD∥BC，∠DCB＝90°.
∵EF∥AB，GH∥BC，
∴四边形PFCH是矩形，
∴∠PHC＝∠PFC＝90°，PH＝CF，HC＝PF，
∴△PHC≌△CFP；
(2)由(1)知AB∥EF∥CD，AD∥GH∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形，∵四边形ABCD为矩形．∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，由(1)同理证得△ACD≌△CAB，△APE≌△PAG.且△PHC≌△CFP，
∴S△ACD－S△AEP－S△PCH＝S△CAB－S△PGA－S△CFP，
∴S四边形PEDH＝S四边形PFBG.
4. 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E作EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD.
(1) 求证：四边形ABEF是正方形；
(2)如果AB＝4，AD＝7，求tan∠ADP的值．
第4题图
【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAB＝∠ABE＝90°，AF∥BE，
∵EF⊥AD，
∴∠FAB＝∠ABE＝∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，AF∥BE，
∴∠FAE＝∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴四边形ABEF是正方形；
(2)如解图，过点P作PH⊥AD于点H，
∵四边形ABEF是正方形，
∴BP＝PF，BA⊥AD，∠PAF＝45°，
∴AB∥PH，
第4题解图
∵AB ＝4， ∴AH ＝PH ＝2， ∵AD ＝7，
∴DH ＝AD －AH ＝7－2＝5， ∴在Rt △PHD 中，
tan ∠ADP ＝PH HD ＝2
5
.
5. 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形； (2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．
第5题图
【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ， ∴∠BAC ＝∠DCA ，
由折叠知∠EAC ＝12∠BAC, ∠FCA ＝1
2∠DCA ，
∴∠EAC ＝∠FCA ， ∴AE ∥CF ， ∵AD ∥BC ，
∴四边形AECF 为平行四边形；
(2)在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，由勾股定理得，
BC ＝102－62＝8，
由折叠知，∠ABC ＝∠AME ＝90°，BE ＝EM ，
在Rt △CEM 中，
CM ＝AC －AM ＝AC －AB ＝10－6＝4，
设CE ＝x ，则BE ＝EM ＝8－x ， 由勾股定理得，
ME 2＋CM 2＝EC 2，
(8－x )2
＋16＝x 2
， 解得x ＝5，
∴S 四边形AECF ＝EC ·CD ＝EC ·AB ＝5×6＝30.
6. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H.
(1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．
第6题图
【答案】解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10， 如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2， ∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝
55
； (2)在△GDC 与△EDA 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA
， ∴△GDC ≌△EDA ，∴∠GCD ＝∠EAD ，AE ＝GC ， 又∵∠HEC ＝∠DEA ， ∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°，
∴AH ⊥GC ，
∵S △AGC ＝12AG ·DC ＝1
2GC ·AH ，
∴12×4×3＝1
2×10×AH ， ∴AH ＝6
5
10.
7. 如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，已知EP ＝FP ＝6，EF ＝63，∠BAD ＝60°，且AB ＞6 3.
(1)求∠EPF 的大小；
(2)若AP ＝10，求AE ＋AF 的值；
(3)若△EFP 的三个顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．
第7题图
【答案】解：(1)如解图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G . ∵PE ＝PF ＝6，EF ＝63，
∴FG ＝EG ＝33，∠FPG ＝∠EPG ＝1
2∠EPF .
在Rt △FPG 中，sin ∠FPG ＝FG PF ＝336＝32
， ∴∠FPG ＝60°，
∴∠EPF ＝2∠FPG ＝120°；
(2)如解图①，作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AD 于点N . ∵AC 为菱形ABCD 的对角线， ∴∠DAC ＝∠BAC ，AM ＝AN ，PM ＝PN .
在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ， ∴Rt △PME ≌Rt △PNF . ∴ME ＝NF .
又AP ＝10，∠PAM ＝1
2
∠DAB ＝30°，
∴AM＝AN＝AP·cos30°＝10×
3
2
＝5 3.
∴AE＋AF＝(AM＋ME)＋(AN－NF)＝AM＋AN＝10 3.
第7题解图②
(3)AP长的最大值为12，最小值为6.
【解法提示】如解图②，当△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动时，点P在P1，P2之间运动，
易知P1O＝P2O＝3，AO＝9，
∴AP的最大值为12，AP的最小值为6.
8.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，点Q在CD边上，且BP ＝CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M.
(1)求证：AP⊥BQ；
(2)若AB＝3，BP＝2PC，求QM的长；
(3)当BP＝m，PC＝n时，求AM的长．
第8题图
【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BP＝CQ，
∴△ABP≌△BCQ，
∴∠BAP＝∠CBQ，
∵∠BAP＋∠APB＝90°，
∴∠CBQ＋∠APB＝90°，
∴∠BEP＝90°，
∴AP ⊥BQ ；
(2)解：∵正方形ABCD 中，AB ＝3，BP ＝2CP . ∴BP ＝2，
由(1)及已知得NQ ＝CQ ＝BP ＝2，NB ＝3， 又∵∠NQB ＝∠CQB ＝∠ABQ ， ∴MQ ＝MB ，
设MQ ＝MB ＝x ，则MN ＝x －2， 在Rt △MBN 中，MB 2
＝BN 2
＋MN 2
， 即x 2
＝32
＋(x －2)2， 解得x ＝13
4，
∴QM ＝134
；
(3)解：∵BP ＝m ，CP ＝n ， 由(1)、(2)得CQ ＝QN ＝BP ＝m ，
设AM ＝y ，BN ＝BC ＝m ＋n ，MQ ＝MB ＝y ＋m ＋n ，
MN ＝QM －QN ＝(y ＋m ＋n )－m ＝y ＋n .
(y ＋m ＋n )2
＝(m ＋n )2
＋(y ＋n )2
，
整理得y ＝n 2
2m ，
∴AM 的长为n 2
2m
.。