2.1.2两类特殊的分布列
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温故夯基
1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能 取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取 每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝ pi，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
那么上表称为离散型随机变量X的 概__率__分__布__列__，简称为X的_分__布__列_． (2)离散型随机变量的分布列具有如下性质： ①pi_≥__0，i＝1,2，…，n；
故X的分布列为
X 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
121 15 15 15
【误区警示】 抽取2张没有先后顺序， 用组合数来计算概率，不用排列数．
互动探究3 本例条件不变，该顾客所得奖 品总价值不低于20元的概率是多少？ 解：P(X≥20)＝P(X＝20)＋P(X＝50)＋ P(X＝60)
例3 在一次购物抽奖活动中，假设某10张 奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖 品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的 奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中 任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列． 【思路点拨】 本题可利用超几何分布求解 ． 【解】 (1)法一：P＝1－CC04C21026＝1－13＝23. 法二：P＝C14C16C＋210C24C06＝3405＝23.
即该顾客中奖的概率为23.
(2)X 所 有 可 能 的 取 值 为 ( 单 位 ： 元 ) ： 0,10,20,50,60， 且 P(X＝0)＝CC04C21026＝13；P(X＝10)＝CC13C21016＝25； P(X＝20)＝CC21230＝115；P(X＝50)＝CC11C21016＝125； P(X＝60)＝CC11C21013＝115.
CnN
CnN
…
CmMCNn－－mM CnN
为__超__几__何__分__布__列__．
如果随机变量X的分布列为超几何分布列， 则称随机变量X服从_超__几__何__分__布___．
问题探究
1．在分布列中，随机变量X是服从两点分布 的吗？
X2 5 P 0.3 0.7 提示：不是，因为X的值不是0或1.
＝115＋125＋115＝145.
方法感悟
方法技巧 1．求离散型随机变量X的分布列的步骤 (1)确定X的可能取值xi(i＝1,2，…，n)； (2)求出相应概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格的形式． 2．离散型随机变量分布列的三种形式 表格式、公式法和图象法．
失误防范 利用分布列的性质解题时应注意的问题 (1)X＝xi 的各个取值表示的事件是互斥 的；
功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任 取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发
CkMCnN－－kM 生的概率为P(X＝k)＝____C_nN____，k＝0,1,2 ，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
X0
1 …m
P
C0MCnN－－0M C1MCnN－－1M
n
pi＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
i＝1
利用分布列的性质确定分布列．
例1 设随机变量 X 的分布列 P(X＝k5) ＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数 a 的值； (2)求 P(X≥35)；
(3)求 P(110<X<170)．
【思路点拨】 利用概率和为1，求a；借助 互斥事件求(2)(3)两问． 【解】 (1)由 P(X＝k5)＝ak，k＝1,2,3,4,5 可知
＝35)＝115＋125＋135＝25.
【思维总结】 利用离散型随机变量分布列 的性质，不仅可以帮助我们检查写出的分布 列是否有误(即看它的概率是否均为非负数 且其概率和是否等于1)；而且还可以帮助我 们求出分布列中的某些参数．
变式训练1 对于下列分布列有P(|ξ|＝2)＝ ________.
ξ －2 0 2
n
(2)不仅要注意pi＝1 而且要注意 pi≥0，
i可
知随机变量 X 服从两点分布．
【解】 ∵X 服从两点分布， 则 P(X＝0)＝CC21261＝131， P(X＝1)＝1－131＝181.
∴X 的分布列为
X1 0
P
8 11
3 11
【思维总结】 由于在两点分布中，只有两 个对立结果，求出其中的一个概率，便可求 出另一个概率．针对本题来说先求出P(X＝ 0)使问题的解决更加简单方便．
2．从含有5件次品的10件产品中，任取6件 ，其中恰有X件次品，则事件{X＝0}发生的 概率是多少？
提示：因为有5件次品，5件正品，所以任取 6件产品至少有一件次品，事件{X＝0}是不 可能事件，故P(X＝0)＝0.
课堂互动讲练
考点突破
分布列的性质及应用 (1)非负性：pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)全部试验结果之和为必然事件，即
变式训练 2 袋中装有 3 个红球，2 个绿球，
0 摸出绿球
从中摸出 1 个球，记 X＝ 1
摸出红球 ，
求 X 的分布列．
解：X的分布列为
X1 0
P
3 5
2 5
超几何分布的实际应用
一个总体(共有 N 个)内含有两种不同的事物 A(M 个)，B(N－M 个)，任取 n 个，其中恰有 X 个 A，即可断定是超几何分布．按照超几何 分布的分布列 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…， m，m＝min{M，n}，进行处理即可．
n
② pi＝_1_.
i＝1
2．两点分布与超几何分布 (1)两点分布 ①如果随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
P 1－p p
那么我们称这样的分布列为_两__点__分__布__列_．
②如果随机变量X的分布列为两点分布列， 就称X服从_两__点__分__布_，并称_p_＝__P_(_X_＝__1_)_为成
P
a
3 5
c
解析：P(|ξ|＝2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝－2)＝ a＋c ＝1－35＝25.
答案：25
两点分布
两点分布是一种特殊的分布，随机变量只能 取0,1.
例2 一个盒子中装有 5 个白色玻璃球和 6 个红色玻璃球，从中摸出两球，记 X＝
0
1
两球全红 两球非全红
，求 X 的分布列．
【思路点拨】 由 X＝0 1
k＝5 1P(X＝k5)＝k＝5 1ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a
＝1， 解得 a＝115.
(2)由(1)可知 P(X＝k5)＝1k5(k＝1,2,3,4,5)， ∴P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝1) ＝135＋145＋155＝45. (3)P(110<X<170)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X
1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能 取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取 每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝ pi，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
那么上表称为离散型随机变量X的 概__率__分__布__列__，简称为X的_分__布__列_． (2)离散型随机变量的分布列具有如下性质： ①pi_≥__0，i＝1,2，…，n；
故X的分布列为
X 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
121 15 15 15
【误区警示】 抽取2张没有先后顺序， 用组合数来计算概率，不用排列数．
互动探究3 本例条件不变，该顾客所得奖 品总价值不低于20元的概率是多少？ 解：P(X≥20)＝P(X＝20)＋P(X＝50)＋ P(X＝60)
例3 在一次购物抽奖活动中，假设某10张 奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖 品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的 奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中 任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列． 【思路点拨】 本题可利用超几何分布求解 ． 【解】 (1)法一：P＝1－CC04C21026＝1－13＝23. 法二：P＝C14C16C＋210C24C06＝3405＝23.
即该顾客中奖的概率为23.
(2)X 所 有 可 能 的 取 值 为 ( 单 位 ： 元 ) ： 0,10,20,50,60， 且 P(X＝0)＝CC04C21026＝13；P(X＝10)＝CC13C21016＝25； P(X＝20)＝CC21230＝115；P(X＝50)＝CC11C21016＝125； P(X＝60)＝CC11C21013＝115.
CnN
CnN
…
CmMCNn－－mM CnN
为__超__几__何__分__布__列__．
如果随机变量X的分布列为超几何分布列， 则称随机变量X服从_超__几__何__分__布___．
问题探究
1．在分布列中，随机变量X是服从两点分布 的吗？
X2 5 P 0.3 0.7 提示：不是，因为X的值不是0或1.
＝115＋125＋115＝145.
方法感悟
方法技巧 1．求离散型随机变量X的分布列的步骤 (1)确定X的可能取值xi(i＝1,2，…，n)； (2)求出相应概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格的形式． 2．离散型随机变量分布列的三种形式 表格式、公式法和图象法．
失误防范 利用分布列的性质解题时应注意的问题 (1)X＝xi 的各个取值表示的事件是互斥 的；
功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任 取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发
CkMCnN－－kM 生的概率为P(X＝k)＝____C_nN____，k＝0,1,2 ，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
X0
1 …m
P
C0MCnN－－0M C1MCnN－－1M
n
pi＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
i＝1
利用分布列的性质确定分布列．
例1 设随机变量 X 的分布列 P(X＝k5) ＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数 a 的值； (2)求 P(X≥35)；
(3)求 P(110<X<170)．
【思路点拨】 利用概率和为1，求a；借助 互斥事件求(2)(3)两问． 【解】 (1)由 P(X＝k5)＝ak，k＝1,2,3,4,5 可知
＝35)＝115＋125＋135＝25.
【思维总结】 利用离散型随机变量分布列 的性质，不仅可以帮助我们检查写出的分布 列是否有误(即看它的概率是否均为非负数 且其概率和是否等于1)；而且还可以帮助我 们求出分布列中的某些参数．
变式训练1 对于下列分布列有P(|ξ|＝2)＝ ________.
ξ －2 0 2
n
(2)不仅要注意pi＝1 而且要注意 pi≥0，
i可
知随机变量 X 服从两点分布．
【解】 ∵X 服从两点分布， 则 P(X＝0)＝CC21261＝131， P(X＝1)＝1－131＝181.
∴X 的分布列为
X1 0
P
8 11
3 11
【思维总结】 由于在两点分布中，只有两 个对立结果，求出其中的一个概率，便可求 出另一个概率．针对本题来说先求出P(X＝ 0)使问题的解决更加简单方便．
2．从含有5件次品的10件产品中，任取6件 ，其中恰有X件次品，则事件{X＝0}发生的 概率是多少？
提示：因为有5件次品，5件正品，所以任取 6件产品至少有一件次品，事件{X＝0}是不 可能事件，故P(X＝0)＝0.
课堂互动讲练
考点突破
分布列的性质及应用 (1)非负性：pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)全部试验结果之和为必然事件，即
变式训练 2 袋中装有 3 个红球，2 个绿球，
0 摸出绿球
从中摸出 1 个球，记 X＝ 1
摸出红球 ，
求 X 的分布列．
解：X的分布列为
X1 0
P
3 5
2 5
超几何分布的实际应用
一个总体(共有 N 个)内含有两种不同的事物 A(M 个)，B(N－M 个)，任取 n 个，其中恰有 X 个 A，即可断定是超几何分布．按照超几何 分布的分布列 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…， m，m＝min{M，n}，进行处理即可．
n
② pi＝_1_.
i＝1
2．两点分布与超几何分布 (1)两点分布 ①如果随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
P 1－p p
那么我们称这样的分布列为_两__点__分__布__列_．
②如果随机变量X的分布列为两点分布列， 就称X服从_两__点__分__布_，并称_p_＝__P_(_X_＝__1_)_为成
P
a
3 5
c
解析：P(|ξ|＝2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝－2)＝ a＋c ＝1－35＝25.
答案：25
两点分布
两点分布是一种特殊的分布，随机变量只能 取0,1.
例2 一个盒子中装有 5 个白色玻璃球和 6 个红色玻璃球，从中摸出两球，记 X＝
0
1
两球全红 两球非全红
，求 X 的分布列．
【思路点拨】 由 X＝0 1
k＝5 1P(X＝k5)＝k＝5 1ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a
＝1， 解得 a＝115.
(2)由(1)可知 P(X＝k5)＝1k5(k＝1,2,3,4,5)， ∴P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝1) ＝135＋145＋155＝45. (3)P(110<X<170)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X