考点06立方根(解析版)

第二章立方根考点类型大总结【知识点及考点类型梳理】
知识点一、立方根
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即3
x a =，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．
一个数a ，读作"三次根号a"。

其中，a 称为被开方数，3称为根指数。

特别警示∶3a 中的根指数3不能省略。

若省略了3，a 表示非负数a 的算术平方根而非a 的立方根。

考点类型一、考查立方根的定义
1.求下列各数的立方根：
(1)125-；(2)0.008；(3)17427；(4)5-.
【答案】(1)5-；(2)0.2；(3)
53
；(4)【分析】（1）根据立方根的概念求解；（2）根据立方根的概念求解；（3）把174
27转换成12527，再根据立方根的概念求解；（4）根据立方根的概念求解；
【详解】
解：(1)因为3(5)125-=-，所以125-的立方根是5-5=-.
(2)因为3(0.2)0.008=，所以0.008的立方根是0.2
0.2=.
(3)因为1712542727=，且3(3512527=，所以17427的立方根是5353
=.(4)5-的立方根为
【点睛】
本题考查了立方根的知识，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根.
2..求下列各式的值：
（1）
（2
（3
（4
（5）【答案】（1）
43
；（2）9；（3）12-；（4）1；（5）73【分析】
（1）根据立方根的定义即可化简求解；
（2）根据立方根的定义即可化简求解；
（3）根据立方根的定义即可化简求解；
（4）根据立方根与算术平方根的定义即可化简求解；
（5）根据立方根与算术平方根的定义即可化简求解．
【详解】
解：（1）43==
（29
===
（3）
11=242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭
（4）3311
=-++=
（5）347=211233÷+=+=．【点睛】
此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方．
举一反三
1.求下列各数的立方根．
（1）61164
-；（2）932125
+．
【答案】（1）54=-，（275
=
【解析】（1）∵3512561()146464-=-=-，∴61164-的立方根是54-，即54=-．
（2）∵3793()25125=+，∴932125+的立方根是7575
=．2．–1的立方根是______,
127的立方根是_______,9的立方根是________.
【答案】-1
13【分析】
根据立方根的定义解答即可.
【详解】
∵（-1）3=-1，∴–1的立方根是-1，∵（13）3=127，∴127的立方根是13
，9
故答案为(1).-1；(2).13；考点类型二、利用立方根定义求参数
1．若2m+2的平方根为±4，4n 的立方根是-2，求m-n 的值．
【答案】9
【分析】
根据算术平方根和立方根的定义得出m 、n 的值，再求出m -n ，即可得出答案．
【详解】
解：∵2m +2的平方根为±4，4n 的立方根是-2，
∴2m +2=16，4n =-8，
解得：m =7，n =-2，
∴m -n =7-(-2)=9．
考点类型三、求方程的解
1.求下列各式中x 的值：
（1）3（x ﹣1）3=24．
（2）（x +1）3=﹣64．
【答案】（1）x=3；（2）x =﹣5．
【分析】
（1）先整理成x 3=a 的形式，再直接开立方解方程即可．
（2）先整理成x 3=a 的形式，再直接开立方解方程即可．
【详解】
解：（1）3（x ﹣1）3=24，
（x ﹣1）3=8，
x ﹣1=2，
∴x =3．
（2）开立方得：x +1=﹣4，
解得：x =﹣5．
考点类型四、立方根的应用
1.把一个长、宽、高分别为5,10,16的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长是_______．
【分析】
立方体的棱长就是体积的立方根，据此即可求解．
【详解】
解：立方体的体积是：5×10×16=800，
2.（1
20==
0.2==____________．
（20.5====_________．
（3）从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向_________移动____________位．
（4a ==_________=____________．【答案】（1）200（2）0.05（3）左或右；1．（4）10a ；0.1a
解：（1）根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位．
8的小数点向右移动3位后又向右移动3位，
则立方根2的小数点向右移动1位后又向右移动1位，
200
=．
（2）根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，
125的小数点向左移动3位后又向左移动3位，
则立方根5的小数点向左移动1位后又向左移动1位，
0.05
=．
（3）通过前两个小题的观察、验证，
总结规律：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位．
（4）根据以上小题发现的规律，
可看作被开方数x向右移动3位，
a=，x的立方根a向右移动1位，
10a
=；
=
x向左移动3位，
a=，x的立方根a向左移动1位，
0.1a．
1.在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643
cm，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了
16
9π
cm．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
【答案】烧杯内部的底面半径为6cm，铁块的棱长4cm
【分析】
铁块排出的643
cm水的体积，是铁块的体积，也是高为
16
9π
cm烧杯的体积．
【详解】
解：铁块排出的643
cm的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为y cm，可列方程364,
y=解得4
y=
设烧杯内部的底面半径为x cm，可列方程21664 9
xπ
π
⨯=，解得x=6．答：烧杯内部的底面半径为6cm，铁块的棱长4cm．
2.
6.330
≈≈（）
A．503.6B．159.25C．633.0D．560
【答案】A
【分析】
根据已知等式，利用立方根和算术平方根定义判断即可得到结果．
【详解】
5.036
≈，
503.6，
故选：A．
【点睛】
此题考查了立方根，算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解本题的关键．
知识点二、立方根的性质
性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；开立方∶求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

考点类型一、立方根的性质
1.下列说法中正确的是（）
A．平方根是它本身的数是±1和0B．立方根是它本身的数只有0，－1
C．算术平方根是它本身的数1和0D．负数没有立方根
【答案】C
【分析】
根据平方根、立方根、算术平方根等知识逐项判断即可求解．
【详解】
解：A.平方根是它本身的数是0，原选项判断错误，不合题意；
B.立方根是它本身的数只有0，±1，原选项判断错误，不合题意；
C.算术平方根是它本身的数是1和0，原选项判断正确，符合题意；
D.负数的立方根是负数，原选项判断错误，不合题意．
故选：C
考点类型二、立方根是它本身的有0、1、-1
1.
=，则a 的取值为______________【答案】12或0
【分析】
利用等式的性质将两边变为
66=，得到()()231212a a -=-，再分1-2a =0和1-2a ≠0，两种情况分别求出a 值．
【详解】
，
∴66=，∴()()231212a a -=-，
∴若1-2a =0，即a =1
2，等式成立，
若1-2a ≠0，即a ≠12，
则112a =-，则a =0，
综上：a 的值为12或0，故答案为：12或0．考点类型三、立方根互为相反数
1.
x y +的值．
【答案】1．
【分析】
根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．
【详解】
互为相反数，
∴3x －7＋3y ＋4＝0
∴3（x y+）＝3，
∴x y+＝1．
0，则x的值是（）
A．﹣3B．﹣1C．1
2
【答案】B
【分析】
根据立方根的性质及相反数的性质解题
【详解】
＝0，
故有2x﹣1＝﹣5x﹣8
解之得x＝﹣1，
故选：B．
【点睛】
本题考查立方根、相反数的性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
举一反三
1.
互为相反数，求2a+b的立方根．
【答案】-2
【分析】
互为相反数，可得：8a+15=-（4b+17），据此求出2a+b的值是多少，进而求出2a+b
的立方根是多少即可．
【详解】
互为相反数，
∴8a+15=-（4b+17），
∴8a+4b=-17-15=-32，
∴2a+b=-8，
∴2a+b的立方根是：
．
2.
x
y的值是____．
【答案】1 2
【分析】
，进而得出1120
-+-=
y x，然后用含x的代数式表示y，再代入求值即可．
【详解】
，
∴1120
-+-=
y x
∴2
y x
=
∴
1
=
22
x x
y x=．
故答案为：
1
2
．
知识点三、平方根与立方根的比较关系
关系
名称平方根立方根
区
别
定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，
即x2=a，那么这个数x就叫做a的平
方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即
x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根性质
正数有两个平方根，它们互为相反数正数有一个立方根，仍为正数
负数没有平方根负数有一个立方根，仍为负数表示
方法
()0≥
±a
a3a（a为任意数）联系
①开平方与开立方都与相应的乘方运算互为逆运算
②0的平方根和立方根都是0
考点类型一
1.下列说法中，错误的有（）
①任何数都有算术平方根；②正数的平方根一定是正数；③2a 的算术平方根是a ；④立方根不可能是正数；⑤任何实数都有立方根
A ．①②③④
B ．②③④⑤
C ．①②④⑤
D ．①③④⑤【答案】A
【分析】
根据算术平方根、平方根和立方根的定义分别判断．
【详解】
解：①负数没有算术平方根，故错误；
②正数的平方根为一正一负两个数，故错误；③2a 的算术平方根是a ，故错误；
④立方根可能是正数，故错误；
⑤任何实数都有立方根，故正确；
故选A ．
2.下列各式计算正确的是（）
A
2=±B
1=-C 2
=±D ．3=【答案】B
【分析】
根据算术平方根、平方根和立方根的定义分别判断即可．
【详解】
解：A 2=，故选项错误；
B
1=-，故选项正确；
C 2=
，故选项错误；
D 、3=±，故选项错误；
故选B ．知识点四、两个重要公式
33a a -=-；
a a =33）（。

考点类型一、4个公式的区别
1.下列等式中，正确的是（
）
A
3
=-B ．23=C ．33=-D 3=【答案】C
【分析】
根据开方运算，可得一个数平方根、算术平方根和立方根．
【详解】
解：A 3=，故错误；
B 、2
无意义，故错误；
C 、3
3=-，故正确；
D 3=-，故错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了算术平方根、平方根和立方根，注意开平方的被开方数是非负数．2.
【答案】0或2m ．
【分析】
分m ≥0和m ＜0两种情况进行讨论即可
【详解】
解：（1）当m ≥0m =m =，
2m m m +=．
（2）当m ＜0m =-m =，
0m m -+=．
0或2m ．
举一反三
1.计算：。