高三数学第一轮复习 第二十课时定积分

第20课时 定积分
【考点概述】
“分割、近似求和、取极限”数学思想，弄清定积分的几何意义；会用定积分的几何意义求函数在一个闭区间上的定积分；定积分在物理中的应用
【重点难点】
利用定积分的几何意义求函数在一个闭区间上的定积分
【知识要点】
1.若函数函数f(x)在区间],[b a 上连续，则直线)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的
图形称为曲边梯形
2.定积分定义：
设函数f(x)在闭区间],[b a 上有定义，将区间],[b a 等分成n 个小区间，每个小区间的长度为x x ∆∆(= ）.在每个小区间上取点，依次为n x x x ,,,21 ，作和 =n S .如果x ∆无限趋近于0（即n 趋向于∞+）时，n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数f(x)在区间],[b a 上的定积分，记为S= .其中 称为被积函数， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限。

3.定积分的几何意义
设函数f(x)在区间],[b a 上连续，定积分⎰b
a dx x f )(在几何上表示界于x 轴、曲线
)(x f y =以及直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取 ;在x 轴下方的面积取 .
4.微积分基本定理
若函数f(x)在区间],[b a 上连续，并且)()('x f x F =，那么 .这个结论叫做微积分定理，又称为牛顿-莱布尼兹公式
5.定积分的性质
（1）
⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） （2）
⎰=±b a dx x g x f )]()([ （3）⎰⎰⎰+=c
a b a c
b dx x f dx x f dx x f )()()( )(
c b a << 6.定积分的简单应用（用定积分表示以下图形的面积）
图
像
图1 图2
图3 面积 S=
S= S= 1.
⎰+20)1(dx x x = 2.
dx x ⎰211= 3.
⎰π0
2sin xdx = 4.dx x ⎰--33
29= 5.函数⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤<≤--=)20(cos )01(1)(2πx x x x x f 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为
【例题精讲】
例1.求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形的面积.
例2.设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)('+=x x f
(1)求f(x)的表达式；
(2)求函数图像与两坐标轴所围成的图形的面积；
(3)若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图像与两坐标轴所围成的面积二等分，求t 的值.
例3.设1S 为直线22,,0x y t y x ===所围成的面积；2S 为直线22,,1x y t y x ===所围
成图形的面积（t 为常数）
(1)若0=t ，求2S ；
(2)若)1,0(∈t ，求21S S +的最小值.
【巩固练习】
1.
dx x x )12(212-⎰= 2.
dx x ⎰-21
23= 3.dx x e x )1(21
2+⎰= 4.已知dx x a ax a f )2()(1
022⎰-=，则)(a f 的最大值为
5.已知过原点的直线l 平分抛物线x x x f 6)(2-=与x 轴所围成的封闭区域的面积。

（1）求抛物线)(x f 与x 轴所围成封闭区域的面积S ；
（2）求直线方程.。