∥3套精选试卷∥2018年成都市八年级上学期数学期末达标测试试题

八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列各式运算正确的是（ ）
A ．a 2+a 3=a 5
B ．a 2•a 3=a 6
C ．（a 2）3=a 6
D ．a 0=1 【答案】C
【解析】A. a 2与a 3不是同类项，不能合并，故A 错误；B. a 2•a 3=a 5，故 B 错误；C. （a 2）3=a 6 ，正确；
D. a 0=1，当a ≠0时正确，当a=0时不成立，故D 错误，
故选C.
2．某次列车平均提速vkm/h ，用相同的时间，列车提速前行驶50km ，提速后比提速前多行驶skm ．设提速前列车的平均速度为xkm/h ，则列方程是（ ）
A ．5050s x y x
+=+ B ．5050s x x v +=- C ．5050s x x v +=+ D ．
5050s x v x +=- 【答案】C
【分析】设提速前列车的平均速度为xkm/h ，则提速后速度为（x ＋v ）km/h ，根据题意可得等量关系：提速前行驶50km 所用时间＝提速后行驶（s ＋50）km 所用时间，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h ，则提速后速度为（x+v ）km/h ， 由题意得：
5050s x x v +=+， 故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 3．如果把分式232x x y
-中的x ，y 都乘以3，那么分式的值k （ ） A ．变成3k
B ．不变
C ．变成3k
D ．变成9k
【答案】B 【分析】x,y 都乘以3，再化简得233323x x y -ⅹⅹⅹ=232x x y
-. 【详解】233323x x y -ⅹⅹⅹ=232x x y
-=k. 所以，分式的值不变.
故选B
【点睛】
本题考核知识点：分式的性质. 解题关键点：熟记分式基本性质.
4．化简－5a·(2a 2－ab)，结果正确的是( )
A ．－10a 3－5ab
B ．－10a 3－5a 2b
C ．－10a 2＋5a 2b
D ．－10a 3＋5a 2b
【答案】D
【解析】试题分析：根据单项式乘以多项式的计算法则进行计算，原式=32105a a b -+，故选D ． 5．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h 与注水时间t 之间的函数关系图象可能是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【详解】开始一段时间内，乙不进行水，当甲的水到过连接处时，乙开始进水，此时水面开始上升，速度较快，水到达连接的地方，水面上升比较慢，最后水面持平后继续上升，
故选D ．
6．已知1181a =，2127b =，319c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．a b c <<
D ．b c a >> 【答案】D
【分析】根据幂的运算法则,把各数化为同底数幂进行比较.
【详解】因为()14
441113831a ===,()136********b ===,()3123162933c ===
所以b c a >>
故选:D
【点睛】
考核知识点:幂的乘方.逆用幂的乘方公式是关键.
73x ＝2，则x 的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．﹣4
D ．﹣5 【答案】B
【分析】根据立方根的定义，解答即可． 3x ＝2，
∴x＝23＝1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查立方根的定义，掌握“若3x=a，则a3=x”是解题的关键．
8．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
BD=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BA，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
∴②正确；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∴③正确；
④因为BD是△ABC的角平分线，且BA>BC,所以D不可能是AC的中点，则AC≠2CD，
故④错误.
故选：C.
【点睛】
此题考查角平分线定理，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键.
9．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm （1μm=0.000001m ）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们
含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm 用科学记数法可表示为（ ）
A ．52.510m -⨯
B ．70.2510m -⨯
C ．62.510m -⨯
D ．52510m -⨯
【答案】C
【解析】试题分析：大于0而小于1的数用科学计数法表示，10的指数是负整数，其绝对值等于第一个不是0的数字前所有0的个数．
考点：用科学计数法计数
10．把半径为0.5m 的地球仪的半径增大0.5m ，其赤道长度的增加量记为X ，把地球的半径也增加0.5m ，其赤道长度的增加量记为Y ，那么X 、Y 的大小关系是（ ）
A ．X ＞Y
B ．X ＜Y
C ．X ＝Y
D ．X+2π＝Y 【答案】C
【分析】根据圆的周长公式分别计算长X ，Y 比较即可得到结论．
【详解】解：∵地球仪的半径为0.5米，
∴X ＝2×（0.5+0.5）π﹣2×0.5π＝πm ．
设地球的半径是r 米，可得增加后，圆的半径是（r+0.5）米，
∴Y ＝2（r+0.5）π﹣2πr ＝πm ，
∴X ＝Y ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，正确的理解题意是解题的关键．
二、填空题
11．如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为_____．
【答案】1
【解析】试题分析：由垂线段最短可知，当PQ 与OM 垂直的时候，PQ 的值最小，根据角平分线的性质可知，此时PA=PQ=1．
故答案为1．
考点：角平分线的性质；垂线段最短．
12．比较大小：51-_________12（填“＞”或“＜”） 【答案】＞
【解析】因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算5的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．
【详解】∵52>，∴5-1＞1，∴
5112
-＞． 故答案为：＞．
【点睛】
本题考查了实数大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n 次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．
13．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC= 60°，∠BAC 的平分线AD 长为8cm ，则BC=__________
【答案】12cm
【分析】因为AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC ＝60°，在Rt △ACD 中，可利用勾股定理求得DC ，进一步求得AC ；求得∠ABC ＝30°，在Rt △ABC 中，可求得AB ，最后利用勾股定理求出BC ．
【详解】∵AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC ＝60°，
∴∠DAC ＝30°，
∴DC ＝
12AD ＝4cm ， ∴AC 22AD DC -3
∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝60°，
∴∠ABC ＝30°，
∴AB ＝2AC ＝3
∴BC＝22
-＝12cm．
AB AC
故答案为：12cm．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
14．将一副三角板如图叠放，则图中∠AOB的度数为_____．
【答案】15︒
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】
由三角形的外角的性质可知，∠AOB=∠CAO-∠B=60°-45°=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．15．到点P的距离等于4cm的点的轨迹是_____．
【答案】以P为圆心4cm长为半径的圆
【分析】根据到定点的距离等于定长的点都在圆上，反过来圆上各点到定点的距离等于定长，得出结论到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．
【详解】到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．
故答案为：以P为圆心，以4cm为半径的圆．
【点睛】
本题考查了学生的理解能力和画图能力，到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．
16．若a﹣b＝6，ab＝2，则a2+b2＝_____．
【答案】40
【分析】将代数式化成用（a-b）与ab表示的形式，然后把已知代入即可求解．
【详解】a 2+b 22222a ab b ab =-++
()2
2a b ab =-+
把a ﹣b ＝6，ab ＝2整体代入得：
原式262240=+⨯=
故答案是：40
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握公式及公式的变形是解题的关键．
17．已知2249x kxy y ++是一个完全平方式，则k 的值是_________________．
【答案】12或－12.
【分析】利用完全平方式的特征（形如222a ab b ±+的式子即为完全平方式）即可确定k 的值.
【详解】解：因为2249x kxy y ++是一个完全平方式，
所以①2222249(23)4129x kxy y x y x xy y ++=+=++，即12k =；
②2222249(23)4129x kxy y x y x xy y ++=-=-+，即12k =-，
所以k 的值是12或－12.
故答案为：12或－12.
【点睛】
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的概念是解题的关键，解题时注意分类讨论.
三、解答题
18．如图，AD 是△ABC 的外角平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，求∠C 的度数．
【答案】85°
【解析】试题分析：先根据AD 是△ABC 的外角∠CAE 的角平分线，∠DAE=60°求出∠CAE 的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
试题解析：
∵AD 平分∠CAE ，
∴∠DAE=∠CDA=60°
∴∠CAE=120°
∵∠CAE=∠B+∠C
∴∠C=∠CAE －∠B=120°－35°=85°．
19．一支园林队进行某区域的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该队工程师的一段对话：
如果每人每小时绿化面积相同，请通过这段对话，求每人每小时的绿化面积．
【答案】每人每小时的绿化面积为2.5平方米．
【分析】设每人每小时的绿化面积为x 平方米．根据对话内容列出方程并解答．
【详解】解：设每人每小时的绿化面积为x 平方米． 根据题意，得18018036(62)x x
-=+， 方程两边乘以24x ，得1804180372x ⨯-⨯=，
解得 2.5x =，
检验：当 2.5x =时，24600x =≠，
所以，原分式方程的解为 2.5x =，
答：每人每小时的绿化面积为2.5平方米．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解即可．
20．已知：如图，点,,,A D C B 在同一条直线上，,,.AD BC AE BF CE DF ===求证：DE CF =
【答案】见解析
【分析】先根据SSS 证明△ACE ≌△BDF ，得出∠A=∠B ，即可得出DF ∥BC ，再由SAS 求证△ADE ≌△BCF 即可．
【详解】∵AD=BC ，
∴AD+CD=BC+CD ，
∴AC=BD ，
又AE=BF ，CE=DF ，
∴△ACE ≌△BDF （SSS ）
∴∠A=∠B ，
在△ADE 和△BCF 中，
AD BC A B AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△BCF （SAS ），
∴DE=CF ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，关键是SSS 证明△ACE ≌△BDF ．
21．解方程组或计算：
（1）解二元一次方程组：4123x y y x -=⎧⎨=+⎩
； （2）计算：
2）2
﹣1）
+1）．
【答案】（1）27x y =⎧⎨=⎩
；（2）
【分析】（1）先利用加减消元法消去y 得到关于x 的一次方程，把解得的x 的值代入②计算出y 的值，从而得到方程组的解；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算．
【详解】解：（1）4123x y y x -=⎧⎨=+⎩
①②， ①+②得4x ＝1+2x+3，
解得x ＝2，
把x ＝2代入②得y ＝4+3＝7，
所以方程组的解为27x y =⎧⎨=⎩
； （2）原式＝
﹣（2﹣1）
＝
1
＝
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了解二元一次方程组．
22．如图，把△ABC 放置在每个小正方形边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，建立适当的平面直角坐标系xOy ，使点A （1，4），△ABC 与△A'B'C'关于y 轴对称．
（1）画出该平面直角坐标系与△A'B'C'；
（2）在y 轴上找点P ，使PC+PB'的值最小，求点P 的坐标与PC+PB'的最小值．
【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析，点P 的坐标为（0，1），PC+PB'的最小值为25．
【分析】（1）根据点A 的坐标找到坐标原点并建立坐标系，然后分别找到A 、B 、C 关于y 轴的对称点A'、B'、C' ，连接A'B'、B'C' 、A'C'即可；
（2）直接利用轴对称求最短路线的方法、利用待定系数法求一次函数的解析式以及勾股定理得出答案．
【详解】解：（1）根据点A 的坐标找到坐标原点并建立坐标系，然后分别找到A 、B 、C 关于y 轴的对称点A'、B'、C' ，连接A'B'、B'C' 、A'C'，如图所示：△A'B'C'即为所求；
（2）如图所示：BC 与y 轴交于点P ，根据对称的性质可得PB= PB'
∴PC+PB'=PC ＋PB=BC ，根据两点之间线段最短，此时PC+PB'最小，且最小值即为BC 的长
设直线BC 的解析式为y=kx ＋b
将B 、C 坐标代入，得
0222k b k b =-+⎧⎨=+⎩
解得：
1
2
1 k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
∴直线BC的解析式为
1
1
2
y x
=+
当x=0时，y=1
∴点P的坐标为：（0，1），
PC+PB'的最小值为：22
24
+=25．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换、利用待定系数法求一次函数的解析式以及勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键．
23．（1）4﹣（﹣1）2017+327
-﹣|1﹣2|
（2）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，求点C坐标．
【答案】（1）12（2）C坐标为（﹣1，0）
【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算；
（2）根据勾股定理求出AB，根据坐标与图形性质解答．
【详解】解：（141）2017327
-﹣12
＝21321
+-
＝12；
（2）由勾股定理得，AB22
00
A B
+22
34
+5，
则OC＝AC﹣OA＝1，
则点C坐标为（﹣1，0）．
【点睛】
本题考查的是实数的混合运算、勾股定理，掌握实数的混合运算法则、勾股定理是解题的关键．24．如图，点F C
、在BD上，//
AB DE，,
A E BF DC
∠=∠=.求证：ABC EDF
∆≅∆.
【答案】见解析
【分析】由BF=DC 得出BC=DF ，由//AB DE 得出∠B=∠D ，结合∠A=∠E 即可证出ABC EDF ∆≅∆.
【详解】解：证明：
∵BF=DC ，即BC+CF=DF+FC ，
∴BC=DF ，
∵AB ∥DE ，
∴∠B=∠D ，
在△ABC 和△EDF 中，
A E
B D B
C DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EDF （AAS ）.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应角相等，两直线平行，内错角相等．
25．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起，路板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑话欢嬉，良工高师素好奇，算出索长有几？”翻译成现代文的大意是:如图.秋千静挂时，踏板A 离地的高度是1尺，现在兑出两步(两步算作10尺，故10EB =尺）的水平距离到B 的位置，有人记录踏板离地的高度为5尺.仕女佳人争着荡秋千，一整天都欢声笑语，工匠师傅们好奇的是秋千绳索有多长呢﹖请你来解答工匠师傅们的困惑，求出秋千绳索OA 的长度
.
【答案】秋千绳索长14.1尺
【分析】设秋千绳索长为x ，由题意易得OA=OB ，BD=1，则AE=4，进而OE=x-4，最后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：设秋千绳索长为x ，由题意得OA=OB=x ，BD=1，△OEB 是直角三角形，
AC=1，
∴AE=4，
∴OE=x-4，
10EB =，
∴在Rt △OEB 中，222OE EB OB +=，即()2
22410x x -+=
解得：14.5x =， ∴OA=14.1．
答：秋千绳索长14.1尺．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A ．2cm 、2cm 、4cm
B ．2cm 、6cm 、3cm
C ．8cm 、6cm 、3cm
D ．11cm 、4cm 、6cm 【答案】C
【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
【详解】A. ∵2+2=4，∴ 2cm 、2cm 、4cm 不能组成三角形，故不符合题意；
B. ∵2+3<6，∴2cm 、6cm 、3cm 不能组成三角形，故不符合题意；
C. ∵3+6>8，∴8cm 、6cm 、3cm 能组成三角形，故符合题意；
D. ∵4+6<11，∴11cm 、4cm 、6cm 不能组成三角形，故不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.
2．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A ．()2983(3)8x x x x x -+=+-+
B ．()2
4444x x x x -+=-+ C ．()-=-ax ay a x y
D ．2(32)(32)49a a a ---=-
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义即可得． 【详解】A 、()2
983(3)8x x x x x -+=+-+不是因式分解，此项不符题意； B 、()2
4444x x x x -+=-+不是因式分解，此项不符题意； C 、()-=-ax ay a x y 是因式分解，此项符合题意；
D 、2(32)(32)49a a a ---=-不是因式分解，此项不符题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．
3
=x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2
B ．x ≥0
C ．x ≥2
D ．x ＞2
【答案】D
【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x 的取值范围即可．
【详解】由题意可得：020
x x ≥⎧⎨
-⎩＞，解得：x ＞1． 故选D ．
【点睛】 二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．
4．若15a =，则实数a 在数轴上对应的点的大致位置是（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】B
【分析】根据无理数的估算，估算出a 的取值范围即可得答案. 91516
∴15，
∴3<a<4， 故选B.
【点睛】
15. 5．如果分式方程244x a x x
=+--无解，则a 的值为（ ） A ．-4
B ．12
C ．2
D ．-2
【答案】A 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于1．
【详解】去分母得x=8+a ，
当分母x-2=1时方程无解，解x-2=1得x=2时方程无解．
则a 的值是-2．故选A ．
【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容.
6．在
920，5.55，2π，133-，0.232233222333…，0.16-，1233827 ） A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】D
【解析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】920，5.55， 133-，0.16-=0.4-，123，3827=23
为有理数， 无理数有：
2π，0.232233222333，共2个，
故选：D ．
【点睛】 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：2ππ，等；开方开不尽的数；以及像0.232233222333等有这样规律的数．
7．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）
① ② ③
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】A
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．
【详解】解：①作一个角的平分线的作法正确；
②作一个角等于已知角的方法正确；
③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
8．如图，是一高为2m ，宽为1.5m 的门框，李师傳有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m ，宽2.7m ；②号木板长2.8m ，宽2.8m ；③号木板长4m ，宽2.4m ．可以从这扇门通过的木板是（ ）
A ．①号
B ．②号
C ．③号
D ．均不能通过
【答案】C
【分析】根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可．
【详解】解：如图，由勾股定理可得： 224 2.25 2.5,EF OF OE =+=+=
所以此门通过的木板最长为2.5m ， 所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选③号木板． 故选C .
【点睛】
本题考查的是勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的应用，理解题意是解题的关键.
9．要说明命题“若 a > b ，则 a >b ”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A ．3,2a b ==
B ．4,1a b ==-
C ．1,0a b ==
D ．1,2a b ==-
【答案】D
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
【详解】解：A 、a=3，b=2，满足a ＞b ，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
B 、a=4，b=-1，满足a ＞b ，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
C 、a=1，b=0；满足a ＞b ，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
D 、a=-1，b=-2，满足a ＞b ，但不满足|a|＞|b|，∴a=-1，b=-2能作为证明原命题是假命题的反例， 故选D ．
【点睛】
本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以．
10．①实数和数轴上的点一一对应．②不带根号的数一定是有理数．③一个数的立方根是它本身，这样的811．其中真命题有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】A
【分析】根据数轴的性质与实数的性质及二次根式的性质依次判断即可.
【详解】实数和数轴上的点一一对应，①是真命题；
不带根号的数不一定是有理数，例如π是无理数，②是假命题；
一个数的立方根是它本身，这样的数有±1，0，共3个，③是假命题；
81的算术平方根是3，④是假命题；
综上所述，只有一个真命题，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判断，熟练掌握各章节的相关概念是解题关键.
二、填空题
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；
再分别以点B和点D为圆心，大于1
2
BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则
AF的长为_____．
【答案】1；
【解析】分析：根据辅助线做法得出CF⊥AB，然后根据含有30°角的直角三角形得出AB和BF的长度，从而得出AF的长度．
详解：∵根据作图法则可得：CF⊥AB，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，∵∠CFB=90°，∠B=10°，∴BF=1
2
BC=2，
∴AF=AB－BF=8－2=1．
点睛：本题主要考查的是含有30°角的直角三角形的性质，属于基础题型．解题的关键就是根据作图法则得出直角三角形．
12．三角形两边的中垂线的交点到三个顶点的距离的大小关系是_____．
【答案】相等
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，AP＝CP，即可得出答案．
【详解】解：相等，
理由是：
∵P是线段AB和线段AC的垂直平分线的交点，
∴AP＝BP，AP＝CP，
∴AP＝BP＝CP，
即三角形两边的中垂线的交点到三个顶点的距离的大小关系是相等，
故答案为：相等．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．如图，等边ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点F 处，且点F 在ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________cm .
【答案】3
【分析】根据折叠的性质可得DF AD =，EF AE =，则阴影部分图形的周长即可转化为等边ABC 的周长.
【详解】解：由折叠性质可得DF AD =，EF AE =，
所以()()=3C BD DF CE EF BC AB AC BC cm ++++=++=阴影.
故答案为：3.
【点睛】
本题结合图形的周长考查了折叠的性质，观察图形，熟练掌握折叠的性质是解答关键.
14．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=25°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△DEC 的位置，点B 恰好在边DE 上，则∠θ=_____度．
【答案】1．
【解析】根据三角形内角和定理求出∠ABC ，根据旋转变换的性质得到∠E=∠ABC=65°，CE=CB ， ∠ECB=∠DCA ，计算即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ABC=65°，
由旋转的性质可知，∠E=∠ABC=65°，CE=CB ，∠ECB=∠DCA ，
∴∠ECB=1°，
∴∠θ=1°，
故答案为1．
【点睛】
本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键．
15．函数11y x =-的自变量的取值范围是． 【答案】x≠1 【解析】该题考查分式方程的有关概念
根据分式的分母不为0可得
X －1≠0,即x≠1
那么函数y=
的自变量的取值范围是x≠1 16．若13x x +
=，则221x x +=___． 【答案】7
【分析】利用完全平方公式对已知变形为22129x x ++
=，即可求解． 【详解】∵13x x +
=， ∴2213x x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，即22129x x ++=， ∴2217x x
+=， 故答案为：7．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式对已知变形是解题的关键．
17．已知点
，点是直线上的一个动点，当以为顶点的三角形面积是3时，点的坐标
为_____________.
【答案】（4，3）或（-4，-3）
【解析】依据点P是直线y=x上的一个动点，可设P（x，x），再根据以A，O，P为顶点的三角形面积是3，即可得到x的值，进而得出点P的坐标．
【详解】∵点P是直线y=x上的一个动点，
∴可设P（x，x），
∵以A，O，P为顶点的三角形面积是3，
∴×AO×|x|=3，
即×2×|x|=3，
解得x=±4，
∴P（4，3）或（-4，-3），
故答案是：（4，3）或（-4，-3）．
【点睛】
考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．三、解答题
18．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，慢车的速度是快车速度的1
2
，两车同时出发．设
慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．
根据图象解决以下问题：
（1）甲、乙两地之间的距离为km；D点的坐标为；
（2）求线段BC的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若第二列快车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车追上慢车．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
【答案】（1）1200，D（11，1200）；（2）y=240x-1200（1≤x≤7.1）；（3）2.71小时．
【解析】（1）由题意直接根据图象即可得出答案；
（2）设慢车速度为a千米/小时，快车速度为2a千米/小时，根据题意建立方程并求解，再设BC的表达式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出BC的表达式，注意写出自变量x的取值范围；
（3）根据题意分别求出慢车行驶了1.1小时被第二辆快车追上，此时慢车行驶的路程以及第二辆快车行驶的路程也是440千米，第二辆快车追上慢车所需时间从而进行分析.
【详解】解：（1）根据图象可知甲、乙两地之间的距离为1200km，D的坐标为（11，1200）；
（2）设慢车速度为a千米/小时，
快车速度为2a 千米/小时，根据题意得：
1（a+2a ）=1200
解得：a=80， 2a=160，
因此慢车速度为80千米/小时，
快车速度为160千米/小时．
1200÷160=7.1
快车7.1小时到达乙地．
此时慢车与快车的距离为：7.1×80=600，C 点坐标为（7.1，600）
设BC 的表达式为y=kx+b ，那么
507.5600k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2401200
k b =⎧⎨=-⎩， ∴BC 的表达式为：y=240x-1200（1≤x≤7.1）；
（3）根据题意：慢车行驶了1.1小时被第二辆快车追上，此时慢车行驶的路程80×1.1=440， 第二辆快车行驶的路程也是440千米，第二辆快车追上慢车所需时间为：440÷160=2.71，
1．1-2.71=2.71
由于第一辆快车与慢车同时出发，所以第二辆快车比第一辆快车晚出发2.71小时．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解此题的关键是能根据题意得出关系式，即把实际问题转化成数学式子来表示出来，题目综合比较强，有一定难度．
19．已知，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，如图，点D 为BC 上的点，若AD BC ⊥．
（1）当55B ∠=︒时，求CAD ∠的度数；
（2）当5,3BC AB ==时，求AD 的长；
（3）当45B ∠=︒，4BD =时，求ABC S ∆．
【答案】（1）∠CAD ＝55°；（2）125
AD = ；（3）S △ABC ＝16 【分析】（1）通过同角的余角相等，解得55CAD B ==︒∠∠；
（2）通过勾股定理求出AC 的长，再利用三角形的面积公式求出AD 的长；
（3）通过等腰直角三角形的性质求出BC 和AD 的长度，即可求出△ABC 的面积．
【详解】（1）∵90BAC ∠=︒
∴90B C ∠+∠=︒
∵AD BC ⊥
∴90ADC ∠=︒
∴90C CAD ∠+∠=︒
∴55CAD B ==︒∠∠
（2）∵90BAC ∠=︒
∴在t R ABC 中，根据勾股定理得 2222534AC BC AB =-=-=
∵AD BC ⊥
∴1122
ABC S AB AC AD BC =
⨯⨯=⨯⨯△ ∴1134522
AD ⨯⨯=⨯⨯ 解得125AD = （3）∵45B ∠=︒，90BAC ∠=︒
∴45C B ∠=∠=︒
∴ABC 是等腰直角三角形
∵AD BC ⊥
∴AD 垂直平分BC ，45B BAD ==︒∠∠
∴4CD BD AD === ，
∴8BC CD BD =+=
11841622
ABC BC A S D =⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握同角的余角相等、勾股定理以及三角形的面积公式是解题的关键． 20．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．
(1)求作∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于E ，F 两点；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)证明：AE=AF ．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作BF平分∠ABC即可；
(2)分析题意，首先根据角平分线的作法作出∠ABC的角平分线，并标注点E、F即可；根据直角三角形的性质，可得出∠BED+∠EBD=90°，∠AFE+∠ABF=90°，进而得出∠BED=∠AFE；接下来根据对顶角相等，可得出∠AEF=∠AFE，据此可得到结论.
【详解】解：(1)如图所示，射线BF即为所求
(2)证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∴∠BED+∠EBD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠AFE+∠ABF=90°
∵∠EBD=∠ABF
∴∠AFE=∠BED，
∵∠AEF=∠BED
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF
【点睛】
此题考查作图—基本作图，解题关键在于根据题意作出图形.
21．解方程：
（1）
37
31 x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-⎩
（2）
1
2
3
25 x y
x y
⎧
-=⎪
⎨
⎪+=-⎩
【答案】（1）
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；（2）
1
3
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
【分析】（1）把①×3+②消去y，求出x的值，再把x的值代入①求出y的值即可；（2）用②-①消去x，求出y的值，，再把y的值代入②求出x的值即可．
【详解】（1）
37
31
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
①
②
，
①×3+②，得
10x=20，
∴x=2，
把x=2代入①，得6+y=7，
∴y=1，
∴
2
1 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；
（2）1
2 3
25
x y
x y
⎧
-=
⎪
⎨
⎪+=-
⎩
①
②
，
②-①，得
1
27
3
y y
+=-，
y=-3，
把y的值代入②，得
x-6=-5，
x=1，
∴
1
3
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
．
【点睛】
本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．
22．（背景知识）研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点()
,
A A
A x y、()
,
B B
B x y，则线段AB的中点坐标可以表示为,.
22
A B A B
x x y y
++
⎛⎫
⎪
⎝⎭
（简单应用）如图1，直线AB与y轴交于点()
0,3
A，与x轴交于点()
4,0
B，过原点O的直线L将ABO
分成面积相等的两部分，请求出直线L 的解析式；
（探究升级）小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”
如图2，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，.ABD BCD S S =试说明AO CO =；
（综合运用）如图3，在平面直角坐标系中()1,4A ，()3,2B -，()2,5C m m -+，若OC 恰好平分四边形OACB 的面积，求点C 的坐标．
【答案】 [简单应用]34y x =；[探究升级]AF CG =；[综合运用]55,.2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】简单应用:先判断出直线L 过线段AB 的中点，再求出线段AB 的中点，最后用待定系数法即可得出结论；
探究升级:先判断出AF CG =，进而判断出AOF ≌COG ，即可得出结论；
综合运用:借助“探究升级”的结论判断出直线OC 过线段AB 的中点，进而求出直线OC 的解析式，最后将点C 坐标代入即可得出结论．
【详解】解：简单应用：
直线L 将ABO 分成面积相等的两部分，
∴直线L 必过相等AB 的中点，
设线段AB 的中点为E ，
()0,3A ，()4,0B ，
4030,22E ++⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
， 32,2E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
， 直线L 过原点，
∴设直线L 的解析式为y kx =，
322k ∴=
， 34
k ∴=， ∴直线L 的解析式为34y x =
； 探究升级：
如图2，。