高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆0065 43

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．2
3
-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或1>a
B ．2
3<
a C ．13<<-a 或2
3
>
a D ．3-<a 或231<<a
2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．53-
或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或3
4
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，
PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=
k （ ）
A. 3
B.
2
21
C. 22
D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：
222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
（ ）
A.（1，3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线
30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【热点题型】
题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值
例1、(1)已知x<54，求f(x)＝4x －2＋1
4x －5的最大值；
(2)已知x 为正实数且x2＋y2
2＝1，求x 1＋y2的最大值； (3)求函数y ＝x －1
x ＋3＋x －1的最大值．
【提分秘籍】
(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
【举一反三】
(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23
(2)若函数f(x)＝x ＋1
x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )
A ．1＋2
B ．1＋3
C ．3
D ．4
题型二 通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值
例2、(1)已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2
y 的最小值为________． (2)已知x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【提分秘籍】
条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式
子，然后利用基本不等式求解最值．
【举一反三】
(1)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1
y ＝1，并且x ＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2)
(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 题型三 基本不等式与函数的综合应用
例3、(1)已知f(x)＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1) (2)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋11
x ＋1
(a ∈R)，若对于任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，则a 的取值范围是
________．
【提分秘籍】
(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max ， a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min ；
(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性． 【举一反三】 已知函数f(x)＝x ＋p
x －1
(p 为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．
题型四基本不等式的实际应用
例4、某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400 元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．
【提分秘籍】
对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值．
【举一反三】
(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8
天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p ＋q
2%，若p>q>0，则提价多的方案是________．
【高考风向标】
1.【高考湖南，文7】若实数,a b 满足
12
ab a b
+=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、4
2b a =ab 2.【高考重庆，文14】设,0,5a b a b ,则1++3a b 的最大值为________.
3.【高考福建，文5】若直线1(0,0)x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
4．（·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a2－2ab ＋4b2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3
a －4
b ＋5
c 的最小值为________．
5．（·山东卷）若⎝⎛⎭⎫ax2＋b x 6
的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________． 6．(·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )
A ．80元
B ．120元
C ．160元
D ．240元
7．(·重庆卷)若log4(3a ＋4b)＝log2ab ，则a ＋b 的最小值是________．
8．（·四川卷）已知F 为抛物线y2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是()
A ．2
B ．3 C.172
8 D.10
9．(高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当z
xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为()
A ．0 B.98 C ．2 D.9
4
10．（·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为() A ．9 B.92 C ．3 D.3 22 【高考押题】
1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x2＋1
4)>lgx(x>0) B ．sinx ＋1
sinx ≥2(x≠kπ，k ∈Z) C ．x2＋1≥2|x|(x ∈R) D.1x2＋1
>1(x ∈R) 2．若a>0，b>0，且ln(a ＋b)＝0，则1a ＋1
b 的最小值是( ) A.1
4B ．1C ．4D ．8
3．已知x>0，y>0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.2
2B ．22C.2D ．2
4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a<b)，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a<v<abB ．v ＝ab C.ab<v<a ＋b 2D ．v ＝a ＋b
2
5．设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0.则当z
xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0B.98C ．2D.94 6．若对于任意x>0，
x
x2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
7．设x ，y ∈R ，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1
x2＋4y2)的最小值为________．
8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．
9．(1)当x<32时，求函数y ＝x ＋8
2x －3的最大值；
(2)设0<x<2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值．
10．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁
栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
高考模拟复习试卷试题模拟卷
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【考情解读】
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
【重点知识梳理】
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ． cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ． tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sinαcosα．
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． ta n 2α＝2tan α1－tan2α．
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)． (2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2． (3)1＋sin 2α＝(sinα＋cosα)2， 1－sin 2α＝(sinα－cosα)2，
sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α±π4.
4．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)⎝⎛⎭
⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝
a2＋b2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝a b . 【高频考点突破】
考点一 三角函数式的化简与给角求值
【例1】 (1)已知α∈(0，π)，化简：
（1＋sin α＋cos α）·（cos α2－sin α
2）
2＋2cos α＝________．
(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°＝______．
【答案】(1)cos α (2)6 【规律方法】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．
【变式探究】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.
2＋3
2
C. 3 D ．22－1
(2)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1
2cos 2αcos 2β＝________．
【答案】(1)C (2)1
2
考点二 三角函数的给值求值、给值求角
【例2】 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭
⎫α2－β＝2
3，
求cos(α＋β)的值；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7，求2α－β的值．
【规律方法】
(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭
⎫α2－β；
(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切
函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝
⎛⎭
⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围
是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭
⎫－π2，π2，选正弦较好．
【变式探究】 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π
2， (1)求tan 2α的值； (2)求β.
考点三 三角变换的简单应用
【例3】 (·广东卷)已知函数f(x)＝Asin ⎝
⎛⎭
⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭
⎫5π12＝3
2.
(1)求A 的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭
⎫3π4－θ.
【规律方法】
解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．
【变式探究】 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭
⎫3x ＋π4.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
【真题感悟】
【高考重庆，文6】若1
1
tan ,tan()
3
2
,则tan =（） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56
【答案】A
【高考上海，文1】函数x x f 2
sin 31)(-=的最小正周期为.
【答案】π
【高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值； （2）求
2sin 2sin sin cos cos 21
α
αααα+--的值．
【答案】（1）3-；（2）1．
1．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A ．l1⊥l4
B ．l1∥l4
C ．l1与l4既不垂直也不平行
D ．l1与l4的位置关系不确定 【答案】D
2． (·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π
12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
3.(·湖南卷) 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π
3，
∠BEC＝π
3.
(1)求sin∠CED的值；
(2)求BE的长．
图1-4
4．(·江西卷) 已知函数f(x)＝(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭
⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；
(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π3的值．
5．(·全国卷) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3acos C ＝2ccos A ，tan A ＝13，求B.
6．(·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．
【答案】1
7．(·山东卷) △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝
6
3，B＝A＋
π
2.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
8．(·四川卷) 如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于()
图1-3
A ．240(3－1)m
B ．180(2－1)m
C ．120(3－1)m
D ．30(3＋1)m 【答案】C
9．(·四川卷) 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
10．(·重庆卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝5
2，求cos C 的值；
(2)若sin Acos2B 2＋si n Bcos2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝9
2sin C ，求a 和b 的值．
【押题专练】
1．若tan θ＝3，则sin 2θ
1＋cos 2θ＝
( )
A. 3 B ．－3 C.33
D ．－3
3
【答案】A
2．已知sin α＋cos α＝13，则sin2⎝⎛⎭
⎫π4－α＝ ( )
A.1
18 B.1718 C.89
D.29
【答案】B
3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于 ( )
A ．7
B.17
C ．－1
7
D ．－7
【答案】B
4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－10
10，α，β均为锐角，则角β等于 ( ) A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
【答案】C
6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A·tan B ，则C 等于 ( ) A.π3
B.2π3
C.π6
D.π4
【答案】A
7．cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝
( )
A ．－1
8 B ．－116 C.116
D.18
【答案】A
8．设f(x)＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭
⎫π2－x
＋sin x ＋a2sin
⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________．
【答案】±3
9．若sin ⎝⎛⎭
⎫π2＋θ＝3
5，则cos 2θ＝________．
【答案】－7
25
10．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭
⎫2x －π4－22sin2x 的最小正周期是________．
【答案】π
11．已知cos4α－sin4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭
⎫2α＋π3＝________．
【答案】2－15
6
12．已知α∈⎝⎛⎭
⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭
⎫π2，π，求cos β的值．
13．已知函数f(x)＝cos2x ＋sin xcos x ，x ∈R.
(1)求f ⎝⎛⎭
⎫π6的值；
(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭
⎫α2＋π24.
高考模拟复习试卷试题模拟卷。