2019-2020学年新人教A版必修一 已知三角函数值求角 教案

【例1】 已知sin x ＝
32
. (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2时，求x 的取值集合； (2)当x ∈[0,2π]时，求x 的取值集合； (3)当x ∈R 时，求x 的取值集合．
[思路探究] 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．
[解] (1)∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，且sin π3＝32，∴x ＝π3，∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫π3是所
求集合．
(2)∵sin x ＝
32＞0，∴x 为第一或第二象限的角，且sin π3＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π－π3＝32，
∴在[0,2π]上符合条件的角有x ＝π3或x ＝2
3
π，
∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
π3
，2π3.
(3)当x ∈R 时，x 的取值集合为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝2k π＋π3，或x ＝2k π＋2π
3，k ∈Z .
1．给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用． 2．对于已知正弦值求角有如下规律：
1．已知sin α＝5，根据所给范围求角α.
(1)α为锐角；(2)α∈R .
[解] (1)由于sin α＝35，且α为锐角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
所以α＝arcsin 3
5
.
(2)由于sin α＝35，且α∈R ，所以符合条件的所有角为α1＝2k π＋arcsin 3
5
(k ∈Z )，
α2＝2k π＋π－arcsin 35
(k ∈Z )，
即α＝n π＋(－1)n
arcsin 35
(n ∈Z ).
已知余弦值求角
【例2】 已知cos x ＝－3，
(1)当x ∈[0，π]时，求值x ； (2)当x ∈R 时，求x 的取值集合．
[思路探究] 解答本题可先求出定义arccos a 的范围的角x ，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x 的集合．
[解] (1)∵cos x ＝－1
3
且x ∈[0，π]，
∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13. (2)当x ∈R 时，先求出x 在[0,2π]上的解． ∵cos x ＝－1
3
，故x 是第二或第三象限角．
由(1)知x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13是第二象限角， 又cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2π－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－13，
且2π－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π，
所以，由余弦函数的周期性知，
当x ＝arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＋2k π或
x ＝2π－arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13
＋2k π(k ∈Z )时，
cos x ＝－1
3
，即所求x 值的集合是
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝2k π±arcco s ⎝ ⎛⎭⎪
⎫－13，k ∈Z .
cos x ＝a (－1≤a ≤1)，当x ∈[0，π]时，则x ＝arccos a ，当x ∈R 时，可先求得[0，2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x |x ＝2k π±arccos a ，k ∈Z }.
2．已知cos x ＝－
2
2
且x ∈[0,2π)，求x 的取值集合． [解] 由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x 是第二或第三象限的角，由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－cos
π4＝－22，所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x ＝π－π4＝3π
4
.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π＝－cos π4＝－22，所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x ＝π4＋π
＝5π
4
. 故所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
3π4
，5π4.
已知正切值求角
(1)若α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，求角α；
(2)若α∈R ，求角α.
[思路探究] 尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解．
[解] (1)由正切函数在开区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan(－3)．
(2)α＝k π＋arctan(－3)(k ∈Z )．
1．已知角的正切值求角，可先求出⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内的角，再由y ＝tan x 的周期性表示所给范围内的角．
2．tan α＝a ，a ∈R 的解集为{α|α＝k π＋arctan a ，k ∈Z }． 3．已知tan x ＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x . [解] ∵tan x ＝－1＜0， ∴x 是第二或第四象限的角． 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4＝－1可知， 所求符合条件的第四象限角为x ＝－π
4
.
又由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54π＝－tan π4＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x ＝－54π， ∴在[－2π，0]内满足条件的角是－π4与－5π
4
.
三角方程的求解
1．已知角x 的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？
[提示] 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个．
2．怎样求解三角方程？
[提示] 明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a 或arccos a 或arctan a 表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角．
【例4】 若cos x ＝cos π
7
，求x 的值．
[思路探究] 先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角． [解] 在同一个周期[－π，π]内， 满足cos x ＝cos π7的角有两个：π7和－π
7
.
又y ＝cos x 的周期为2π，所以满足cos x ＝cos π7的x 为2k π±π
7(k ∈Z )．
已知三角函数值求角的大致步骤： (1)由三角函数值的符号确定角的象限； (2)求出[0，2π)上的角；
(3)根据终边相同的角写出所有的角. 4．已知sin x ＝
2
2
，且x ∈[0,2π]，则x 的取值集合为________． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4
，3π4 [∵x ∈[0,2π]，且sin x ＝22＞0，
∴x ∈(0，π)，当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，
y ＝sin x 递增且sin π4
＝
22
， ∴x ＝π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝sin 3π4＝22， ∴x ＝3π
4
也适合题意．
∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
π4
，3π4.]
(教师用书独具)
1．反正弦、反余弦、反正切的记法与取值范围
2.一、定象限，二、找锐角，三、写x ∈[0,2π]的角，四给答案． 3．若求得的角是特殊角，最好用弧度表示． 1．已知cos x ＝－2
2
，π＜x ＜2π，则x ＝( ) A.3π
2 B.5π4 C.4π3
D.7π4
B [因为x ∈(π，2π)且cos x ＝－
22，∴x ＝5π4
.] 2．函数y ＝3－2x ＋π－arccos(2x －3)的定义域是________．
⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1，32 [由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
3－2x ≥0－1≤2x －3≤1
，
解得1≤x ≤32，所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，32.]
3．等腰三角形的一个底角为α，且sin α＝3
5
，用含符号arcsin x 的关系式表示顶角
β＝________.
π－2arcsin 35 [由题意，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又sin α＝35，
所以π6<α<π4，π3<2α<π2，π2<π－2α<2π
3，
所以β＝π－2arcsin 35
.]
4．求值：arcsin 32－arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12arctan (－3).
[解] arcsin
32＝π3，arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2π3
， arctan(－3)＝－π
3
，
∴原式＝π3－2π3
－π3
＝1.。