【配套K12】广东省中山市普通高中学校2018届高三数学3月月考模拟试题03

2018高考高三数学3月月考模拟试题03
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的） 1．设i 为虚数单位，则复数
i
2i
+等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55
--
2．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B =，则m =
A. 0
B. 3
C. 4
D. 3或4 3．已知向量(1,3)a =，(1,0)b =-，则|2|a b
+=
A ．1 C. 2 D. 4 4、函数f （x ）＝｜x －2｜－lnx 在定义域内的零点个数为
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
5．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =-的最大值为
A ．3-
B ．
1
2
C ．5
D ．6 6.已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积=V
A ．π12
B ．π16
C ．π18
D ．π64
7.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数 均为偶数”，则(|)P B A = （ ）. (A)
18 (B) 14 (C) 25 (D)12
8．设向量12(,)a a a =，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗= , 已知1
(,2)2
m =，11(,sin )n x x =。

点Q 在()y f x =的图像上运动，且满足OQ m n =⊗ （其中O 为坐标原点），则()y f x =的最大值及最小正周期分别是
图3
A ．
1,2π B ．1
,42
π C ．2,π D ．2,4π 第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 已知不等式21x ->的解集与不等式2
0x ax b ++>的解集 相同,则a b +的值为
10.
若
n
的展开式中所有二项式系数之和为64，则 展开式的常数项为 .
11.已知等差数列{}n a 的首项11=a ，前三项之和93=S ，则
{}n a 的通项____=n
a ．
12. 计算
= .
13．如图，是一程序框图，则输出结果为
K = ， S = . 。

(说明，M N =是赋值语句，也可以写成M N ←，或:M N = (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的割线PAB 交圆
O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心。

已知6=PA ，
3
1
7=AB ，12=PO 。

则圆O 的半径____=R ．
⒖（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，直线4
π
θ=
被圆
θρsin 2=截得的弦的长是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
已知函数x x x x x f cos sin 2)cos (sin 3)(22--=
．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；. （Ⅱ）设[,33
x ππ
∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．
17．（本小题满分12分）某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男
志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。

（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜
爱运动有关？ （3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为ξ，求ξ的分布列和
均值。

参考公式：2
2
()()()(
)()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++
18．（本题满分14分）
如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点， 且1
3
AD DB =
，点C 为圆O 上一点，且BC =． 点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =． （1）求证：PA CD ⊥；
（2）求二面角C PB A --的余弦值．
第18题图
2
1
1a a a 3
1
23
21a a a a a a ……………………………
1
1
1
1211++-+n n n n n n a a a a a a a a a
…………………………………………
19．(本题满分14分)
已知数列}{n a 满足：21,121==a a ，且=+2n a 1
2
1+++n n n a a a （*
N ∈n ）．
（Ⅰ）求证：数列}{
1
+n n
a a 为等差数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求下表中前n 行所有数的和n S ． 20．（本题满分14分）
设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -
，离心率2e =．
过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =． （1）求椭圆的方程；
（2）求动点C 的轨迹E 的方程；
（3）设直线AC （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．
21．（本题满分14分）
设0a >,函数2
1
()f x x a
=
+. （Ⅰ）证明:存在唯一实数01(0,)x a
∈，使00()f x x =；
（Ⅱ）定义数列{}n x :10x =,1()n n x f x +=,*
n N ∈.
（i ）求证:对任意正整数n 都有2102n n x x x -<<； (ii) 当2a =时, 若1
0(2,3,4,)2
k x k <≤
=， 证明:对任意*
m N ∈都有:1
134m k k k x x +--<⋅.
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9．－1 __ ． 10． －160 ． 11．12-n ． 12．2
e ． 13．11,
5
11．（2
分，3分）
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕8； ⒖2． 2.解析：m =3或4
7.提示：“从1，2，3，4，5中任取2个不同的数”一共有2
5
C 10=种不同选取方式，其中满足事件A 的有2
232C C 4+=种选取方式，
所以42
()105
P A ==，而满足事件B 要求的有22C 1=种，
即2225
C 1
()C 10
P A
B ==，再由条件概率计算公式，得1
()110(|).2()45
P A B P B A P A =
== 16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵x x x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(22---=x x 2sin 2cos 3--=
)(x f ∴的最小正周期为π． …… 5分
（Ⅱ）∵[,
]33x ππ
∈-
， 23
3
x π
π
π∴-
≤+
≤， 1)3
2sin(23≤+≤-
∴π
x ． )(x f ∴的值域为]3,2[-． ……… 10分 当)3
2sin(π
+
=x y 递减时，()f x 递增．
ππ
π
≤+
≤∴
3
22
x ，即
3
12
π
π
≤
≤x ．
故()
f x的递增区间为⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
3
,
12
π
π
．…………12分
17．解：（1）
……2分
（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：
2
2
30(10866)
1.1575
2.706
(106)(68)(106)(68)
K
⨯⨯-⨯
=≈<
++++
因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6分
（3）喜爱运动的人数为ξ的取值分别为：0，1，2，其概率分别为：
2
8
2
14
28
(0)
91
C
P
C
ξ===
11
68
2
14
48
(1)
91
C
C
P
C
ξ==
2
6
2
14
15
(2)
91
C
P
C
ξ===……8分
喜爱运动的人数为ξ的分布列为：
所以喜爱运动的人数ξ的值为：
28481578
012.
91919191
Eξ=⨯+⨯+⨯=… 12分
18．（本题满分14分）
解析：（Ⅰ）法1：连接CO，由3AD DB
=知，点D为AO的中点，
又∵AB为圆O的直径，∴AC CB
⊥，
BC
=知，60
CAB
∠=，
∴ACO
∆为等边三角形，从而CD AO
⊥．-----------------3分
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，
∴PD CD
⊥，-----------------5分
由PD AO D
=得，CD⊥平面PAB，
又PA⊂平面PAB，
∴PA CD ⊥． -----------------6分 （注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．） 法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 在Rt ABC ∆中设1AD =，由3A D D B
=
BC =得，3DB =，4AB =
，BC =
∴BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽， ∴
BCA BDC
∠=∠，即
C ⊥
． -----------------3分
∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，
∴PD CD ⊥， -5分 由PD
AO D =得，CD ⊥平面PAB ，
又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． ---------6分 法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 在Rt ABC ∆
BC =得，30ABC ∠=， 设1AD =，由3AD DB =得，3DB =
，BC = 由余弦定理得，2
2
2
2cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=， ∴2
2
2CD DB BC +=，即CD AO ⊥． -----3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，
∴PD CD ⊥， ------5分 由PD
AO D =得，CD ⊥平面PAB ，
又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------6分
（Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ． -----------------7分
由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴CD PB ⊥，又DE CD D =， ∴PB ⊥平面CDE ，又CE ⊂平面CDE ， ∴CE PB ⊥，-----------------9分
∴DEC ∠为二面角C
PB A --的平面角． -----------------10分
由（Ⅰ）可知CD =3PD DB ==，
（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）
∴PB =
2PD DB DE PB ⋅=
==
， ∴在Rt CDE ∆
中，tan 3
2
CD DEC DE ∠=
==
，
∴cos 5
DEC ∠=
，即二面角C PB A --
的余弦值为5． --------14分
法2：（坐标法）以D 为原点，DC 、DB 和DP 的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标
系． -----------------8分
（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．） 设1AD =，由3AD DB =
BC =得，3PD DB ==
，CD =， ∴(0,0,0)D
，C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ， ∴(3,0,3)PC =-，(0,3,3)PB =
-，(CD =， 由
CD ⊥
平面
PAB
，知平面
PAB
的一个法
向量为
(CD =． -----------------10分
设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则
00
PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n
n ，即30
330y y z -=-=⎪⎩，令1
y =，则x =1z =，
∴=n ，-----------------12分 设二面角C PB A --的平面角的大小为θ，
则cos 5||5CD CD θ⋅===-
⋅n |n
|-----------------13
∴二面角C PB A --的余弦值为5
．-----------------14分
19．解：（Ⅰ）由条件21
,121==a a ，=+2n a 1
2
1+++n n n a a a ，得
=++12n n a a 1
1+++n n n a a a ⇒-++21n n a a 11=+n n a a
………………2分
∴ 数列}{
1
+n n
a a 为等差数列． ……3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得
11)1(2
11+=⋅-+=+n n a a
a a n n …………4分 ∴
⋅=211a a a a n ⋅3
2a a !321n n a a n n =⋅⋅⋅=⋅- ………………7分
∴
!
1
n a n =
.………… 8分 （Ⅲ）=++-11n k n k a a a
k
n C k n k n 1)!
1(!)!1(+=+-+ (n k ,,2,1 =) ………………………10分
∴ 第n 行各数之和
1
111211++-++++n n n n n n a a
a a a a a a a 22
1
12111-=+++=++++n n n n n C C C （ ,2,1=n ）………….…12分 ∴ 表中前n 行所有数的和
)22()22()22(132-++-+-=+n n S
2
3
1(222)2n n +=++
+-
22(21)221
n n -=--2224n n +=--. ………….…14分
20．（本题满分14分）
解析：（1）由题意可得2a =
，2
c e a ==
，∴c = -.--2分 ∴2
2
2
1b a c =-=，
所以椭圆的方程为2
214x y +=． --------4分 （2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012
x x
y x =⎧⎪
⎨=⎪⎩， --------6分
又22
0014x y +=，代入得221()142
x y +=，即224x y +=． 即动点C 的轨迹E 的方程为22
4x y +=． -------8分 （3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ， ∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR ，
而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+， ∴42
n
t m =
+， ∴点R 的坐标为4(2,
)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2
n
m +， -------10分 ∴直线CD 的斜率为222(2)22244
n
n m n n mn m k m m m -
+-+=
==---， 而224m n +=，∴22
4m n -=-，
∴2mn m
k n n
=
=--， -------12分 ∴直线CD 的方程为()m
y n x m n
-=-
-，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD
的距离2d r =
=
==， 所以直线CD 与圆O 相切． -------14分 21．（本题满分14分） （Ⅰ）证明: ①3
()10f x x x ax =⇔+-=. 1分 令3
()1h x x ax =+-,则(0)10h =-<,3
1
1
()0h a a =
>, ∴1(0)()0h h a
⋅<. …………… 2分 又/
2
()30h x x a =+>,∴3
()1h x x ax =+-是R 上的增函数. …… 3分 故3
()1h x x ax =+-在区间10,
a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有唯一零点, 即存在唯一实数010,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
使00()f x x =. ……… 4分
教育配套资料K12
教育配套资料K12 ②当1n =时, 10x =,211()(0)x f x f a ===
,由①知010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,即102x x x <<成立；………… 5分 设当(2)n k k =≥时, 2102k k x x x -<<,注意到21()f x x a =
+在()0,+∞上是减函数,且0k x >,
故有:2102()()()k k f x f x f x ->>,即2021k k x x x +>> ∴2021()()()k k f x f x f x +<<, …………………… 7分 即21022k k x x x ++<<.这就是说,1n k =+时,结论也成立. 故对任意正整数n 都有:2102n n x x x -<<. ………… 8分
(2)当2a =时,由10x =得:211()(0)2x f x f ===,2112
x x -= …………… 9分 222132222221211122(2)(2)x x x x x x x x --=-=++++22121211114244x x x x x x -+⎛⎫<=⋅-= ⎪⎝⎭
…………… 10分 当2k ≥时,102
k x <≤, ∴22112222111122(2)(2)k k k k k k k k x x x x x x x x -+----=-=++++114k k k k x x x x ---+<14
k k x x --< 2212321144k k k x x x x ---⎛⎫⎛⎫<⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ …….………… 12分 对*m N ∀∈,1121()()()m k k m k m k m k m k k k x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-++- 1121m k m k m k m k k k x x x x x x ++-+-+-+≤-+-+
+- …… 13分 1122111114444k k m m x x +--⎛⎫≤+++++- ⎪⎝⎭
1111
14141141134343414m k k k k m k k x x x x ++--
⎛⎫=-=⋅-⋅-<⋅= ⎪⋅⎝⎭- ……… 14分。