2018年浙江省温州市实验中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2018年浙江省温州市实验中学高三数学文下学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数满足，则的最大值为（）
A．9 B．17
C．5 D．1 5
参考答案：
B
试题分析：由题意得，画出不等式组表示的平面区域，如图所示，由，解得
，由，解得，当时，此时目标函数经过点时取得最大值，此时最大值为；当时，此时目标函数
经过点时取得最大值，此时最大值为，所以的最大值为，故选B．
考点：简单的线性规划．
2. （）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
3. 函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y=e x关于y轴对称,则f(x)=( )
A. B. C.
D.
参考答案：
D
略
4. 对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C 上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的
“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y=，（其中e 为自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，当x≤0时，曲线y=与直线y=k1x无限接近，考虑渐近线，求出k1=﹣3；当x＞0时，设出切点，求出切线的斜率，列出方程，求出切点（1，2），即得k2=2，再由两直线的夹角公式即可得到所求的“确界角”．
【解答】解：画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，设它们的方程分别为y=k1x，y=k2x，
当x≤0时，曲线y=与直线y=k1x无限接近，即为双曲线的渐近线，故k1=﹣3；当x＞0时，y′=e x﹣1+xe x﹣1，设切点为（m，n），则n=k2m，
n=me m﹣1+1，k2=e m﹣1+me m﹣1，即有m2e m﹣1=1，
由x2e x﹣1（x＞0）为增函数，且x=1成立，故m=1，k2=2，
由两直线的夹角公式得，tanθ=||=1，
故曲线C相对于点O的“确界角”为．
故选：B．
【点评】本题考查新定义“确界角”及应用，考查导数的应用：求切线，双曲线的性质：渐近线，属于中档题．
5. 已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
6. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交C于A、B两点，M是x轴上一动点，那么的最小值是（）
A．13 B．4 C．—8 D．—12
参考答案：
B
略
7. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是
A．5 B．6
C．7 D．8
参考答案：
C
8. ．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的
图像，则只要将的图像
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
参考答案：
A
略
9. 已知等比数列{}的前n项和，则…等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
10. 函数) 的部分图象如图所示，为了得到
的图象，只需将f(x)的图象
A. 向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2=x上移动，设点P为线段MN的中点，则P到y轴距离的最小值为．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y 轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出
的最小值即可
【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），
抛物y2=x的线准线x=﹣，
P到y轴距离S=||=﹣=﹣，
∴﹣≥﹣=2﹣=，
当且仅当M，N过F点时取等号，
故答案为：．
12. 已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= ．
参考答案：
【考点】导数的运算．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】求函数的导数，先求出f′（）的值即可得到结论．
【解答】解：函数的导数为f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，
令x=，得f′（）=f′（）cos﹣sin=﹣1，
则f（x）=﹣sinx+cosx，
则f（）=﹣sin+cos=，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查函数值的计算，求函数的导数，求出f′（）的值是解决本题的关键．
13. 已知函数，若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，则实数a的取值范围是．
参考答案：
[1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】f′（x）=x2+2x+a，由于函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，可得：f′（x）≥0在区间[﹣2，a]上恒成立．令g（x）=（x+1）2+a﹣1，x∈[﹣2，a]．对a分类讨论即可得出．
【解答】解：f′（x）=x2+2x+a，
∵函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，
∴f′（x）=x2+2x+a≥0在区间[﹣2，a]上恒成立．
令g（x）=x2+2x+a，x∈[﹣2，a]．
g（x）=（x+1）2+a﹣1，
①当﹣2＜a＜﹣1时，函数g（x）在x∈[﹣2，a]单调递减，∴必有g（a）=a2+3a≥0，解得a≤﹣3或a≥0，舍去．
②当﹣1≤a时，函数g（x）在x=﹣1时取得最小值，∴必有g（x）≥g（﹣1）=1﹣
2+a≥0，解得a≥﹣1，满足条件．
综上可得：a≥﹣1．
∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．
故答案为：[﹣1，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、恒成立转化问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
14. 已知，若函数的最小值为1，则_______．参考答案：
略
15. 已知cos（﹣φ）=，且|φ|，则tanφ=．
参考答案：
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】直接利用诱导公式化简，求出角的大小，然后求解所求函数值．
【解答】解：cos（﹣φ）=，可得sinφ=，
∵|φ|，∴0＜φ，φ=．
tan=．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．
16. 一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为 .
参考答案：
【知识点】由三视图求面积、体积．G2
【答案解析】解析：几何体高为1，底面为等腰直角三角形。

.【思路点拨】先由三视图判断几何体的形状，再结合体积公式计算即可.
17. 如图，直线，垂足为O，已知中，为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1），（2）.则C、O两点间的最大距离为 .
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知平面直角坐标系xoy内两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB=2PA的点P （x，y）形成的曲线记为Γ．
（1）求曲线Γ的方程；
（2）过点B的直线l与曲线Γ相交于C、D两点，当△COD的面积最大时，求直线l的方程（O为坐标原点）；
（3）设曲线Γ分别交x、y轴的正半轴于M、N两点，点Q是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于F．求证四边形MNEF的面积为定值．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）由两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB=2PA的点P（x，y），得到关系式化简即可得出曲线Γ的方程；
（2）表示出面积，利用基本不等式得出结论；
（3）设，即可证明结论．
【解答】解：（1）由题设知，两边化简得x2+y2=4
∴点P的轨迹Γ的方程为x2+y2=4…
（2）由题意知的斜率一定存在，设l：y=k（x﹣4）即kx﹣y﹣
4k=0，
∵原点到直线l的距离，…
∴，…
当且仅当d2=2时，取得“=”d2=2＜r2=4
∴当d2=2时，此时，．
∴直线l的方程为．…
（3）设…
设Q（x0，y0），E（e，0），F（0，f）（其中）
则，令x=0得
∴…，令y=0得
∴…
∴=
（定值）…
19. （本小题满分12分）某城市为了解决市区中心道路拥挤现象,市政府决定建设高架公路，该高架公路两端的桥墩及引桥已建好，其工程费用为100万，这两桥墩相距1280米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。

（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）政府至少需投入多少万元资金才能完成此工程建设,此时新建桥墩有多少个?
参考答案：
20. 已知，.
⑴ 求函数在上的最小值；
⑵ 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
⑶ 证明对一切，都有成立.
参考答案：
解：⑴ ，当，，单调递减，当，，单调递增.
① ，t无解；
② ，即时，；
③，即时，在上单调递增，；
所以…………………………………………4分
⑵ ，则，设，则
，，，单调递增，，，
单调递减，所以，因为对一切，恒成立，所以；……………………………8分
⑶ 问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有
成立. …………………………………………12分
说明：第一问考查单调和分类讨论的思想，第二问是通过转化与化归思想解决
的最小值问题，第三问有一定的难度，如果直接化成来解决，对
求导将无法得到极值点，通过将原不等式化归成，分别求的最小值和的最大值来研究，则不难获得证明.
略
21. （本小题满分10分）选修4--1：几何证明选讲
如图，已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.
（I）求证：AC·BC=AD·AE;
（II）若AF=2, CF=2，求AE的长
参考答案：
(Ⅰ) 见解析;（Ⅱ）
【知识点】与圆有关的比例线段．N1
解析：（1）证明：连结，由题意知为直角三角形.
因为，，
∽，
所以，即.
又，
所以. ……… 5分
（2）因为是圆的切线，所以，
又，所以，
因为，又，所以∽.
所以，得
……… 10分
【思路点拨】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF?BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据，
，即可得出答案
22. 在中，分别是角A，B，C的对边，
，且。

（1）求角A的大小；
（2）求的最小值。

参考答案：
解：（Ⅰ）由得.（1分）
由正弦定理得，
.
.（3分）
.（6分）
（Ⅱ），
.（9分）
即时，取得最小值.
的最小值为.（12分）
略。