湖南省岳阳市第一中学高二下学期期末考试数学(理)试题

2018年上学期高二年级期末考试数学试题（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =（ ）
A B C ．1
2
D ．2 2.若集合{|01}A x x =<<，2
{|20}B x x x -<，则下列结论中正确的是（ ） A ．A
B φ= B ．A B R =
C ．A B ⊆
D ．B A ⊆
3.为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则估计该次数学成绩的中位数是（ ）
A ．71.5
B ．71.8
C ．72
D ．75 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．27 B ．18 C ．9 D ．3
5.设曲线1
1
x y x +=
-在点(2,3)处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12 B ．1
2
- C ．-2 D ．2
6.在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC ⋅=（ ）
A ．8
B ．-8
C ．4
D ．-4
7.如图，点O 为正方体''''ABCD A B C D -的中心，点E 为棱'BB 的中点，点F 为棱''B C 的中点，则空间四边形'OEFD 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.设坐标原点为O ，抛物线2
2y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA OB ⋅等于（ ） A ．
34 B ．3
4
- C ．3 D ．-3 9.已知函数()x
f x e x =÷.若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,)+∞
C ．(1,0)-
D ．(,1)-∞- 10.如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
212π- B ．24π- C ．12π- D ．1
4
π- 11.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲
线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（ ）
A ．
221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22
193
x y -= 12.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）.设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ）
A ．123θθθ≤≤
B ．321θθθ≤≤
C ．132θθθ≤≤
D ．231θθθ≤≤ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若实数x ，y 满足条件1
0262
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为 ．
14.已知数列{}n a 的前n 项和21n
n S =-，则26a a ⋅= ．
15.4
2()x x
-展开式中的常数项为 ． 16.
已知函数3,0
(),0
x f x ax b x ≥=+<⎪⎩满足条件，对于1x R ∀∈，存在唯一的2x R ∈，使得
12()()f x f x =，当(2)(3)f a f b =成立时，则实数a b += ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =
，b =2B A =. （Ⅰ）求cos A 及边c 的值； （Ⅱ）求cos()6
B π
-
的值.
18.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，12AB AA ==，1AC =，
M ，N 分别是11A B ，BC 的中点.
（Ⅰ）证明：//MN 平面11ACC A ； （Ⅱ）求二面角M AN B --的余弦值.
19.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点(2,0)F -，左顶点1(4,0)A -.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知(2,3)P ，(2,3)Q -是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.若APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.
20.某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立.
（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望. 21.已知函数2
1()ln ()2
f x x x mx x m R =-
-∈. （1）若函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的取值范围；
（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12ln ln 2x x +>. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的
极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=，直线l
的参数方程为：2242
x y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）
，两曲线
相交于M ，N 两点.
（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若(2,4)P --，求PM PN +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；
（2）若,,a b c R ∈，
22
22
a c
b k ++=，求()b a
c +的最大值.
2018年高二数学期末考试
参考答案
一、选择题
1-5: ACCAD 6-10: ACBBB 11、12：CD 二、填空题
13. 6 14. 64 15. 24 16. 32
-+ 三、解答题
17.解：（Ⅰ）ABC ∆中，3a =，b =
∴
3sin sin A B =，又2B A =，∴3sin sin 2A A =，3sin 2sin cos A A A
=，
解得cos A =
；
又222
2cos a b c bc A =+-，2
9242c c =+-⋅， 28150c c -+=，解得3c =或5c =；
（Ⅱ）∵2B A =，∴2
1cos cos 22cos 13
B A A ==-=
，
∴sin 3
B =
；
∴cos()cos cos
sin sin
6
6
6B B B π
π
π
-
=+1132=+=.
18.解法一：依条件可知AB 、AC 、1AA 两两垂直， 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -.
根据条件容易求出如下各点坐标：(0,0,0)A ，
(0,2,0)B ，(1,0,0)C -，1(0,0,2)A ，1(0,2,2)B ，1(1,0,2)C -，(0,1,2)M ，1
(,1,0)2N -.
（Ⅰ）证明：∵1
(,0,2)2
MN =--，(0,2,0)AB =，
是平面11ACC A 的一个法向量，且10022002
MN AB ⋅=-⨯+⨯-⨯=， 所以MN AB ⊥.
又∵MN ⊄平面11ACC A ，∴//MN 平面11ACC A ； （Ⅱ）设(,,)n x y z =是平面AMN 的法向量， 因为(0,1,2)AM =，1(,1,0)2
AN =-，
由0
0AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020102
y z x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩.
解得平面AMN 的一个法向量(4,2,1)n =-， 由已知，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，
cos ,2121m n m n n m
⋅
<>=
=
=-，
∴二面角M AN B --的余弦值是21
. 解法二：
（Ⅰ）证明：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ， ∵D ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴1
//2
DN AB ， 又∵1111
2
A M A
B =
，11//A B AB ， ∴1//A M DN ，∴四边形1A DNM 是平行四边形，
∴1//A D MN ，∵1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， ∴//MN 平面11ACC A ；
（Ⅱ）如图，设AB 的中点为H ，连接MH ，
∴1//MH BB ，∵1BB ⊥底面ABC ，∵1B
B A
C ⊥，1BB AB ⊥，∴M H A C
⊥，AH AB ⊥，
∴AB
AC A =，∴MH ⊥底面ABC ，
在平面ABC 内，过点H 做HG AN ⊥，垂足为G ，
连接MG ，AN HG ⊥，AN MH ⊥，HG MH H =，
∴AN ⊥平面MHG ，则AN MG ⊥， ∴MGH ∠是二面角M AN B --的平面角， ∵12MH BB ==，由AGH
BAC ∆∆
，得HG =
，
所以MG =
=
，所以cos HG MGH MG ∠==， ∴二面角M AN B --
的余弦值是
21
. 19.解：（Ⅰ）由题意可得，4a =，2c =由2
2
2
a b c =+，得2
2
2
4212b =-=，
所以椭圆C 的方程为
22
11612
x y +=. （Ⅱ）当APQ BPQ ∠=∠时，AP ，BP 的斜率之和为0， 设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，PA 的方程为3(2)y k x -=-.
联立223(2)11612
y k x x y -=-⎧⎪⎨+
=⎪⎩消y 得2222
(34)8(3)4(4912)480k x k k x k k ++-++--=，
所以128(23)234k k x k -+=
+，同理22
8(23)
234k k x k
++=+， 所以2122161234k x x k -+=+，122
4834k
x x k
--=+， 所以21122212()412
AB y y k x x k k x x x x -+-=
==--，
所以AB 的斜率为定值1
2
. 20.解：（Ⅰ）250.520a =
=，150.350
b ==， 依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率0.5p =， 设5天中该种商品有Y 天的销售量为1.5吨，则(5,0.5)Y
B ，
∴223
5(2)0.5(10.5)0.3125P Y C ==⨯⨯-=.
（Ⅱ）X 的可能取值为4，5，6，7，8，
则：2
(4)0.20.04P X ===，(5)20.20.50.2P X ==⨯⨯=，
2(6)0.520.20.30.37P X ==+⨯⨯=，(7)20.30.50.3P X ==⨯⨯=，2(8)0.30.09P X ===，
∴X 的分布列为：
X 的数学期望()40.0450.260.37E X =⨯+⨯+⨯70.380.09 6.2+⨯+⨯=.
21.解：（1）∵2
1()ln ()2
f x x x mx x m R =-
-∈在(0,)+∞上是减函数， ∴'()ln 0f x x mx =-≤在定义域(0,)+∞上恒成立，
∴max ln (
)x
m x ≥， 设ln ()x h x x =，则2
1ln '()x
h x x -=，
由'()0h x >，得(0,)x e ∈，由'()0h x <，得x e >， ∴函数()h x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，
∴max 1()()h x h e e ==
，∴1
m e
≥. 故实数m 的取值范围是1
[,)e
+∞.
证明：（2）由（1）知'()ln f x x mx =-，
∵函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <， ∴1122ln 0
ln 0
x mx x mx -=⎧⎨
-=⎩，
则12121212ln ln ln ln x x m x x x x m x x +⎧=⎪+⎪
⎨-⎪=⎪-⎩
，∴12121212ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，
∴12112122ln ln ln x x x
x x x x x ++=⋅-11221
2
(
1)ln 1x x x x x x +⋅=-，
设12(0,1)x t x =
∈，则12(1)ln ln ln 1
t t x x t +⋅+=-， 要证12ln ln 2x x +>， 只需证
(1)ln 21t t t +⋅>-，只需证2(1)ln 1t t t -<+，只需证2(1)
ln 01
t t t --<+，
构造函数2(1)
()ln 1
t g t t t -=-+，则22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t -=-
=>++， ∴2(1)
()ln 1
t g t t t -=-+在(0,1)t ∈上递增， ∴()(1)0g t g <=，即2(1)
()ln 01
t g t t t -=-<+，
∴12ln ln 2x x +>.
22.解：（Ⅰ）根据cos x ρθ=、sin y ρθ=，求得曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =， 用代入法消去参数求得直线l 的普通方程20x y --=.
（Ⅱ）直线l
的参数方程为：2242
x t
y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）
，
代入2
4y x =
，得到2
480t -+=，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，
则12t t +=1248t t ⋅=
，∴12PM PN t t +=+=23.解：（1）由于3,1()31,113,1x x f x x x x x --≥⎧⎪
=---≤<⎨⎪+≤-⎩
，
当1x ≥时，函数的最大值为134--=-， 当11x -<<时，()(1)312f x f <-=-=， 当1x ≤-时，max ()(1)132f x f =-=-+=，
所以max ()(1)2k f x f ==-=.
（2）由已知22
222
a c
b ++=，有2222()()4a b b
c +++=， 因为222a b ab +≥（当a b =取等号），222b c bc +≥（当b c =取等号）， 所以2222()()42()a b b c ab bc +++=≥+，即2ab bc +≤，
故max [()]2b a c +=.。